有限元法及應(yīng)用總結(jié).ppt

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有限元法及應(yīng)用 總結(jié) 串講 1 有限元的作用是什么 1 減少模型試驗的數(shù)量 計算機模擬允許對大量的假設(shè)情況進行快速而有效的試驗 2 模擬不適合在原型上試驗的設(shè)計 例如 器官移植 比如人造膝蓋 3 節(jié)省費用 降低設(shè)計與制造 開發(fā)的成本 4 節(jié)省時間 縮短產(chǎn)品開發(fā)時間和周期 5 創(chuàng)造出更可靠 高品質(zhì)的設(shè)計 2 有限元的基本概念 有限元 通俗的講就是對一個真實的系統(tǒng)用有限個單元來描述 有限元法 把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點處相互連接的單元 子域 所構(gòu)成 其模型給出基本方程的分片 子域 近似解 由于單元 子域 可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸 所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀 復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件 再加上它有成熟的大型軟件系統(tǒng)支持 使其已成為一種非常受歡迎的 應(yīng)用極廣的數(shù)值計算方法 有限元模型與有限元分析 有限元模型 它是真實系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象 由一些簡單形狀的單元組成 單元之間通過節(jié)點連接 并承受一定載荷 有限元分析 是利用數(shù)學(xué)近似的方法對真實物理系統(tǒng) 幾何和載荷工況 進行模擬 并利用簡單而又相互作用的元素 即單元 就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實系統(tǒng) 3 有限單元法的特點有哪些 1 把連續(xù)體劃分成有限個單元 把單元的交界結(jié)點 節(jié)點 作為離散點 2 不考慮微分方程 而從單元本身特點進行研究 3 理論基礎(chǔ)簡明 物理概念清晰 且可在不同的水平上建立起對該法的理解 4 具有靈活性和適用性 適應(yīng)性強 它可以把形狀不同 性質(zhì)不同的單元組集起來求解 故特別適用于求解由不同構(gòu)件組合的結(jié)構(gòu) 應(yīng)用范圍極為廣泛 它不僅能成功地處理如應(yīng)力分析中的非均勻材料 各向異性材料 非線性應(yīng)力 應(yīng)變以及復(fù)雜的邊界條件等問題 且隨著其理論基礎(chǔ)和方法的逐步完善 還能成功地用來求解如熱傳導(dǎo) 流體力學(xué)及電磁場領(lǐng)域的許多問題 5 在具體推導(dǎo)運算過程中 廣泛采用了矩陣方法 4 有限元法涉及的內(nèi)容有哪些 有限元法在數(shù)學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域所依據(jù)的理論 單元的劃分原則 形狀函數(shù)的選取及協(xié)調(diào)性 有限元法所涉及的各種數(shù)值計算方法及其誤差 收斂性和穩(wěn)定性 計算機程序設(shè)計技術(shù) 向其他各領(lǐng)域的推廣 5 有限元法的分類 有限元法可以分為兩類 即線彈性有限元法和非線性有限元法 其中線彈性有限元法是非線性有限元法的基礎(chǔ) 二者不但在分析方法和研究步驟上有類似之處 而且后者常常要引用前者的某些結(jié)果 線彈性有限元 線彈性有限元是以理想彈性體為研究對象的 所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上 在這類問題中 材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系 滿足廣義胡克定律 應(yīng)力與應(yīng)變也是線性關(guān)系 線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題 所以只需要較少的計算時間 如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法 也有助于降低有限元分析的時間 線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動力學(xué)分析兩方面 非線性有限元 非線性問題與線彈性問題的區(qū)別 1 非線性問題的方程是非線性的 一般需要迭代求解 2 非線性問題不能采用疊加原理 3 非線性問題不總有一致解 有時甚至沒有解 以上三方面的因素使得非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復(fù)雜 費用更高和更具有不可預(yù)知性 1 材料非線性問題 有限元求解非線性問題可分為以下三類 1 材料非線性問題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的 但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小 此時應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系 這類問題屬于材料的非線性問題 由于從理論上還不能提供能普遍接受的本構(gòu)關(guān)系 所以 一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗數(shù)據(jù) 有時非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進行模擬 