2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)【附答案解析】
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2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科) 一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣2,0,1,2},則A∩B=( ?。? A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣2,0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2.(5分)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為( ?。? A. B. C. D. 4.(5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn),十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為( ) A.f B.f C.f D.f 5.(5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(5分)設(shè),均為單位向量,則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的( ?。? A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 7.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x﹣my﹣2=0的距離.當(dāng)θ、m變化時(shí),d的最大值為( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 8.(5分)設(shè)集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},則( ?。? A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈A B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?A C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?A D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí),(2,1)?A 二、填空題共6小題,每小題5分,共30分。 9.(5分)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項(xiàng)公式為 ?。? 10.(5分)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓ρ=2cosθ相切,則a= ?。? 11.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立,則ω的最小值為 ?。? 12.(5分)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y﹣x的最小值是 ?。? 13.(5分)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立,則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是 ?。? 14.(5分)已知橢圓M:+=1(a>b>0),雙曲線N:﹣=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為 ??;雙曲線N的離心率為 . 三、解答題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程。 15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC邊上的高. 16.(14分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F(xiàn),G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中點(diǎn),AB=BC=,AC=AA1=2. (Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF; (Ⅱ)求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值; (Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交. 17.(12分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值. 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立. (Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率; (Ⅱ)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率; (Ⅲ)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡.“ξk=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫(xiě)出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系. 18.(13分)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex. (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍. 19.(14分)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N. (Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍; (Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),=λ,=μ,求證:+為定值. 20.(14分)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},對(duì)于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),記 M(α,β)=[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)] (Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí),若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (Ⅱ)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意元素α,β,當(dāng)α,β相同時(shí),M(α,β)是奇數(shù);當(dāng)α,β不同時(shí),M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值; (Ⅲ)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α,β,M(α,β)=0,寫(xiě)出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說(shuō)明理由. 2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。 1.(5分)已知集合A={x||x|<2},B={﹣2,0,1,2},則A∩B=( ?。? A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{﹣2,0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 【解答】解:A={x||x|<2}={x|﹣2<x<2},B={﹣2,0,1,2}, 則A∩B={0,1}, 故選:A. 2.(5分)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ?。? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:復(fù)數(shù)==, 共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)(,﹣)在第四象限. 故選:D. 3.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為( ?。? A. B. C. D. 【解答】解:在執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí),k=1,S=1. 在執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí),S=1﹣=. 由于k=2≤3, 所以執(zhí)行下一次循環(huán).S=, k=3,直接輸出S=, 故選:B. 4.(5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn),十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為( ) A.f B.f C.f D.f 【解答】解:從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于. 若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為:=. 故選:D. 5.