轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(指導(dǎo)書).doc

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轉(zhuǎn)動(dòng)慣量指導(dǎo)書 力學(xué)實(shí)驗(yàn)室 2016年3月 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量 【預(yù)習(xí)思考】 １．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式是什么？ ２．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位是什么？ ３．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布的關(guān)系？ ４．了解單擺中擺長(zhǎng)與周期的關(guān)系？ ５．?dāng)[角對(duì)周期的影響。 【儀器照片】 【原理簡(jiǎn)述】 1、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義 構(gòu)件中各質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)量單元的質(zhì)量與其到給定軸線的距離平方乘積的總和，即 （1） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量。 圖1 電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，可分別用于測(cè)量微小電流（檢流計(jì)）或電量（沖擊電流計(jì)）。在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形 設(shè)計(jì)上，精確地測(cè)定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，都是十分必要的。 2、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的公式推導(dǎo) 測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。本實(shí)驗(yàn)采用的是三線擺，是通過扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其特點(diǎn)是無力圖像清楚、操作簡(jiǎn)便易行、適合各種形狀的物體，如機(jī)械零件、電機(jī)轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都可用三線擺測(cè)定。這種實(shí)驗(yàn)方法在理論和技術(shù)上有一定的實(shí)際意義本實(shí)驗(yàn)的目的就是要求學(xué)生掌握用三線擺測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法，并驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。 兩半徑分別為和（>）的剛性均勻圓盤，用均勻分布的三條等長(zhǎng)的無彈性、無質(zhì)量的細(xì)線相連，半徑為的圓盤在上，作為啟動(dòng)盤，其懸點(diǎn)到盤心的距離為；半徑為的圓盤在下，作為懸盤，其懸點(diǎn)到盤心的距離為。將啟動(dòng)盤固定，則構(gòu)成一振動(dòng)系統(tǒng)，稱為三線擺（圖2）。當(dāng)施加力矩使懸盤轉(zhuǎn)過角后，懸盤將繞中心軸做角簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 圖2 如圖2所示，當(dāng)懸盤轉(zhuǎn)過角時(shí)，懸線點(diǎn)上升到，懸盤上升高度為。則 （2） (3) 可得： （4） 當(dāng)很小時(shí)，括號(hào)中第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于1，作近似 （5） 式中， 為兩盤靜止時(shí)的垂直距離，和均為時(shí)間的函數(shù)。 因系統(tǒng)遵從機(jī)械能守恒，則對(duì)懸盤有下式 （6） 式中，為懸盤轉(zhuǎn)到角時(shí)上升的高度， 為懸盤上升的最大高度， 是懸盤的質(zhì)量， 是懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 是懸盤轉(zhuǎn)至角、上升至?xí)r的角速度， 是懸盤的上升速度。 將式（5）和式（6）分別對(duì)時(shí)間微分，經(jīng)合并整理，得 （7） 此式表明，懸盤在作角簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為 (8) 因此，可知懸盤空載時(shí)繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (9) 由式（8）可以看出，振動(dòng)系統(tǒng)的周期將取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)，，和振子（懸盤）的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又與質(zhì)量和質(zhì)量分布狀況有關(guān)）。如果將質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的圓環(huán)放在懸盤上，則新振子質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則此新振動(dòng)系 統(tǒng)的振動(dòng)周期將發(fā)生改變: （10） 若懸盤的、為已知，可用比較法求得，即聯(lián)立式（8）和式（10）求解，得: (11) 測(cè)出、、后代入式（3.4-8）即可求得。 實(shí)驗(yàn)時(shí)，測(cè)出、、、及，由（3-2-4）式求出圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在下盤上放上另一個(gè)質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（對(duì)OO′軸）的物體時(shí)，測(cè)出周期為，則有 （12） 從（12）減去（9）得到被測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： （13） 在理論上，對(duì)于質(zhì)量為，內(nèi)、外直徑分別為、的均勻圓環(huán)，通過其中心垂直軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。而對(duì)于質(zhì)量為、直徑為的圓盤，相對(duì)于中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。 【拓展實(shí)驗(yàn)】 1. 驗(yàn)證平行軸定理。 2. 研究高度H與周期T的關(guān)系？ 3. 研究質(zhì)量分布與周期T的關(guān)系？ 4. 研究轉(zhuǎn)動(dòng)角度對(duì)周期的影響？ 5. 研究不規(guī)則物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量？ 【思考題】 1． 扭轉(zhuǎn)角α的大小對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有無影響？若有影響，能否進(jìn)行修正？ 2． 三線擺在擺動(dòng)中受到空氣阻尼，振幅越來越小，它的周期如何變化？請(qǐng)觀察實(shí)驗(yàn)，并說出理論根據(jù)。 3． 加上待測(cè)物體后，三線擺的周期是否一定比空盤的周期大？為什么？ 4． 在本實(shí)驗(yàn)中，計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式中的R，是否就是下圓盤的半徑？它的值如何測(cè)量？ 5． 當(dāng)待測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小得多時(shí)，為什么不適宜用三線擺測(cè)量？ 6． 用三線擺測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，為什么必須保持下盤水平？ 7． 在測(cè)量過程中，如果下盤出現(xiàn)晃動(dòng)對(duì)周期的測(cè)量有影響么？如有影響，應(yīng)該如何避免？ 8． 