盡管這些模型總有他們的局限性 在工程實際中較為重要的材料非線性問題有 非線性彈性 包括分段線彈性 彈塑性 粘塑性及蠕變等 2 幾何非線性問題 幾何非線性問題是由于位移之間存在非線性關(guān)系引起的 當(dāng)物體的位移較大時 應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系 研究這類問題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系 它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問題 如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應(yīng)變問題 橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題 3 非線性邊界 接觸問題 在加工 密封 撞擊等問題中 接觸和摩擦的作用不可忽視 接觸邊界屬于高度非線性邊界 平時遇到的一些接觸問題 如齒輪傳動 沖壓成型 軋制成型 橡膠減振器 緊配合裝配等 當(dāng)一個結(jié)構(gòu)與另一個結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時通常要考慮非線性邊界條件 實際的非線性可能同時出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題 6 有限元的基礎(chǔ)理論包括哪幾部分 1 加權(quán)余量法加權(quán)余量法 是指采用使余量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法 WeightedresidualmethodWRM 加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法 顯然 任何獨立的完全函數(shù)集都可以作為權(quán)函數(shù) 按照對權(quán)函數(shù)的不同選擇得到不同的加權(quán)余量計算方法 主要有 配點法 子域法 最小二乘法 力矩法和伽遼金法 其中伽遼金法的精度最高 里茲方法 如果微分方程具有線性和自伴隨的性質(zhì) 那么它不僅可以建立它的等效積分形式 并利用加權(quán)余量法求其近似解 而且還可以建立與之相等效的變分原理 從而得到的另一種近似求解方法 自然變分原理 原問題的微分方程和邊界條件的等效積分的伽遼金法等效于它的變分原理 即原問題的微分方程和邊界條件等效于泛函的變分為零 亦即泛函取駐值 反之 如果泛函取駐值則等效于滿足問題的微分方程和邊界條件 而泛函可以通過原問題的等效積分的伽遼金法而得到 我們稱這樣得到的變分原理為自然變分原理 2 里茲方法 對于具有線性 自伴隨性質(zhì)的微分方程在得到與它相等效的變分原理以后 可以用來建立求近似解 這一過程即里茲方法 它的實質(zhì)是從一族假定解中尋求滿足泛函變分的 最好的 解 顯然 近似解的精度與試探函數(shù) 形函數(shù)或試函數(shù) 的選擇有關(guān) 如果知道所求解的一般性質(zhì) 那么可以通過選擇反映此性質(zhì)的試探函數(shù)來改進近似解 提高近似解的精度 2 里茲方法 續(xù) 3 虛功原理 平衡方程和幾何方程的等效積分 弱 形式虛功原理包含虛位移原理和虛應(yīng)力原理 是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱 他們都可以認為是與某些控制方程相等效的積分 弱 形式 虛功原理 變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零 即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零 虛位移原理是平衡方程和力的邊界條件的等效積分的 弱 形式 虛應(yīng)力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分 弱 形式 虛位移原理的力學(xué)意義 如果力系是平衡的 則它們在虛位移和虛應(yīng)變上所作的功的總和為零 反之 如果力系在虛位移 及虛應(yīng)變 上所作的功的和等于零 則它們一定滿足平衡方程 所以 虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分條件 一般而言 虛位移原理不僅可以適用于線彈性問題 而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題 但是否適用所有的問題呢 3 虛功原理 續(xù) 平衡方程和幾何方程的等效積分 弱 形式 虛應(yīng)力原理的力學(xué)意義 如果位移是協(xié)調(diào)的 則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零 反之 如果上述虛力系在他們上面所作的功的和為零 則它們一定是滿足協(xié)調(diào)的 所以 虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分條件 虛應(yīng)力原理可以應(yīng)用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學(xué)問題 但是必須指出 無論是虛位移原理還是虛應(yīng)力原理 他們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的 他們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論的力學(xué)問題 3 虛功原理 續(xù) 平衡方程和幾何方程的等效積分 