(5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為:PA⊥底面ABCD, AC=,CD=, PC=3,PD=2,可得三角形PCD不是直角三角形. 所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形,分別為:△PAB,△PBC, △PAD. 故選:C. 6.(5分)設(shè),均為單位向量,則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的( ?。? A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解答】解:∵“|﹣3|=|3+|” ∴平方得||2+9||2﹣6?=||2+9||2+6? 則?=0,即⊥, 則“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的充要條件, 故選:C. 7.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x﹣my﹣2=0的距離.當(dāng)θ、m變化時(shí),d的最大值為( ?。? A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:由題意d==,tanα=﹣, ∴當(dāng)sin(θ+α)=﹣1時(shí), dmax=1+≤3. ∴d的最大值為3. 故選:C. 8.(5分)設(shè)集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2},則( ?。? A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)∈A B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a,(2,1)?A C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),(2,1)?A D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤時(shí),(2,1)?A 【解答】解:當(dāng)a=﹣1時(shí),集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,﹣x+y>4,x+y≤2},顯然(2,1)不滿足,﹣x+y>4,x+y≤2,所以A,C不正確; 當(dāng)a=4,集合A={(x,y)|x﹣y≥1,ax+y>4,x﹣ay≤2}={(x,y)|x﹣y≥1,4x+y>4,x﹣4y≤2},顯然(2,1)在可行域內(nèi),滿足不等式,所以B不正確; 故選:D. 二、填空題共6小題,每小題5分,共30分。 9.(5分)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項(xiàng)公式為 an=6n﹣3?。? 【解答】解:∵{an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36, ∴, 解得a1=3,d=6, ∴an=a1+(n﹣1)d=3+(n﹣1)×6=6n﹣3. ∴{an}的通項(xiàng)公式為an=6n﹣3. 故答案為:an=6n﹣3. 10.(5分)在極坐標(biāo)系中,直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓ρ=2cosθ相切,則a= 1+ . 【解答】解:圓ρ=2cosθ, 轉(zhuǎn)化成:ρ2=2ρcosθ, 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為:(x﹣1)2+y2=1, 把直線ρ(cosθ+sinθ)=a的方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為:x+y﹣a=0. 由于直線和圓相切, 所以:利用圓心到直線的距離等于半徑. 則:=1, 解得:a=1±.a(chǎn)>0 則負(fù)值舍去. 故:a=1+. 故答案為:1+. 11.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立,則ω的最小值為 ?。? 【解答】解:函數(shù)f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立, 可得:,k∈Z,解得ω=,k∈Z,ω>0 則ω的最小值為:. 故答案為:. 12.(5分)若x,y滿足x+1≤y≤2x,則2y﹣x的最小值是 3?。? 【解答】解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖: 設(shè)z=2y﹣x,則y=x+z, 平移y=x+z, 由圖象知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí), 直線的截距最小,此時(shí)z最小, 由得,即A(1,2), 此時(shí)z=2×2﹣1=3, 故答案為:3 13.(5分)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立,則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是 f(x)=sinx?。? 【解答】解:例如f(x)=sinx, 盡管f(x)>f(0)對(duì)任意的x∈(0,2]都成立, 當(dāng)x∈[0,)上為增函數(shù),在(,2]為減函數(shù), 故答案為:f(x)=sinx. 14.(5分)已知橢圓M:+=1(a>b>0),雙曲線N:﹣=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為 ;雙曲線N的離心率為 2 . 【解答】解:橢圓M:+=1(a>b>0),雙曲線N:﹣=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn), 可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0),正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)(,),可得:,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1), 解得e=. 同時(shí),雙曲線的漸近線的斜率為,即, 可得:,即, 可得雙曲線的離心率為e==2. 故答案為:;2. 三、解答題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程。 15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC邊上的高. 【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是銳角, ∵cosB=﹣,∴sinB===, 由正弦定理得=得sinA===, 則A=. (Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB, 即64=49+c2+2×7×c×, 即c2+2c﹣15=0, 得(c﹣3)(c+5)=0, 得c=3或c=﹣5(舍), 則AC邊上的高h(yuǎn)=csinA=3×=. 16.(14分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F(xiàn),G分別為AA1,AC,A1C1,BB1的中點(diǎn),AB=BC=,AC=AA1=2. (Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF; (Ⅱ)求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值; (Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交. 【解答】(I)證明:∵E,F(xiàn)分別是AC,A1C1的中點(diǎn),∴EF∥CC1, ∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 又AC?平面ABC,∴EF⊥AC, ∵AB=BC,E是AC的中點(diǎn), ∴BE⊥AC, 又BE∩EF=E,BE?平面BEF,EF?平面BEF, ∴AC⊥平面BEF. (II)解:以E為原點(diǎn),以EB,EC,EF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示: 則B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,﹣1,1), ∴=(﹣2,1,0),=(0,﹣2,1), 設(shè)平面BCD的法向量為=(x,y,z),則,即, 令y=2可得=(1,2,4),又EB⊥平面ACC1A1, ∴=(2,0,0)為平面CD﹣C1的一個(gè)法向量, ∴cos<,>===. 由圖形可知二面角B﹣CD﹣C1為鈍二面角, ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值為﹣. (III)證明:F(0,0,2),(2,0,1),∴=(2,0,﹣1), ∴?=2+0﹣4=﹣2≠0, ∴與不垂直, ∴FG與平面BCD不平行,又FG?平面BCD, ∴FG與平面BCD相交. 17.(12分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評(píng)率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值. 假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立. (Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率; (Ⅱ)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率; (Ⅲ)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡.“ξk=0”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫(xiě)出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系. 