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1 通過優(yōu)化柔性橢球體對欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂的自重構(gòu) 摘要 根據(jù)優(yōu)化技術(shù) 欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂的多模型特征 柔性操作的測量 自重構(gòu)的控制方法已被調(diào)查研究 分析了空間關(guān)節(jié)的結(jié)構(gòu)變形和欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂 柔性操作之間的關(guān)系 處于鎖定模式下欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂的一種新型柔性橢球體操 作的測量被提出 能應(yīng)用于獲得自重構(gòu)控制的最理想結(jié)構(gòu) 因此 基于簡諧振動隨時 間變化非線性控制方法認(rèn)為能完成其自重構(gòu) 被動關(guān)節(jié)三連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂等仿真例 子在一些調(diào)查方面起重要作用 關(guān)鍵詞 欠驅(qū)動機(jī)械臂 自重構(gòu) 優(yōu)化 非線性控制 0 前言 欠驅(qū)動裝置和機(jī)械臂能應(yīng)用于許多領(lǐng)域 例如太空技術(shù) 合作機(jī)械人 變形裝置 在太空領(lǐng)域里 由于沒有失去有用功能或了解系統(tǒng)的自重構(gòu) 當(dāng)驅(qū)動構(gòu)件出現(xiàn)一些問 題時 基于欠驅(qū)動技術(shù)的誤差出現(xiàn)是不可避免的 欠驅(qū)動機(jī)械臂也能被設(shè)計為合作機(jī) 器人 也就是說 COBOT COBOT 的驅(qū)動不是作驅(qū)動裝置而是提供動力學(xué)非函數(shù)約 束 COBOT 需要操作人員提供外力才能完成準(zhǔn)確的應(yīng)用 例如在生物工程學(xué)上外科 手術(shù)和半導(dǎo)體制造等等 在機(jī)械領(lǐng)域機(jī)械變形有多種模態(tài) 并能從一種模態(tài)向另一種 模態(tài)轉(zhuǎn)變 引用不同模態(tài)之間的改變可能導(dǎo)致連桿數(shù)目的變化或機(jī)械變形的約束限制 很顯然 欠驅(qū)動控制 冗余度驅(qū)動和柔性裝置是不可避免的 因此 欠驅(qū)動系統(tǒng)逐漸 的成為研究領(lǐng)域一個具有吸引力的話題 從力學(xué)角度看 研究欠驅(qū)動機(jī)械臂系統(tǒng)是不可能控制的 被動關(guān)節(jié)的運(yùn)動是必須 靠與動力裝置連接 Jain等表明動力裝置是欠驅(qū)動機(jī)械臂的非完整性約束是二階的 在機(jī)械實際上 與非完整性約束廣泛被研究比較也有100多年歷史 然而 關(guān)于這種 系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)劃和控制技術(shù)的研究只是近10的事情 研究多針對輪式移動機(jī)器人 跳 躍機(jī)器人 航空航天機(jī)器人等一階非完整性約束系統(tǒng) 關(guān)于欠驅(qū)動機(jī)械臂的研究觀點(diǎn) Anthoney等研究運(yùn)動的穩(wěn)定性 Arai 等提出隨時間變化方法完成系統(tǒng)的位置控制 Lee 等為欠驅(qū)動機(jī)器人提供了多種非線性控制方法 欠驅(qū)動研究的這些方法已從本質(zhì) 上揭示了它是非線性的 并且是隨時間變化的 抽象的 事實上 Brockett 已證實這 并沒有消除阻礙和穩(wěn)定給定結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜電狀況反饋 很顯然 非線性系統(tǒng)的特征在 組合空間多自由度是可以控制的 所以 非線性系統(tǒng)的控制研究受到更多的關(guān)注 欠驅(qū)動機(jī)構(gòu)和機(jī)械臂是對傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計基本原理相違背的 