九年級數(shù)學(xué)下冊 29.2 反證法課件 華東師大版.ppt

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路邊苦李 王戎7歲時 與小伙伴們外出游玩 看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子 小伙伴們紛紛去摘取果子 只有王戎站在原地不動 王戎回答說 樹在道邊而多子 此必苦李 小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李 王戎是怎樣知道李子是苦的呢 他運用了怎樣的推理方法 小故事 這與事實矛盾 說明李子是甜的這個假設(shè)是錯的還是對的 假設(shè)李子不是苦的 即李子是甜的 那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢 那么 樹上的李子還會這么多嗎 所以 李子是苦的 甲 在五一長假里 我和爸爸 媽媽去新加坡玩了整整6天 真是太高興了 乙 這不可能 5月4號上午還看見你和丙在 長廊 逛街呢 丙 是啊 5月4號我確實和甲在 長廊 逛街 假設(shè)甲去新加坡玩了6天 乙 甲沒有去新加坡玩了6天 那么甲從5月1號至6號或是2號至7號在新加坡 即5月4號甲在新加坡 這與 5月4號甲在達州市的 長廊 矛盾 所以假設(shè) 甲去新加坡玩了6天 不正確 于是 甲沒有去新加坡玩了6天 正確 在古希臘時 有三個哲學(xué)家 由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦 于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了 這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額 當他們醒過來后 彼此相看時都笑了 一會兒其中有一個人卻突然不笑了 他是覺察到什么了 他運用了怎樣的推理方法 各抒己見 假設(shè)自己的前額沒有被涂黑 那么另一個哲學(xué)家也不會有異常行為 自己的前額也被涂黑了 這與另一個哲學(xué)家笑個不停矛盾 所以假設(shè) 自己的前額沒有涂黑 不正確 于是自己的前額也被涂黑了 29 2反證法 一 問題情境小華睡覺前 地上是干的 早晨起來 看見地上全濕了 小華對婷婷說 昨天晚上下雨了 你能對小華的判斷說出理由嗎 假設(shè)昨天晚上沒有下雨 那么地上應(yīng)是干的 這與早晨地上全濕了相矛盾 所以說昨晚下雨是正確的 小華的理由 我們可以把這種說理方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題上 解析 由 C 90 可知是直角三角形 根據(jù)勾股定理可知a2 b2 c2 探究 假設(shè)a2 b2 c2 由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形 且 C 90 這與已知條件 C 90 矛盾 假設(shè)不成立 從而說明原結(jié)論a2 b2 c2成立 這種證明方法與前面的證明方法不同 它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立 然后經(jīng)過正確的 邏輯推理得出與已知 定理 公理矛盾的結(jié)論 從而得到原結(jié)論的正確 象這樣的證明方法叫做反證法 發(fā)現(xiàn)知識 證明 假設(shè) 則 這與矛盾 假設(shè)不成立 B C AB AC 等角對等邊 已知AB AC B C 小結(jié) 反證法的步驟 假設(shè)結(jié)論的反面不成立 邏輯推理得出矛盾 肯定原結(jié)論正確 感受反證法 證明 假設(shè)a與b不止一個交點 不妨假設(shè)有兩個交點A和A 因為兩點確定一條直線 即經(jīng)過點A和A 的直線有且只有一條 這與與已知兩條直線矛盾 假設(shè)不成立 所以兩條直線相交只有一個交點 小結(jié) 根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外 還可以與我們學(xué)過的定理 公理矛盾 求證 兩條直線相交只有一個交點 已知 如圖兩條相交直線a b 求證 a與b只有一個交點 證明 假設(shè)a與b不平行 則可設(shè)它們相交于點A 那么過點A就有兩條直線a b與直線c平行 這與 過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾 假設(shè)不成立 a b 小結(jié) 根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外 還可以與我們學(xué)過的定理 公理矛盾 求證 在一個三角形中 至少有一個內(nèi)角小于或等于60 已知 ABC求證 ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60 證明 假設(shè) 則 即 這與矛盾 假設(shè)不成立 ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60 A 60 B 60 C 60 A B C 180 三角形的內(nèi)角和為180度 ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60 點撥 至少的反面是沒有 A B C 60 60 60 180 例5 求證 在同一平面內(nèi) 如果一條直線和兩條平行線中的一條相交 那么和另一條也相交 已知 直線l1 l2 l3在同一平面內(nèi) 且l1 l2 l3與l1相交于點P 求證 l3與l2相交 證明 假設(shè) 那么 因為已知 這與 矛盾 所以假設(shè)不成立 即求證的命題正確 l3與l2不相交 l3 l2 l1 l2 經(jīng)過直線外一點 有且只有一條直線平行于已知直線 所以過直線l2外一點P 有兩條直線和l2平行 例6 用反證法證明 等腰三角形的底角必定是銳角 分析 解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論 需要分類討論 已知 