【解答】解:(Ⅰ)設(shè)事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”, 總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部, 第四類電影中獲得好評(píng)的電影有:200×0.25=50部, ∴從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的頻率為: P(A)==0.025. (Ⅱ)設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,恰有1部獲得好評(píng)”, 第四類獲得好評(píng)的有:200×0.25=50部, 第五類獲得好評(píng)的有:800×0.2=160部, 則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部,估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率: P(B)==0.35. (Ⅲ)由題意知,定義隨機(jī)變量如下: ξk=, 則ξk服從兩點(diǎn)分布,則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下: 第一類電影: ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4, D(ξ1)=(1﹣0.4)2×0.4+(0﹣0.4)2×0.6=0.24. 第二類電影: ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2, D(ξ2)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16. 第三類電影: ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15, D(ξ3)=(1﹣0.15)2×0.15+(0﹣0.85)2×0.85=0.1275. 第四類電影: ξ4 1 0 P 0.25 0.75 E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15, D(ξ4)=(1﹣0.25)2×0.25+(0﹣0.75)2×0.75=0.1875. 第五類電影: ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2, D(ξ5)=(1﹣0.2)2×0.2+(0﹣0.2)2×0.8=0.16. 第六類電影: ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1, D(ξ5)=(1﹣0.1)2×0.1+(0﹣0.1)2×0.9=0.09. ∴方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小關(guān)系為: Dξ6<Dξ3<Dξ2=Dξ5<Dξ4<Dξ1. 18.(13分)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex. (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍. 【解答】解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的導(dǎo)數(shù)為 f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex. 由題意可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為0, 可得(a﹣2a﹣1+2)e=0, 解得a=1; (Ⅱ)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex, 若a=0則x<2時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增;x>2,f′(x)<0,f(x)遞減. x=2處f(x)取得極大值,不符題意; 若a>0,且a=,則f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)遞增,無(wú)極值; 若a>,則<2,f(x)在(,2)遞減;在(2,+∞),(﹣∞,)遞增, 可得f(x)在x=2處取得極小值; 若0<a<,則>2,f(x)在(2,)遞減;在(,+∞),(﹣∞,2)遞增, 可得f(x)在x=2處取得極大值,不符題意; 若a<0,則<2,f(x)在(,2)遞增;在(2,+∞),(﹣∞,)遞減, 可得f(x)在x=2處取得極大值,不符題意. 綜上可得,a的范圍是(,+∞). 19.(14分)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N. (Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍; (Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),=λ,=μ,求證:+為定值. 【解答】解:(Ⅰ)∵拋物線C:y2=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(1,2),∴4=2p,解得p=2, 設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,1)的直線方程為y=kx+1, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 聯(lián)立方程組可得, 消y可得k2x2+(2k﹣4)x+1=0, ∴△=(2k﹣4)2﹣4k2>0,且k≠0解得k<1, 且k≠0,x1+x2=﹣,x1x2=, 故直線l的斜率的取值范圍(﹣∞,0)∪(0,1); (Ⅱ)證明:設(shè)點(diǎn)M(0,yM),N(0,yN), 則=(0,yM﹣1),=(0,﹣1) 因?yàn)?λ,所以yM﹣1=﹣yM﹣1,故λ=1﹣yM,同理μ=1﹣yN, 直線PA的方程為y﹣2=(x﹣1)=(x﹣1)=(x﹣1), 令x=0,得yM=,同理可得yN=, 因?yàn)?=+=+======2, ∴+=2,∴+為定值. 20.(14分)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n},對(duì)于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…yn),記 M(α,β)=[(x1+y1﹣|x1﹣y1|)+(x2+y2﹣|x2﹣y2|)+…(xn+yn﹣|xn﹣yn|)] (Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí),若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (Ⅱ)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意元素α,β,當(dāng)α,β相同時(shí),M(α,β)是奇數(shù);當(dāng)α,β不同時(shí),M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值; (Ⅲ)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α,β,M(α,β)=0,寫(xiě)出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說(shuō)明理由. 【解答】解:(I ) M(a,a)=2,M(a,β)=1. (II)考慮數(shù)對(duì)(xk,yk)只有四種情況:(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),相應(yīng)的分別為0、0、0、1, 所以B中的每個(gè)元素應(yīng)有奇數(shù)個(gè)1, 所以B中的元素只可能為(上下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)元素稱之為互補(bǔ)元素): (1,0,0,0 )、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1), (0,1,1,1)、(1,0,1,1)、(1,1,0,1)、(1,1,1,0), 對(duì)于任意兩個(gè)只有1個(gè)1的元素α,β都滿足M(α,β)是偶數(shù), 所以四元集合B={(1,0,0,0)、(0,1,0,0)、(0,0,1,0)、(0,0,0,1)}滿足 題意, 假設(shè)B中元素個(gè)數(shù)大于等于4,就至少有一對(duì)互補(bǔ)元素, 除了這對(duì)互補(bǔ)元素之外還有至少1個(gè)含有3個(gè)1的元素α, 則互補(bǔ)元素中含有1個(gè)1的元素β與之滿足M(α,β)=1不合題意, 故B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4. (Il) B={(0,0,0,…0),(1,0,0…,0),(0,1,0,…0),(0,0,1…0)…, (0,0,0,…,1)}, 此時(shí)B中有n+1個(gè)元素,下證其為最大. 對(duì)于任意兩個(gè)不同的元素α,β,滿足M(α,β)=0,則α,β中相同位置上的數(shù)字不能同時(shí)為1, 假設(shè)存在B有多于n+1個(gè)元素,由于α=(0,0,0,…,0)與任意元素β都有M(α,β)=0, 所以除(0,0,0,…,0)外至少有n+1個(gè)元素含有1, 根據(jù)元素的互異性,至少存在一對(duì)α,β滿足xi=yi=l,此時(shí)M(α,β)≥1不滿足題意, 故B中最多有n+1個(gè)元素. — END — 第22頁(yè)(共22頁(yè))- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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