傳動機(jī)械設(shè)計基本 原理認(rèn)為 原動件的數(shù)目要與自由度的數(shù)目相等時 機(jī)構(gòu)才具有確定的運(yùn)動 欠驅(qū)動 機(jī)械臂首先被提出并不是由于它的價值優(yōu)點(diǎn) 但一些研究表明 欠驅(qū)動機(jī)構(gòu)的故意設(shè) 2 計也是很有價值的 例如 Rivhter 等獲得由柔性欠驅(qū)動機(jī)械臂多維受力的測量 Nakamura 等設(shè)計出了輪式滾動接觸的非完整機(jī)器人和平面四連桿二驅(qū)動機(jī)械臂的控 制 He 等針對欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂提出一種自由碰撞運(yùn)動規(guī)劃演算法 從以上討論 的結(jié)果來看 我們可推斷出在研究欠驅(qū)動時 可能遇到一些未被發(fā)現(xiàn)的新問題 如所 提到的技術(shù)和理論的形成 因此 我們改善這裝置具有很大的潛能性 這篇論文中 我們對欠驅(qū)動機(jī)械臂的靜態(tài)特征和自重構(gòu)控制方法進(jìn)行探索與研 究 1 柔性橢球體模型 機(jī)械硬度是機(jī)械臂的一個重要要素 它是用來抵抗受力和阻礙力的能力 對 于開式鏈接機(jī)械臂而言 鏈接部分是非常重要的部分 所以末端位姿的變形將會 對連桿帶來不良影響 轉(zhuǎn)矩可以近似滿足如下方程 i 1 2 n 1 iiKM 式中 關(guān)節(jié) i 的轉(zhuǎn)矩i 關(guān)節(jié) i 的變形量 關(guān)節(jié) i 的硬度系數(shù)ik 如果忽略關(guān)節(jié) i 的重力和摩擦力不計 假設(shè)機(jī)械臂末端位姿力矢 mRF 則轉(zhuǎn)矩方程又可以寫成 2 FJT 式中 關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)矩nRM 雅可比矩陣mJ 眾所周知 關(guān)節(jié)有會有變形 機(jī)械臂末端位姿有如下關(guān)系式 3 Jx 式中 機(jī)械臂末端位姿矢量x 關(guān)節(jié)的位姿矢量 將 1 式寫成矩陣的形式 結(jié)合 2 3 式 經(jīng)簡單的計算 和 F 之X 間的關(guān)系如下 4 F Jk XT1 式中 如果定義 6 T1JkC 6 式是末端位姿的柔性矩陣 然而 在太空工作 強(qiáng)度矩陣一致 柔性矩1 c 3 陣 C 可以用來測量機(jī)械臂的靜態(tài)特征 矩陣 C 也有雅可比函數(shù)功能 因此 它在 組合和構(gòu)造要素較大范圍內(nèi)是可改變的 在穩(wěn)定條件下機(jī)械臂的可變特征能用于 完成一些應(yīng)該的復(fù)雜的操作 如裝配 拋光 維修等等 由 5 6 式可知矩 陣 C 是對稱性矩陣 如果定義 7 Cdet T 對矩陣 C 進(jìn)行微分 方程式 7 我們又可以得到 8 m1ii 式中 i 1 2 3 m 應(yīng)用了矩陣 C 的單一性 因此 是其對稱矩i TC 陣 有如下關(guān)系 9 x T 式 9 被描述為橢球體曲線方程 當(dāng)橢球體的主要曲線與矩陣 C 的單一值相 等時 這橢球體也被認(rèn)為是一般柔性橢球體 GFE 由于直觀原因 圖一中平面 2 連桿機(jī)械臂的的連桿長 GFE 如圖 2 和 3 所示 2 1i0 Li 圖一 平面 2R 桿機(jī)械臂 圖 2 平面 2R 桿全驅(qū)動機(jī)械臂的 GFE 模型 4 圖 3 平面 2R 桿全驅(qū)動機(jī)械臂的 GFE 模型 這些圖示表明測量是需要依賴組合和機(jī)構(gòu)要素 然而全驅(qū)動機(jī)械臂并不能改變其 機(jī)構(gòu)要素 因此 由于不同的構(gòu)件 圖 2 而不是結(jié)構(gòu)要素 從圖 2 改變到圖 3 GFE 模型是可以改變的 當(dāng)被動關(guān)節(jié)被引進(jìn)作為全驅(qū)動機(jī)械臂時 為了方便使用 假設(shè)這些被動關(guān)節(jié)具有制動裝置和位置控制 以便被動關(guān)節(jié)能在自由模式和鎖定模式 下進(jìn)行制動 然而在運(yùn)動學(xué)上 欠驅(qū)動機(jī)械臂揭示了一些冗余度連桿問題 并沒有表 