弱 形式 4 最小位能原理和最小余能原理明確 最小位能原理是建立在虛位移原理基礎(chǔ)上的 而最小余能原理建立在虛應(yīng)力原理基礎(chǔ)上 最小位能原理是指在所有可能位移中 真實位移使系統(tǒng)總位能取最小值 總位能是指彈性體變形位能和外力位能之和 最小余能原理是指在所有的應(yīng)力中 真實應(yīng)力使系統(tǒng)的總余能取最小值 總余能是指彈性體余能和外力余能總和 一般而言 利用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是精確解變形能的下界 即近似的位移場在總體上偏小 也就是說結(jié)構(gòu)的計算模型顯得偏于剛硬 而利用最小余能原理求得的應(yīng)力近似解的彈性余能是精確解余能的上界 即近似的應(yīng)力解在總體上偏大 結(jié)構(gòu)的計算模型偏于柔軟 當(dāng)分別利用這兩個極值原理求解同一問題時 我們將獲得這個問題的上界和下界 可以較準確地估計所得近似解的誤差 這對工程計算具有實際意義 4 最小位能原理和最小余能原理 續(xù) 7 單元劃分原則是什么 梁 桿單元劃分的原則兩個節(jié)點之間的桿構(gòu)成一個單元 節(jié)點可按以下原則劃分 1 桿件的交點一定要選為節(jié)點 梯子 2 階梯形桿截面變化處一定取為節(jié)點 階梯軸 3 支撐點與自由端要選為節(jié)點 懸臂梁 4 集中載荷作用處最好選為節(jié)點 5 欲求位移的點要選為節(jié)點 6 單元長度最好基本相同 平面單元劃分原則 1 單元形狀 常用單元形狀有三角形單元 矩形單元和等參數(shù)單元 他們的特點是單元的節(jié)點數(shù)越多 其計算精度越高 三角形單元與等參數(shù)單元可適應(yīng)任意邊界 2 劃分原則 1 劃分單元的個數(shù) 視計算機要求的精度和計算機容量而定 單元分得越多 塊越小其精度越高 但需要的計算機容量越大 因此 須根據(jù)實際情況而定 2 劃分單元的大小 可根據(jù)部位不同有所不同 在位移或應(yīng)力變化大的部位取得單元要小 在位移或應(yīng)力變化小的部位取得單元要大 在邊界比較平滑的部位 單元可大 3 劃分單元的形狀 一般均可取成三角形或等參元 對于平直邊界可取成矩形單元 有時也可以將不同單元混合使用 但要注意 必須節(jié)點與節(jié)點相連 切莫將節(jié)點與單元的邊相連 4 單元各邊的長不要相差太大 否則將影響求解精度 5 盡量把集中力或集中力偶的作用點選為節(jié)點 6 盡量利用對稱性 以減少計算量 有限元法的最大優(yōu)點在于使用了矩陣的方法 平面單元劃分原則 續(xù) 8 有限元法分析過程有限元法分析過程大體可分為 前處理 分析 后處理三大步驟 對實際的連續(xù)體經(jīng)過離散化后就建立了有限元分析模型 這一過程是有限元的前處理過程 在這一階段 要構(gòu)造計算對象的幾何模型 要劃分有限元網(wǎng)格 要生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù) 這一步是有限元分析的關(guān)鍵 有限元分析過程主要包括 單元分析 整體分析 載荷移置 引入約束 求解約束方程等過程 這一過程是有限元分析的核心部分 有限元理論主要體現(xiàn)在這一過程中 有限元法包括三類 有限元位移法 有限元力法 有限元混合法 在有限元位移法中 選節(jié)點位移作為基本未知量 在有限元力法中 選節(jié)點力作為未知量 在有限元混合法中 選一部分基本未知量為節(jié)點位移 另一部分基本未知量為節(jié)點力 8 有限元法分析過程 續(xù) 有限元位移法計算過程的系統(tǒng)性 規(guī)律性強 特別適宜于編程求解 一般除板殼問題的有限元應(yīng)用一定量的混合法外 其余全部采用有限元位移法 因此 一般不做特別聲明 有限元法指的是有限元位移法 有限元分析的后處理主要包括對計算結(jié)果的加工處理 編輯組織和圖形表示三個方面 它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù) 進一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計人員直接需要的信息 如應(yīng)力分布狀態(tài) 結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等 并且繪成直觀的圖形 從而幫助設(shè)計人員迅速的評價和校核設(shè)計方案 8 有限元法分析過程 續(xù) 9 有限元法的收斂性概念與收斂條件 有限元法是一種數(shù)值分析方法 因此應(yīng)考慮收斂性問題 有限元法的收斂性是指 當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時 有限元解答的序列收斂到精確解 或者當(dāng)單元尺寸固定時 每個單元的自由度數(shù)越多 有限元的解答就越趨近于精確解 有限元的收斂條件包括如下四個方面 1 單元內(nèi) 位移函數(shù)必須連續(xù) 多項式是單值連續(xù)函數(shù) 因此選擇多項式作為位移函數(shù) 在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證 2 在單元內(nèi) 位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項 每個單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點位置的常應(yīng)變和由各點位置決定的變量應(yīng)變 當(dāng)單元的尺寸足夠小時 單元中各點的應(yīng)變趨于相等 單元的變形比較均勻 因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分 