高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 4 反證法課件 北師大版選修1-2.ppt

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4反證法 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 王戎7歲時 與小伙伴們外出游玩 看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子 小伙伴們紛紛去摘果子 只有王戎站在原地沒動 路人不解 王戎回答說 樹在道邊而多子 此必苦李 小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李 王戎是怎樣知道李子是苦的呢 提示 如果李子不苦 因?yàn)闃湓诘肋?那么李子一定會被路人摘吃了 就不會有這么多李子 在證明數(shù)學(xué)命題時 先 成立 在這個前提下 若推出的結(jié)果與 相矛盾 或與命題中的 相矛盾 或與 相矛盾 從而說明 不可能成立 由此斷定 成立 這種證明方法叫作反證法 1 反證法 假定命題結(jié)論的反面 定義 公理 定理 已知條件 假定 命題結(jié)論的反面 命題的結(jié)論 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾 這個矛盾可以是與 等矛盾 2 反證法常見矛盾類型 使用反證法應(yīng)注意的幾個問題1 如果待證命題的相反判斷有多種不同情況 需對各種不同情況一一導(dǎo)出矛盾 加以否定 才能使原判斷得到充分肯定 2 有些待證命題的相反判斷雖然只有一種情況 但在證明過程中有必要進(jìn)行分類 首先要求分類必須詳盡無遺漏 并且就各類一一導(dǎo)出矛盾 已知條件 假設(shè) 定義 公理 定理 事實(shí) 3 有些待證命題的相反判斷是斷言一個對象在某一范圍內(nèi)恒有某種屬性 對此只要我們能夠在該范圍內(nèi)舉一特例導(dǎo)出矛盾 即可予以否定 從而達(dá)到證明的目的 4 用直接法證明幾何問題時 所畫的圖形應(yīng)力求準(zhǔn)確 但反證法恰好相反 我們往往故意畫出不正確的甚至不可能存在的圖形 才便于探索導(dǎo)出矛盾的途徑 5 有些命題在證明過程中 可以連續(xù)運(yùn)用反證法 即反證法中套反證法 1 應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用 結(jié)論的否定 已知條件 公理 定理 定義等 原結(jié)論 A B C D 解析 考查反證法的基本思想 答案 C 3 用反證法證明命題 x2 a b x ab 0 則x a且x b 時應(yīng)假設(shè)為 解析 否定結(jié)論時 一定要全面否定x a且x b的否定為x a或x b 答案 x a或x b 4 在不等邊 ABC中 A是最小角 求證 A 60 證明 假設(shè)A 60 A是不等邊三角形ABC的最小角 不妨設(shè)C為最大角 B A 60 C A 60 A B C 180 與三角形內(nèi)角和等于180 矛盾 假設(shè)錯誤 原結(jié)論成立 即A 60 課堂互動講義 用反證法證明結(jié)論中含有 至少 至多 都 等詞語的問題 用反證法證明該類問題時 要注意一些常用正面詞語的否定形式 已知 一點(diǎn)A和平面 求證 經(jīng)過點(diǎn)A只能有一條直線和平面 垂直 思路導(dǎo)引 用反證法證明 唯一 型命題 證明 根據(jù)點(diǎn)A和平面 的位置關(guān)系 分兩種情況證明 1 如圖 點(diǎn)A在平面 內(nèi) 假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A至少有平面 的兩條垂線AB AC 那么AB AC是兩條相交直線 它們確定一個平面 平面 和平面 相交于經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線a 因?yàn)锳B 平面 AC 平面 a 所以AB a AC a 在平面 內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直 這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾 有且只有 有兩層含義 1 存在 2 唯一 證明存在性時只需找到一個滿足題意的條件即可 而唯一性從正面證明很難 所以可以采用反證法反設(shè)結(jié)論的反面成立推導(dǎo)矛盾 只要找到矛盾即可 2 求證 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行 證明 點(diǎn)P在直線外 點(diǎn)P和直線a確定一個平面 設(shè)該平面為 在平面 內(nèi) 過點(diǎn)P作直線b 使得b a 則過點(diǎn)P有一條直線與a平行 假設(shè)過點(diǎn)P還有一條直線c與a平行 a b a c b c 這與b c相交于一點(diǎn)P矛盾 故假設(shè)不成立 原命題正確 12分 設(shè)a b c d R 且ad bc 1 求證 a2 b2 c2 d2 ab cd 1 思路導(dǎo)引 由條件不能正面證明結(jié)論 采用反證法假設(shè)結(jié)論不成立 將已知條件代入整理可得出與已知條件矛盾 否定 型命題 否定性命題從正面突破往往比較困難 故用反證法比較多 常見否定詞語的否定形式如下表所示 用反證法證明時 忽略步驟致錯已知實(shí)數(shù)p滿足不等式 2p 1 p 2 0 用反證法證明 關(guān)于x的方程x2 2x 5 p2 0無實(shí)根 錯因 利用反證法進(jìn)行證明時 首先要對所要證明的結(jié)論進(jìn)行否定性的假設(shè) 并以此為條件進(jìn)行推理 得到矛盾 從而證明原命題成立 即反證法必須嚴(yán)格按照 否定 推理 否定 的步驟進(jìn)行 錯解在證明的過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論 因而證明方法不是反證法 糾錯心得 1 應(yīng)用反證法證題時必須先否定結(jié)論 2 反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理 即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件 且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理 否則 僅否定結(jié)論 不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理 就不是反證法