測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，若圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸與下盤轉(zhuǎn)軸不重合，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有何影響？ 9． 三線擺放上待測(cè)物后，其擺動(dòng)周期是否一定比空盤的轉(zhuǎn)動(dòng)周期大？為什么？ 10． 三線擺經(jīng)什么位置計(jì)時(shí)誤差較?。繛槭裁?？ 11． 如何利用三線擺測(cè)定任意形狀的物體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？ 12． 檢驗(yàn)平行軸定理時(shí)，為什么要對(duì)稱的放兩個(gè)小圓柱體？只放置一個(gè)小圓柱體行不行？ 13． 實(shí)驗(yàn)中誤差來源有哪些？如何克服？ 14． 比較兩種方法求的優(yōu)劣？ 15． 在測(cè)量圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，圓柱體上有一細(xì)絲，注意其作用。 【注意事項(xiàng)】 1． 注意儀器的水平調(diào)節(jié)； 2． 注意霍爾開關(guān)的安裝； 3． 注意預(yù)置次數(shù)與周期的關(guān)系； 4． 注意正確啟動(dòng)三線擺。 【數(shù)據(jù)表格】 1． 周期地測(cè)定 表1 周期與質(zhì)量 測(cè)量項(xiàng)目 懸盤質(zhì)量 圓環(huán)質(zhì)量 預(yù)設(shè)次數(shù) 20 20 10個(gè)周期的總時(shí)間t（s） 1 2 3 4 5 平均時(shí)間(s) 平均周期(s) 2． 幾何參數(shù)1（） 表2 幾何參數(shù)及其間距離 測(cè)量項(xiàng)目 次數(shù) 1 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 2 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 3 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 測(cè) 平均值 【參考數(shù)據(jù)處理】 1．計(jì)算各量的平均值，填入表中。 2．計(jì)算、的值，填入表2中。 3．計(jì)算的值，填入表3中。 4．懸盤空載時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 實(shí)驗(yàn)值： 理論值： 絕對(duì)誤差： 結(jié)果表示： 相對(duì)誤差： 5． 圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 理論值： 絕對(duì)誤差： 結(jié)果表示： 相對(duì)誤差： 6．平行軸定理的驗(yàn)證 總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 一個(gè)圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 理論值： 相對(duì)誤差： 由此可知：在誤差范圍內(nèi)，可以認(rèn)為,既平行軸定理成立。 【知識(shí)拓展】 　　對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計(jì)算出相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。對(duì)于幾何形狀簡(jiǎn)單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計(jì)算出它相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。而對(duì)于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實(shí)驗(yàn)的方法來精確地測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法就顯得更為重要。 　　Moment of Inertia剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。其數(shù)值為J=∑ mi*ri^2，式中mi表示剛體的某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 　　求和號(hào)（或積分號(hào)）遍及整個(gè)剛體。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可直接計(jì)得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，一般用實(shí)驗(yàn)法測(cè)定。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量應(yīng)用于剛體各種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)計(jì)算中。 　　描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于該剛體對(duì)同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項(xiàng)恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的最小者。 垂直軸定理 　　還有垂直軸定理：垂直軸定理 　　一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn) 垂直軸定理 動(dòng)慣量之和。 　　表達(dá)式:Iz=Ix+Iy 　　剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為 I=MK^2，式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 　　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為L(zhǎng)^2M，在SI單位制中，它的單位是kgm^2。 　　剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對(duì)稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。 　　補(bǔ)充對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義： 　　先說轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來，先從動(dòng)能說起大家都知道動(dòng)能E=(1/2)mv^2，而且動(dòng)能的實(shí)際物理意義是：物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)（選定一個(gè)參考系）運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量，（P勢(shì)能實(shí)際意義則是物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量的大?。?。 　　E=(1/2)mv^2 （v^2為v的2次方） 　　把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對(duì)任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r) 　　得到E=(1/2)m(wr)^2 　　由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量K代替, 　　K=mr^2 　　得到E=(1/2)Kw^2 　　K就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，分析實(shí)際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運(yùn)動(dòng)平動(dòng)分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。 　　這樣分析一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運(yùn)動(dòng)角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問題。