為反映單元的應(yīng)變狀態(tài) 單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項 9 有限元法的收斂性概念與收斂條件 續(xù) 3 在單元內(nèi) 位移函數(shù)必須包括剛體位移項 一般情況下 單元內(nèi)任一點的位移包括形變位移和剛體位移兩部分 形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系 因而產(chǎn)生應(yīng)變 剛體位移只改變物體位置 不改變物體的形狀和體積 即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移 空間一個物體包括三個平動位移和三個轉(zhuǎn)動位移 共有六個剛體位移分量 由于一個單元牽連在另一些單元上 其他單元發(fā)生變形時必將帶動單元做剛體位移 由此可見 為模擬一個單元的真實位移 假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項 9 有限元法的收斂性概念與收斂條件 續(xù) 4 位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào) 對一般單元而言 協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點處有相同的位移 而且沿單元邊界也有相同的位移 也就是說 要保證不發(fā)生單元的相互脫離開裂和相互侵入重疊 要做到這一點 就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點的函數(shù)值唯一確定 對一般單元 協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性 但是 在板殼的相鄰單元之間 還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 只有這樣 才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量 9 有限元法的收斂性概念與收斂條件 續(xù) 總的說來 協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件 前三條又叫完備性條件 滿足完備條件的單元叫完備單元 第四條是協(xié)調(diào)性要求 滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元 否則稱為非協(xié)調(diào)單元 完備性要求是收斂的必要條件 四條全部滿足 構(gòu)成收斂的充分必要條件 在實際應(yīng)用中 要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求是比較困難的 在某些情況下可以放松對協(xié)調(diào)性的要求 9 有限元法的收斂性概念與收斂條件 續(xù) 需要指出的是 有時非協(xié)調(diào)單元比與它對應(yīng)的協(xié)調(diào)單元還要好 其原因在于近似解的性質(zhì) 假定位移函數(shù)就相當(dāng)于給單元施加了約束條件 使單元變形服從所加約束 這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實結(jié)構(gòu)更剛一些 但是 這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離 重疊 使單元的剛度變軟了 或者形成了 例如板單元在單元之間的繞度連續(xù) 而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時 剛節(jié)點變?yōu)殂q接點 對于非協(xié)調(diào)單元 上述兩種影響有誤差相消的可能 因此利用非協(xié)調(diào)單元有時也會得到很好的結(jié)果 在工程實踐中 非協(xié)調(diào)元必須通過 小片試驗后 才能使用 9 有限元法的收斂性概念與收斂條件 續(xù) 10 應(yīng)力的單元平均或節(jié)點平均處理方法 最簡單的處理應(yīng)力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點各單元應(yīng)力的平均值 1 取相鄰單元應(yīng)力的平均值這種方法最常用于3節(jié)點三角形單元中 這種最簡單而又相當(dāng)實用的單元得到的應(yīng)力解在單元內(nèi)是常數(shù) 可以將其看作是單元內(nèi)應(yīng)力的平均值 或是單元形心處的應(yīng)力 由于應(yīng)力近似解總是在精確解上下振蕩 可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此兩個單元合成的較大四邊形單元形心處的應(yīng)力 如2單元的情況下 取平均應(yīng)力可以采用算術(shù)平均 即平均應(yīng)力 單元1的應(yīng)力 單元2的應(yīng)力 2 也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均 即平均應(yīng)力 單元1應(yīng)力 單元1的面積 單元2應(yīng)力 單元2面積 單元1面積 單元2面積 當(dāng)相鄰兩單元面積相差不大時 兩者的結(jié)果基本相同 在單元劃分時應(yīng)避免相鄰兩單元的面積相差太多 從而使求解的誤差相近 10 應(yīng)力的單元平均或節(jié)點平均處理方法 續(xù) 一般而言 3節(jié)點三角形單元的最佳應(yīng)力點是單元的中心點 此點的應(yīng)力具有1階的精度 2 