明在輸入方式下的自運(yùn)動不如工作狀態(tài)下的自運(yùn)動 另一方面 被動關(guān)節(jié)的制動模式 能使欠驅(qū)動機(jī)械臂具有重構(gòu)能力 系統(tǒng)具有敏捷性而使其能適合不同的工作 2 柔性矩陣 假設(shè)在欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂中 s 連桿為被動關(guān)節(jié) 被動關(guān)節(jié)裝有制動裝置 當(dāng) 被動關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時 其速度運(yùn)動方程可以寫成為 10 paJx 式中 機(jī)械臂末端位姿矢量mRX 驅(qū)動機(jī)械臂的雅可比矩陣nJ 分別為驅(qū)動和被動機(jī)械臂的廣義坐標(biāo)矢量3p 當(dāng)機(jī)械臂中被動關(guān)節(jié)處于鎖定狀態(tài)時 系統(tǒng)運(yùn)動方程可變?yōu)?11 qJxi 式中 機(jī)械臂末端位姿矢量mRX 鎖定狀態(tài)下被動關(guān)節(jié)機(jī)械臂的雅可比矩陣niJ 驅(qū)動關(guān)節(jié)的機(jī)械臂廣義坐標(biāo)q 很顯然 方程 11 和 3 是同一形式 方程 10 和 11 表明欠驅(qū)動機(jī)械 臂在運(yùn)動學(xué)上具有不同的模式 換句話說 在運(yùn)動學(xué)上系統(tǒng)具有多中模式特征 圖 5 4 平面 3R 連桿機(jī)械臂就是很好的例子 機(jī)械臂的第二關(guān)節(jié)是被動關(guān)節(jié) 其他的 都是驅(qū)動關(guān)節(jié) 當(dāng)被動關(guān)節(jié)處于自由狀態(tài)時 被選做為廣義坐標(biāo)變量 如果被3R 動關(guān)節(jié)處于自鎖狀態(tài) 機(jī)械臂的維數(shù)將變?yōu)?2 維 這廣義坐標(biāo)變量為 顯然2Rq 由于 但雅可比矩陣有如下關(guān)系 0q 圖 4 平面 3R 桿機(jī)械臂 由于欠驅(qū)動機(jī)械臂存在不同的運(yùn)動模式 一種可以用來優(yōu)化和機(jī)械臂的機(jī)構(gòu) 組合及自重構(gòu)以使用不同的工作 預(yù)測如何完成基于欠驅(qū)動下的全驅(qū)動機(jī)械臂操作是 不可避免的問題 不象全驅(qū)動冗余度機(jī)械臂那樣 欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂并不能改善其 操作工作 執(zhí)行機(jī)械臂任務(wù)類似于輸入空間的體積比工作空間少的緣故 有一條可行 的途徑就是在不同的時間分解機(jī)構(gòu)的工作 例如 當(dāng)機(jī)械臂工作處于驅(qū)動模式下 機(jī) 構(gòu)組合能進(jìn)行機(jī)構(gòu)自重構(gòu) 然而當(dāng)機(jī)械臂工作在全驅(qū)動模式下 其功能之一就是能控 制機(jī)構(gòu)的運(yùn)動 事實上 處于欠驅(qū)動工作模式下的機(jī)械臂能辯別機(jī)構(gòu)的運(yùn)動 如位置 控制或間斷點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動 但是這并不是此論文所討論的重點(diǎn) 我們應(yīng)關(guān)注的是欠驅(qū) 動冗余度機(jī)械臂的靜態(tài)特征和機(jī)構(gòu)自重構(gòu)控制方法 欠驅(qū)動機(jī)械臂兩中模式的運(yùn)動方程可以被多種方法描述 但是在復(fù)雜的機(jī)械 裝置中多連桿機(jī)械臂的機(jī)構(gòu)要素定義還存在一定的困難 為了解決這些問題 我們將 進(jìn)行分析欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂的兩種模式間的關(guān)系 假定一種特殊的機(jī)械臂組合機(jī)構(gòu) 假設(shè)有 處于裝置的兩種模式下的mn 末端位姿表達(dá)式是一致的 可以表示為 12 pai JqJ 假設(shè) 0Jaa 13 13 式表示微運(yùn)動發(fā)生在關(guān)節(jié)部分而不是發(fā)生在末端位姿處 根據(jù) 13 式 6 方程式又可以寫成 14 apJ 