在 ABC中 AB AC 求證 B C為銳角 證明 假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角 那么只有兩種情況 1 兩個底角都是直角 2 兩個底角都是鈍角 1 由 A B 90 則 A B C A 90 90 180 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾 A B 90 這個假設(shè)不成立 2 由90 B 180 90 C 180 則 A B C 180 這與三角形內(nèi)角和定理矛盾 兩個底角都是鈍角這個假設(shè)也不成立 故原命題正確 等腰三角形的底角必定是銳角 說明 本例中 是銳角 小于90 的反面有兩種情況 這時 必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立 最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確 此題是對反證法的進一步理解 假設(shè)結(jié)論的反面正確 推理論證 得出結(jié)論 回顧與歸納 反證法 反設(shè) 歸謬 結(jié)論 反證法的一般步驟 假設(shè)命題結(jié)論不成立 假設(shè)不成立 假設(shè)命題結(jié)論反面成立 與已知條件矛盾 假設(shè) 推理得出的結(jié)論 與定理 定義 公理矛盾 所證命題成立 什么時候運用反證法呢 動動腦 證明真命題的方法 寫出下列各結(jié)論的反面 1 a b 2 a 0 3 b是正數(shù) 4 a b 萬事開頭難 讓我們走好第一步 a 0 b是0或負數(shù) a不垂直于b 1 在一個梯形中 如果同一條底邊上的兩個內(nèi)角不相等 那么這個梯形是等腰梯形嗎 請證明你的猜想 誰來試一試 2 已知 如圖 ABC中 D E兩點分別在AB和AC上求證 CD BE不能互相平分 平行四邊形對邊平行 證明 假設(shè)CD BE互相平分 連結(jié)DE 故四邊形BCED是平行四邊形 BD CE 這與BD CE交于點A矛盾 假設(shè)錯誤 CD BE不能互相平分 1 試說出下列命題的反面 1 a是實數(shù) 2 a大于2 3 a小于2 4 至少有2個 5 最多有一個 6 兩條直線平行 2 用反證法證明 若a2 b2 則a b 的第一步是 3 用反證法證明 如果一個三角形沒有兩個相等的角 那么這個三角形不是等腰三角形 的第一步 a不是實數(shù) a小于或等于 a大于或等于 沒有兩個 一個也沒有 兩直線相交 假設(shè)a b 假設(shè)這個三角形是等腰三角形 已知 在梯形ABCD中 AB CD C D求證 梯形ABCD不是等腰梯形 證明 假設(shè)梯形ABCD是等腰梯形 C D 等腰梯形同一底上的兩內(nèi)角相等 這與已知條件 C D矛盾 假設(shè)不成立 梯形ABCD不是等腰梯形 證明 假設(shè)PB PC 在 ABP與 ACP中AB AC 已知 AP AP 公共邊 PB PC 已知 ABP ACP S S S APB APC 全等三角形對應(yīng)邊相等 這與已知條件 APB APC矛盾 假設(shè)不成立 PB PC 美國總統(tǒng)華盛頓從小非常聰明 小偷翻進鮑克家偷走了許多東西 根據(jù)跡象表明小偷就是本村人 華盛頓靈機一動 對全村人講起了故事 黃蜂是上帝的使者 能辨別人間的真假 忽然華盛頓大聲喊道 小偷就是他 黃蜂正在他的帽子上兜圈子 要落下來了 大家回頭張望 看著那個想把帽子上的黃蜂趕走的人 其實哪有什么黃蜂 華盛頓大喝一聲 小偷就是他 你知道華盛頓是如何推理的嗎 在應(yīng)用中體會 華盛頓抓小偷 警察局里有 名嫌疑犯 他們分別做了如下口供 說 這里有 個人說謊 說 這里有 個人說謊 說 這里有 個人說謊 說 這里有 個人說謊 說 這里有 個人說謊 聰明的同學(xué)們 假如你是警察 你覺得誰說了真話 你會釋放誰 請與大家分享你的判斷 快樂驛站 我來當警察 古希臘哲學(xué)家亞里士多德有一個著名論點 輕重不同的兩個物體從同一高度自由下落時 一定是重的物體先落地 在意大利物理學(xué)家伽利略提出反對觀點以前的一千多年里人們對亞里士多德的說法深信不疑 伽利略為了證明自己的觀點是正確的 在意大利的比薩斜塔上 讓一個中1磅和重100磅的兩個鐵球同時從高空自由下落 果然是同時著地 這是科學(xué)史上一個極其有名的實驗 它否定了亞里士多德的錯誤觀點 你能用今天所學(xué)的知識來否定亞里士多德的錯誤觀點嗎 試一試 1 知識小結(jié) 反證法證明的思路 假設(shè)命題不成立 正確的推理 得出矛盾 肯定待定命題的結(jié)論 2 難點提示 利用反證法證明命題時 一定要準確而全面的找出命題結(jié)論的反面 至少的反面是沒有 最多的反面是不止 大家議一議 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí) 你們覺得哪些題型宜用反證法 我來告訴你 經(jīng)驗之談 1 以否定性判斷作為結(jié)論的命題 2 以 至多 至少 或 不多于 等形式陳述的命題 3 關(guān)于 唯一性 結(jié)論的命題 4 一些不等量命題的證明 5 有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等 如平行線的傳遞性的證明 注意 用反證法證題時 應(yīng)注意的事項 1 周密考察原命題結(jié)論的否定事項 防止否定不當或有所遺漏 2 推理過程必須完整 否則不能說明命題的真?zhèn)涡?3 在推理過程中 要充分使用已知條件 否則推不出矛盾 或者不能斷定推出的結(jié)果是錯誤的 知識的升華 作業(yè) 82練習(xí) 1 2題習(xí)題29 2 1 5題 祝你們學(xué)習(xí)進步 課時作業(yè)設(shè)計 用反證法證明下列命題 1 求證 三角形內(nèi)角中至多有一個內(nèi)角是鈍角 2 已知 如圖 AB CD AB EF 求證 CD EF 3 求證 圓內(nèi)兩條不是直徑的弦不能互相平分 4 證明 在同一平面內(nèi) 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行