取圍繞節(jié)點各單元應(yīng)力的平均值首先計算圍繞該節(jié)點 i 周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點出的應(yīng)力值 然后以他們的平均值作為該節(jié)點的最后應(yīng)力值 即其中 1 m是圍繞在i節(jié)點周圍的全部單元 取平均值時也可進行面積加權(quán) 10 應(yīng)力的單元平均或節(jié)點平均處理方法 續(xù) 11 有限元法求解問題的基本步驟 1 結(jié)構(gòu)離散化對整個結(jié)構(gòu)進行離散化 將其分割成若干個單元 單元間彼此通過節(jié)點相連 2 求出各單元的剛度矩陣 是由單元節(jié)點位移量求單元節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣 其關(guān)系式為 3 集成總體剛度矩陣 K 并寫出總體平衡方程 總體剛度矩陣 K 是由整體節(jié)點位移向量求整體節(jié)點力向量的轉(zhuǎn)移矩陣 其關(guān)系式為 此即為總體平衡方程 4 引入支撐條件 求出各節(jié)點的位移節(jié)點的支撐條件有兩種 一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為零 另一種是節(jié)點n沿某個方向的位移為一給定值 5 求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變 12 單元剛度矩陣的特性 單元剛度矩陣無論在局部坐標系中還是在整體坐標系中都具有相同的三個特性 1 對稱性由材料力學(xué)中的位移互等定理可知 對一個構(gòu)件 作用在點j的力引起點i的繞度等于有同樣大小而作用于點i的力引起的點j的繞度 即 表明單元剛度矩陣是一個對稱矩陣 2 奇異性無逆陣的矩陣就叫做奇異矩陣 其行列式的值為0 即 這一點可以從例題直接得到驗證 其物理意義是引入支撐條件之前 單元可平移 12 單元剛度矩陣的特性 續(xù) 3 分塊性有前面所講的內(nèi)容可以看出 矩陣可以用虛線分成四塊 因此可寫成如下的分塊形式 式中 局部坐標系中單元 e 按局部碼標記的節(jié)點m n之間的剛度子矩陣 12 單元剛度矩陣的特性 續(xù) 13 求圖中所示剛架中各單元在整體坐標系中的單元剛度矩陣 1 設(shè)兩桿的長度與截面尺寸彼此相等 空心桿 其中 L 200cm D 5cm d 4cm E 2 107N cm2 13 求圖所示結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量 已知節(jié)點1處承受外載 其余條件同前例 14 剛架結(jié)構(gòu)中非節(jié)點載荷的處理的方法 在剛架結(jié)構(gòu)以及其他較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上 他們所受的載荷可以直接作用在節(jié)點上 又可以不直接作用在節(jié)點上而作用于單元節(jié)點間的其他位置上 后一種情況下的載荷稱為非節(jié)點載荷 有限元分析時 總體剛度方程中所用到的力向量是節(jié)點力向量 因此在進行整體分析前應(yīng)當(dāng)進行載荷的移植 將作用于單元上的力移植到節(jié)點上 移植時按靜力等效的原則進行 處理非節(jié)點載荷一般可直接在整體坐標系內(nèi)進行 其過程為 1 將各桿單元看成一根兩端固定的梁 分別求出兩個固定端的約束反力 其結(jié)果可直接利用材料力學(xué)的公式求得 2 將各固定端的約束反力變號 按節(jié)點進行集成 獲得各節(jié)點的等效載荷 14 剛架結(jié)構(gòu)中非節(jié)點載荷的處理的方法 續(xù) 15 總體剛度矩陣的集成法 使用剛度矩陣獲得的方法獲得總體剛度矩陣 在此將其擴展到由整體坐標系中的單元剛度矩陣的子矩陣集成總體剛度矩陣 步驟如下 1 對一個有n個節(jié)點的結(jié)構(gòu) 將總體剛度矩陣 K 劃分為n n各子區(qū)間 然后按節(jié)點總碼的順序進行編號 2 將整體坐標系中單元剛度矩陣的各子矩陣根據(jù)其下標的兩個總碼對號入座 寫在總體剛度矩陣相應(yīng)的子區(qū)間 3 同一子區(qū)間內(nèi)的子矩陣相加 成為總體剛度矩陣中的相應(yīng)的子矩陣 15 總體剛度矩陣的集成法 續(xù) 16 總體剛度矩陣的特性 1 對稱性 因為由此特性 在計算機中只需存儲其上三角部分 2 奇異性 物理意義仍為在無約束的情況下 整個結(jié)構(gòu)可做剛體運動 3 稀疏性 K 中有許多零子矩陣 而且在非零子矩陣中還有大量的零元素 這種矩陣稱為稀疏矩陣 大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是稀疏矩陣 4 分塊性 這個性質(zhì)已經(jīng)利用過 在此不再敘述 了解剛度矩陣的這些特性非常有用 它可以大大減少計算機的內(nèi)存和計算工作量 17 平面問題離散化時的規(guī)定 1 單元之間只在節(jié)點處相連 2 所有的節(jié)點都為鉸接點 3 單元之間的力通過節(jié)點傳遞 4 外載荷都要移植到節(jié)點上 5 在節(jié)點位移或某一分量可以不計之處 就必須在該節(jié)點安置一個鉸支座或相應(yīng)的連桿支座 通過以上的規(guī)定來建立平面有限元分析模型 18 平面離散化的一些定性的規(guī)律 1 結(jié)構(gòu)對稱性的利用2 對稱結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格布局3 劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟性4 不連續(xù)出的自然分割5 幾何形狀的近似與過渡圓角的處理6 單元形態(tài)的選擇7 