把 14 代入 12 式中 我們可以得到 15 ai I qJ 15 式描述欠驅(qū)動機(jī)械臂兩種模式下的不同一機(jī)構(gòu) 因此 兩種廣義坐標(biāo)也是 相等的 設(shè) 又可以得到 q 16 api I 16 式表示兩種模式下的雅可比矩陣間的關(guān)系 此式能預(yù)測出全驅(qū)動模式的運(yùn) 動 把 16 式代入方程式 5 可以得到全驅(qū)動模式下的欠驅(qū)動矩陣方程 17 Ti1iJkC 根據(jù)方程 7 GFE 欠驅(qū)動機(jī)械臂也能定義 方程 17 表示在機(jī)械裝置改裝 后的系統(tǒng)靜態(tài)特征 其一 我們以通過 3R 桿機(jī)械臂模擬 圖 4 作為非冗余度機(jī)械 臂而言 如果我們假定處于工作狀態(tài)下的一點(diǎn) 它不僅與柔性橢球體模型有關(guān) 相反 有許多與處于冗余度機(jī)械臂工作狀態(tài)下的這一點(diǎn)相關(guān) 假設(shè) 3R 桿平面機(jī)械臂三桿長 分別為 機(jī)構(gòu)的起始角度為m0 1L5 0L321 和 GFE 其他末端位姿起始位置如圖 5 所示 6 1 顯然 根據(jù)處于工作狀態(tài)下的這種狀況 可知存在許多這樣的關(guān)節(jié)組合 這 些機(jī)構(gòu)都是與 GFE 相關(guān)的 但是一欠驅(qū)動冗余度機(jī)械臂存在機(jī)構(gòu)自重構(gòu)的能力 一 般而言 我們期望的 GFE 在不同的基本組合中有類似的運(yùn)動 換句話說 橢球體模 型類似于一個球 如圖 5 所示 在 3 桿中第一桿運(yùn)動狀態(tài)表現(xiàn)最佳 3 非線性控制 7 我們通過分析系統(tǒng)的動態(tài)特性 為了尋求一種能有效地控制欠驅(qū)動機(jī)械臂運(yùn)動 欠驅(qū)動機(jī)械臂動態(tài)方程可以寫成 18 McIapaa 19 0Tp 式中 為質(zhì)量慣性矩 為中心吸引力和摩擦轉(zhuǎn)矩矢量 M 是驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量 是驅(qū)動關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)矢量 是被動關(guān)節(jié)廣義坐標(biāo)矢量 p Jain 等證實方程 19 是二階非線性約束方程 通過自重構(gòu) 在工作狀態(tài)下給定位置 欠驅(qū)動機(jī)械臂具有改善裝置運(yùn)動的能力 由于系統(tǒng)輸入空間維數(shù)少于空間關(guān)節(jié)的維數(shù) 被動關(guān)節(jié)的位置控制只能通過動態(tài)藕合來實現(xiàn) 基于 Brockett 理論 給定機(jī)構(gòu)的系統(tǒng) 并不是光滑的 穩(wěn)定性完全符合靜平衡反饋定律 因此 非線性控制的結(jié)果表明系統(tǒng) 是非線性的 隨時間變化的 離散的 非線性控制方法還有一種就是在 Ref 17 中 所提到的全驅(qū)動關(guān)節(jié)的簡諧振動 這種方法的本質(zhì)就是當(dāng)驅(qū)動關(guān)節(jié)運(yùn)動到一個周期時 被動關(guān)節(jié)將偏離平衡位置 圖 6 驅(qū)動關(guān)節(jié)的簡諧振動方程有 20 tcosAa 21 in 22 2a 式中 A 簡諧振動的振幅 W 簡諧振動的角頻率 8 如果我們將式中 22 變換一下 代入 19 式得到 23 2Tap1pAIcI 通常 角頻率 是一個較大的數(shù) 因此 簡諧振動周期 T 是一個非常 小的數(shù) 被作為一個周期的約束 23 式有可以寫成TPIC 1 24 2Tap1pIcI2 24 式表示一個周期后有一點(diǎn)發(fā)生偏離 顯然 構(gòu)成整體的價值在于簡諧振動 的振幅和角頻率 者就是簡諧振動中的驅(qū)動關(guān)節(jié)能控制被動關(guān)節(jié)的原因之一 4 自重構(gòu)控制律 自重構(gòu)需要穩(wěn)定的控制技術(shù) 間諧振動非線性控制方法在第 3 部分已經(jīng)簡單 地介紹了 下面我們將設(shè)計一個新的控制方法來執(zhí)行機(jī)構(gòu)的自重構(gòu)運(yùn)動 這種方法將 