邊界條件的確定8 單元和節(jié)點編號 19 結(jié)構(gòu)對稱性的利用規(guī)律 一般來說 作用在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷系統(tǒng)分為對稱的 反對稱的和一般的三種情況 1 結(jié)構(gòu)對稱 載荷對稱或反對稱這種情況下 對稱面上的邊界條件可按一下規(guī)則確定 A 在不同的對稱面上 將位移分量區(qū)分為對稱分量和反對稱分量 B 將載荷也按不同的對稱面分別區(qū)分為對稱分量和反對稱分量 C 對于同一個對稱面 如載荷是對稱的 則對稱面上位移的反對稱分量為零 如載荷是反對稱的 則對稱面上位移的對稱分量為零 結(jié)構(gòu)對稱 載荷一般的情況 如果所分析的結(jié)構(gòu)對稱 但載荷是不對稱的 也不是反對稱的 這時可以將這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡化成載荷為對稱和 或反對稱情況的組合 仍可以簡化分析過程 提高分析的綜合效率 如圖a所示 結(jié)構(gòu)對稱 載荷一般 可將其載荷分解為圖b和圖c的組合 圖b為對稱結(jié)構(gòu) 載荷對x y軸均為對稱 圖c為結(jié)構(gòu)對稱 載荷對x軸反對稱 對y軸對稱 此時可取相同的四分之一進行研究 分別施加對稱面上節(jié)點的邊界條件 進行兩次分析計算 并將計算結(jié)果迭加起來 即可得到原結(jié)構(gòu)四分之一的解答 進而得出整個結(jié)構(gòu)的解答 對稱性利用中的特殊問題 利用結(jié)構(gòu)的對稱性取某一部分建立有限元模型時 往往會產(chǎn)生約束不足現(xiàn)象 例如 若取上例中圖c的四分之一建立有限元時 根據(jù)上述分析 在兩對稱面上應(yīng)加水平放置的滾動鉸支座 因此模型在垂直方向存在剛體位移 對這種約束不足問題 利用有限元分析時 必須增加附加約束 以消除模型的剛體位移 在本例中 垂直方向可以用剛度很小的桿單元或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點上 使得既消除了模型的剛體位移 又不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元剛度太大而影響結(jié)構(gòu)原有的變形狀態(tài) 20 單元形態(tài)的選擇原則 單元形態(tài)包括單元形狀 邊中節(jié)點的位置 細長比等 在結(jié)構(gòu)離散化過程中必須合理選擇 一般來說 為了保證有限元分析的精度 必須是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則 對于三角形單元 三條邊長盡量接近 不應(yīng)出現(xiàn)大的鈍角 大的邊長 這是因為根據(jù)誤差分析 應(yīng)力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比 因而 等邊三角形單元的形態(tài)最好 它與等腰直角三角形單元的誤差之比為sin45 sin60 1 1 23 但是為了適應(yīng)彈性體邊界 以及單元由小到大逐漸過渡 不可能是所有的三角形單元都接近等邊三角形 實際上 常常使用等腰直角三角形 對于矩形單元來說 細長比不宜過大 細長比是指單元最大尺寸和最小尺寸之比 最優(yōu)細長比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的差別 梯度較大的方向 單元尺寸要小些 梯度小的方向 單元尺寸可以大一些 如果各方向上位移梯度大致相同 則細長比越接近1 精度越高 有文獻推薦 一般情況下 為了得到較好的位移結(jié)果 細長比不應(yīng)超過7 為了獲得較好的應(yīng)力結(jié)果 細長比不應(yīng)超過3 一般情況下 正方形單元的形態(tài)最好 對于一般的四邊形單元應(yīng)避免過大的邊長比 過大的邊長比會導(dǎo)致病態(tài)的方程組 20 單元形態(tài)的選擇原則 續(xù) 21 邊界條件的確定 確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán) 合理確定有限元模型的邊界條件是成功地進行結(jié)構(gòu)有限元分析的基本要求 一般情況下 建模對象的邊界條件是明確的 根據(jù)力學(xué)模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件 例如電線桿插入地基的一端為固定端 橋梁一端為固定鉸支座 另一端為滾動較支座 但是 在機械工程中 建模對象往往是整個結(jié)構(gòu)中的一部分 在建立有限元模型 確定其邊界條件時 必須考慮其余部分的影響 這方面主要考慮如下兩類問題 1 邊界位置的確定在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時 往往取該局部區(qū)域為隔離體 取其隔離邊界條件為零位移約束 并通過試探校正確定零位移邊界條件的位置 例如 進行齒輪齒有限元分析時 取一個輪齒的局部區(qū)域為隔離體 如圖所示 設(shè)定PQRS的邊界條件為零位移約束 通過改變邊界深度PQ和邊界寬度PS研究邊界位置對齒根最大拉應(yīng)力的影響 最后確定合理的邊界條件 2 邊界條件的確定有些分析對象的邊界位置是零部件的連接部位 在建立有限元模型時 必須研究如何給定邊界位置上的邊界條件 以反映相連接結(jié)構(gòu)的影響 確定這種問題的邊界條件是用簡單支撐連桿替代相連接結(jié)構(gòu)的作用 使替代后結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度等價于原結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度 如分析機床主軸和傳動軸時 可以利用等剛度的桿單元替代軸承和支座的作用 使軸的分析中包含有軸承和支座的影響 22 單元和節(jié)點編號規(guī)則 當(dāng)利用整體剛度矩陣的帶狀特征進行存貯和求解方程組時 單元節(jié)點編號直接影響系統(tǒng)整體剛度矩陣的半帶寬 也就是影響在計算機中存貯信息的多少 計算時間和計算費用 因而 要求合理的節(jié)點編號使帶寬極小化 半帶寬的計算公式 半帶寬d 單元節(jié)點號的最大差值 1 節(jié)點自由度由此 進行網(wǎng)格節(jié)點編號時應(yīng)使網(wǎng)格中單元節(jié)點號的最大差值最小 這樣才能保證半帶寬最小 試比較下圖 圖所示網(wǎng)格的四種編號方案中 單元節(jié)點標號的最大差值分別為5 3 5 9 顯然 圖2方案要合理 由此得出結(jié)論 沿著短邊方向按列 列 列 列地順序編號比沿著長度方向按行 行 行 行地順序要合理 半帶寬小 22 單元和節(jié)點編號規(guī)則 續(xù) 然而 對于具有中間節(jié)點的單元或空間問題 須借助于帶寬極小化的優(yōu)化程序來對節(jié)點重新編號 先進的有限元程序包一般都配備有這樣的程序 對單元的編號只影響整體剛度矩陣的裝配時間 由于這一時間在有限元運算時間中只占很小的比例 因而對于單元的編號并無特殊的要求 22 單元和節(jié)點編號規(guī)則 續(xù) 23 掌握分析三角形單元的位移模式求解方法 如圖所示 在局部坐標系中 三角形平面單元的三個節(jié)點分別為1 2 3 其編號按逆時針方向進行 節(jié)點坐標分別為 24 求解平面問題中局部坐標系中的單元剛度矩陣 將幾何方程和彈性方程代入虛功方程經(jīng)整理后得 局部坐標系中式中 單元剛度矩陣其中t 三角形單元平板的厚度 三角形單元的面積 25 平面問題中非節(jié)點載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點載荷 由于三角形單元復(fù)雜的力學(xué)性質(zhì) 不能像分析剛架時那樣簡單地利用材料力學(xué)公式來求解 而要用虛功方程將加在結(jié)構(gòu)上的非節(jié)點載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點載荷 掌握以下兩種常見的非節(jié)點載荷的移植結(jié)果 設(shè)Q平行于x方向 如圖4 14所示 則等效節(jié)點載荷為若Q平行于y方向 結(jié)果與此相仿 1 作用在單元一條側(cè)邊上的集中力 1 作用在單元一條側(cè)邊上的集中力 2 作用在單元一條側(cè)邊上呈三角形分布的載荷 設(shè)載荷平行于x方向 如圖4 15所示 則等效節(jié)點載荷為若分布載荷為集度是q的均布載荷 則其余分量為零 2 作用在單元一條側(cè)邊上呈三角形分布的載荷 26 例 求例4 7圖所示結(jié)構(gòu)節(jié)點的位移量 已知 ANSYS軟件基本知識 1 ANSYS圖形用戶界面 GUI 有哪幾部分組成 2 比較對話框中的 OK 與 Apply 的區(qū)別 3 熟悉單元類型的含義 4 ANSYS文件及工作文件名的含義 5 應(yīng)用ANSYS軟件計算 如圖所示的平面桁架 長度單位為m 求支座反力和各桿內(nèi)力 設(shè)彈性模量為2e 11 泊松比0 3 桿件截面面積為0 01m2 6 給定一個簡單的物理現(xiàn)象 能夠使用ANSYS創(chuàng)建一個2D的有限元模型 7 熟練運用將幾何模型劃分網(wǎng)格后 進行加載與求解及結(jié)果的后處理 有關(guān)軟件的幾個問題的處理1 載荷與載荷分類 ANSYS中的載荷可分為 自由度DOF 定義節(jié)點的自由度 DOF 值 結(jié)構(gòu)分析 位移 熱分析 溫度 電磁分析 磁勢等 集中載荷 點載荷 結(jié)構(gòu)分析 力 熱分析 熱導(dǎo)率 電磁分析 magneticcurrentsegments 面載荷 作用在表面的分布載荷 結(jié)構(gòu)分析 壓力 熱分析 熱對流 電磁分析 magneticMaxwellsurfaces等 體積載荷 作用在體積或場域內(nèi) 熱分析 體積膨脹 內(nèi)生成熱 電磁分析 magneticcurrentdensity等 慣性載荷 結(jié)構(gòu)質(zhì)量或慣性引起的載荷 重力 角速度等 2 添加載荷應(yīng)遵循的原則 簡化假定越少越好 使施加的載荷與結(jié)構(gòu)的實際承載狀態(tài)保持吻合 如果沒法做得更好 只要其它位置結(jié)果正確也是可以認為是正確的 但是你必須忽略 不合理 邊界的附近一定區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力 加載時 必須十分清楚各個載荷的施加對象及定義載荷 除了對稱邊界外 實際上不存在真正的剛性邊界 不要忘記泊松效應(yīng) 添加剛體運動約束 但不能添加過多的 其它 約束 實際上 集中載荷是不存在的 軸對稱模型具有一些獨一無二的邊界特性 3 求解時模型是否準備就緒 在求解初始化前 應(yīng)進行分析數(shù)據(jù)檢查 包括下面內(nèi)容 1 統(tǒng)一的單位 2 單元類型和選項 3 材料性質(zhì)參數(shù) 考慮慣性時應(yīng)輸入材料密度 熱應(yīng)力分析時應(yīng)輸入材料的熱膨脹系數(shù) 4 實常數(shù) 單元特性 5 單元實常數(shù)和材料類型的設(shè)置 6 實體模型的質(zhì)量特性 Preprocessor Operate CalcGeomItems 7 模型中不應(yīng)存在的縫隙 8 殼單元的法向 9 節(jié)點坐標系 10 集中 體積載荷面力方向 11 溫度場的分布和范圍 