用于優(yōu)化在工作狀態(tài)下給定位置時的廣義柔性橢球體模型 假設(shè) 引用于一個期望的組合 此組合源于一些優(yōu)化方法 是驅(qū)動機(jī)械臂d 的驅(qū)動位置角 設(shè) 9 25 de 式中 e 關(guān)節(jié)位置矢量誤差 對方程 24 進(jìn)行微分有 26 padpae 取滑動模態(tài)為 a1aekS 27 集中律為 a3a2a sgn 28 式中 且 sgn 作為符號函數(shù) 有如下式子 0 0321 K 如果矢量 有 可以得到下面式子 STn1 S 27 式表示驅(qū)動關(guān)節(jié)的運(yùn)動滿足萊布羅定律 假設(shè)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入與 20 21 有關(guān) 當(dāng) 時 又可以得到如下關(guān)系式0K4 0p2d 將 26 式中 2 桿的 2 倍偏離量代入 30 式 可以得到 設(shè)驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入為 將 32 和 31 式代入 19 式 有如下關(guān)系 振動振幅為 雖被動關(guān)節(jié)并沒有達(dá)到期望的位置 驅(qū)動關(guān)節(jié)輸入控制可用 32 式來描述 另 一方面 被動關(guān)節(jié)處于期望的位置 輸入控制方式有以下方程 從 27 式中可知偏 離時間為 結(jié)合 28 和 35 式 控制律為 顯然 這種控制方法是非線性的 隨時間變化的 且遵循 Brockett 理論 有以上 關(guān)系重新整理振幅 控制律為 當(dāng) ep 0 時滿足 10 當(dāng) ep 0 時滿足 5 仿真研究 在這部分中 選平面 3R 桿機(jī)械臂作為仿真模型 如圖 4 所示 設(shè)第二桿為機(jī)械 臂的被動關(guān)節(jié) 其他兩桿為驅(qū)動關(guān)節(jié) 如果初始位置為 30 6 021 為了改善執(zhí)行廣義的柔性橢球體模型 更好的位置為 這在第三部分已給出 我們認(rèn)為后面一種情況 15 8 9 17 85 24321 是我們期望的結(jié)果 根據(jù)第四部分所提供的控制方法 模擬仿真結(jié)果如圖 7 所示 11 圖 7 3R 桿欠驅(qū)動機(jī)械臂的自重構(gòu)運(yùn)動 1 連桿 1 2 連桿 2 3 連桿 3 圖 7 a 表示隨時間變化的關(guān)節(jié)位置誤差 圖 7 b 表示與時間有關(guān)的關(guān)節(jié)運(yùn) 動軌道軌跡 圖 7 c 表示在自重構(gòu)控制中機(jī)械臂機(jī)構(gòu)位置的改變 圖 7 d 表示 關(guān)節(jié)速度與位置間關(guān)系圖 顯然 機(jī)械臂已滿足期望的機(jī)構(gòu)完成自重構(gòu)控制 6 結(jié)束語 欠驅(qū)動技術(shù)是一個非常關(guān)鍵性的問題 它不僅能夠產(chǎn)生空間機(jī)器人系統(tǒng)的線性誤 差 而且能操控合作機(jī)器人和機(jī)器裝置 欠驅(qū)動機(jī)械臂有實現(xiàn)機(jī)械自重構(gòu)的能力 新 的關(guān)儀廣義柔性橢球體欠驅(qū)動冗余度制動式機(jī)械臂的測量被提出 這測量由于優(yōu)化系 統(tǒng)的穩(wěn)定性 簡諧振動的非線性控制方法能執(zhí)行自重構(gòu)運(yùn)動 有 3 連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂 的仿真結(jié)果證明測量和振幅的控制是有效的 References 1 Nakamura Y Mukerherjee R Nonholinomic path planning of space robotics via a bi directional approach IEEE Transactions on Robotics 12 and Automation 1991 7 4 500 514 2 Moore C A Peshkin M A Colate J E Design of 3R cobot using continuous variable 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