12 熱膨脹分析的參考溫度 在求解過程中 應(yīng)將OUTPUT窗口提到最前面 ANSYS求解過程中的一系列信息都將顯示在此窗口中 主要信息包括 模型的質(zhì)量特性 模型質(zhì)量是精確的 質(zhì)心和質(zhì)量矩的值有一定誤差 單元矩陣系數(shù) 當(dāng)單元矩陣系數(shù)最大 最小值的比率 1 0E8時將預(yù)示模型中的材料性質(zhì) 實常數(shù)或幾何模型可能存在問題 當(dāng)比值過高時 求解可能中途退出 模型尺寸和求解統(tǒng)計信息 匯總文件和大小 有必要注意 往往是求解輸入的模型不完整或存在錯誤 典型原因有 約束不夠 通常出現(xiàn)的問題 當(dāng)模型中有非線性單元 如縫隙gaps 滑塊sliders 鉸hinges 索cables等 整體或部分結(jié)構(gòu)出現(xiàn)崩潰或 松脫 材料性質(zhì)參數(shù)有負值 如密度或瞬態(tài)熱分析時的比熱值 未約束鉸接結(jié)構(gòu) 如兩個水平運動的梁單元在豎直方向沒有約束 屈曲 當(dāng)應(yīng)力剛化效應(yīng)為負 壓 時 在載荷作用下整個結(jié)構(gòu)剛度弱化 如果剛度減小到零或更小時 求解存在奇異性 因為整個結(jié)構(gòu)已發(fā)生屈曲 4 沒有獲得結(jié)果的原因是什么 5 應(yīng)力奇異 應(yīng)力奇異是有限元模型中由于幾何構(gòu)造或載荷引起彈性理論計算應(yīng)力值無限大 即使是奇異點 材料的非線性特性不可能允許應(yīng)力值出現(xiàn)無限增大情況 在理論上總體應(yīng)變也是有限的 許多設(shè)計準則都是根據(jù)應(yīng)力制訂的 例如設(shè)計疲勞曲線 但實際上是基于應(yīng)變制訂的 在應(yīng)力奇異處 單元網(wǎng)格越是細化 越引起計算應(yīng)力無限增加 并且不再收斂 網(wǎng)格疏密不均勻時網(wǎng)格離散誤差也大小不一 自適應(yīng)網(wǎng)格劃分結(jié)果是失敗的或者網(wǎng)格錯誤 一般應(yīng)力奇異發(fā)生情形 添加在節(jié)點上的集中載荷 集中力 與施加在與該節(jié)點相連單元上的均布或變化的面載荷 壓力 等相當(dāng)?shù)脑?這些節(jié)點處就成為應(yīng)力奇異點 離散約束點導(dǎo)致非零反力的出現(xiàn) 就如同在節(jié)點上施加一集中力 這時約束點也就成為應(yīng)力奇異點 銳利 零半徑倒角 拐角處 不常見的應(yīng)力奇異情形 由于在劃分單元網(wǎng)格時出錯 模型中存在的 裂縫 曲邊單元中處在極不理想位置的中間點 ANSYS單元形狀檢查會發(fā)出警告 嚴重扭曲的單元 ANSYS單元形狀檢查會發(fā)出警告 實際結(jié)構(gòu)中并不存在應(yīng)力奇異點 它們是由于工程分析過程進行簡化處理而引起的 沒有任何制造出來的部件是具有非常銳利的零半徑的倒角 所有載荷都是通過有限大小的壓力面來添加或傳遞到真實部件上去的 好的有限元模型仍然可能存在應(yīng)力奇異 但分析者必須知道應(yīng)力奇異附近區(qū)域的應(yīng)變和應(yīng)力是無效的 FEA模型還可以給出結(jié)構(gòu)承載響應(yīng) 甚至是應(yīng)力奇異點鄰近區(qū)域 的其它許多有用信息 6 結(jié)果后處理結(jié)果的繪圖和列表 ANSYS有兩個后處理器 通用后處理器 即 POST1 只能觀看整個模型在某一時刻的結(jié)果 如 結(jié)果的照相 snapshot 時間歷程后處理器 即 POST26 可觀看模型在不同時間的結(jié)果 但此后處理器只能用于處理瞬態(tài)和 或動力分析結(jié)果 7 誤差估計 ANSYS對平均應(yīng)力和非平均應(yīng)力采用幾種不同的誤差計算方法 誤差估計只在進入后處理前PowerGraphics被關(guān)閉的情況下進行 如果進入后處理后關(guān)閉PowerGraphics則ANSYS將重新計算誤差因子 關(guān)閉PowerGraphics 應(yīng)力等值線圖可顯示應(yīng)力分布和最大最小值范圍 這可表明誤差的大小 通過畫出結(jié)構(gòu)誤差的等值線圖 可顯示誤差較大的區(qū)域 這些區(qū)域需要網(wǎng)格加密 畫出所有單元的應(yīng)力偏差圖 可給出每個單元的應(yīng)力誤差值 平均應(yīng)力和非平均應(yīng)力不同 8 結(jié)果驗證 驗證分析的結(jié)果 在任何有限元分析中無疑是最為重要的步驟 在開始任何分析以前 應(yīng)該至少對分析的結(jié)果有粗略的估計 來自經(jīng)驗 試驗 標準等 如果結(jié)果與預(yù)期的不一樣 應(yīng)該研究差別的原因 9 識別無效的結(jié)果 認識分析的對象的一些基本行為 重力方向總是豎直向下的 離心力總是沿徑向向外的 物體受熱一般要膨脹 沒有一種材料能抵抗1 000 000N的應(yīng)力 軸對稱的物體幾乎沒有為零的環(huán)向應(yīng)力 彎曲載荷造成的應(yīng)力使一側(cè)受壓 另一側(cè)受拉 如果只有一個載荷施加在結(jié)構(gòu)上 檢驗結(jié)果比較容易 如果有多個載荷 可單獨施加一個或幾個載荷分別檢驗 然后施加所有載荷檢驗分析結(jié)果 10 調(diào)試可疑的分析結(jié)果 尋找到底是什么導(dǎo)致分析結(jié)果與預(yù)期的不一樣 1 找到一個類似的問題及其分析結(jié)果 這個結(jié)果已經(jīng)充分理解并且結(jié)果完全正確 2 一步一步地消除 好 結(jié)果與 壞 結(jié)果之間的模型及載荷或求解控制等方面的差距 直到 a 好 結(jié)果變成 壞 結(jié)果 b 壞 結(jié)果變成 好 結(jié)果