（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何 考點規(guī)范練44 圓的方程.docx

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考點規(guī)范練44　圓的方程 基礎(chǔ)鞏固組 1.已知一圓的圓心為點(2,-3),一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上,則此圓的方程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x-2)2+(y+3)2=13 B.(x+2)2+(y-3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 答案A 解析設(shè)該直徑的兩個端點分別為P(a,0),Q(0,b), 則A(2,-3)是線段PQ的中點,所以P(4,0),Q(0,-6),圓的半徑r=|PA|=(4-2)2+32=13. 故圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13. 2.圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 答案A 解析已知圓的圓心C(1,2)關(guān)于直線y=x對稱的點為C(2,1),∴圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于直線y=x對稱的圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=1,故選A. 3.若圓心在y軸上,且過點(3,1)的圓與x軸相切,則該圓的方程是 (　　) A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0 答案B 解析根據(jù)題意,設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,r),半徑為r, 則32+(r-1)2=r2, 解得r=5.故所求圓的方程為x2+y2-10y=0. 4.已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案B 解析設(shè)圓的坐標(biāo)為(a,-a),則|a-(-a)|2=|a-(-a)-4|2, 即|a|=|a-2|,解得a=1, 則圓的坐標(biāo)為(1,-1),半徑r=22=2, 故圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=2. 5.設(shè)P(x,y)是圓(x-2)2+y2=1上的任意一點,則(x-5)2+(y+4)2的最大值為(　　) A.6 B.25 C.26 D.36 答案D 解析(x-5)2+(y+4)2表示點P(x,y)到點(5,-4)的距離的平方.點(5,-4)到圓心(2,0)的距離d=(5-2)2+(-4)2=5.則點P(x,y)到點(5,-4)的距離的最大值為6,從而(x-5)2+(y+4)2的最大值為36. 6.圓x2+y2-2y-3=0的圓心坐標(biāo)是　　　　　,半徑是　　　　　. 答案(0,1)　2 解析已知圓x2+y2-2y-3=0的方程轉(zhuǎn)化為x2+(y-1)2=4,∴圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑r=2. 7.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=　　　　　. 答案-43 解析由圓的方程x2+y2-2x-8y+13=0得圓心坐標(biāo)為(1,4),由點到直線的距離公式得d=|1a+4-1|1+a2=1,解之,得a=-43. 8.經(jīng)過點A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程為　　　　　. 答案x2+y2-4x-2y-5=0或(x-2)2+(y-1)2=10 解析∵圓過A(5,2),B(3,-2)兩點,∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上. 易知線段AB的垂直平分線方程為y=-12(x-4). 設(shè)所求圓的圓心為C(a,b),則有2a-b-3=0,b=-12(a-4),解得a=2,b=1. 因此圓心坐標(biāo)C(2,1),半徑r=|AC|=10. 故所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10. 能力提升組 9.(2018浙江嘉興二模)圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2的距離的最大值是(　　) A.1+2 B.2 C.1+22 D.2+22 答案A 解析將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d=|1-1-2|2=2.故圓上的點到直線x-y=2的距離的最大值為d+1=2+1,應(yīng)選A. 10.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則a的值為(　　) A.2 B.-1 C.1 D.2或-1 答案B 解析由已知方程表示圓,則a2=a+2, 解得a=2或a=-1. 當(dāng)a=2時,方程不滿足表示圓的條件,故舍去. 當(dāng)a=-1時,原方程為x2+y2+4x+8y-5=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y+4)2=25, 表示以(-2,-4)為圓心,半徑為5的圓. 11.圓心在曲線y=2x(x>0)上,與直線2x+y+1=0相切,且面積最小的圓的方程為(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=25 B.(x-2)2+(y-1)2=5 C.(x-1)2+(y-2)2=25 D.(x-1)2+(y-2)2=5 答案D 解析設(shè)圓心坐標(biāo)為Ca,2a(a>0),則半徑r=2a+2a+15≥22a2a+15=5,當(dāng)且僅當(dāng)2a=2a,即a=1時取等號. 所以當(dāng)a=1時圓的半徑最小,此時r=5,C(1,2),所以面積最小的圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5. 12.(2018浙江七校聯(lián)考)若圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對稱,則1a+3b的最小值是(　　) A.23 B.203 C.4 D.163 答案D 解析由圓x2+y2+2x-6y+1=0可知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-3)2=9,∵圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對稱,∴該直線經(jīng)過圓心(-1,3),即-a-3b+3=0.∴a+3b=3(a>0,b>0).∴1a+3b=13(a+3b)1a+3b=131+3ab+3ba+9≥1310+23ab3ba=163,當(dāng)且僅當(dāng)3ba=3ab,即a=b時取等號.故選D. 13.已知點A,B在雙曲線x216-y24=1上,且線段AB經(jīng)過原點,點M為圓x2+(y-2)2=1上的動點,則MAMB的最大值為(　　) A.-15 B.-9 C.-7 D.-6 答案C 解析利用向量的線性運算以及數(shù)量積運算法則求解. 設(shè)圓x2+(y-2)2=1的圓心為C,且A,B關(guān)于原點O對稱, 則MAMB=(CA-CM)(CB-CM)=CACB-CM(CA+CB)+CM2=(CO+OA)(CO-OA)-CM2CO+1=4-|OA|2-4cosθ+1=5-|OA|2-4cosθ,其中θ為CM,CO的夾角,當(dāng)θ=π,且點A在雙曲線的頂點時,(-4cosθ)max=4,|OA|min2=16,所以(MAMB)max=5-16+4=-7,故選C. 14.已知M(1,0)是圓C:x2+y2-4x-2y=0內(nèi)的一點,則過點M的最短弦所在直線的方程是　　　　　. 答案x+y-1=0 解析由題意知過點M的最短弦與CM垂直,圓C:x2+y2-4x-2y=0的圓心為C(2,1), ∵kCM=1-02-1=1, ∴最短弦所在直線的方程為y-0=-(x-1), 即x+y-1=0. 15.已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-6x+8y-11=0,則x2+y2的最大值為　　　　　,|3x+4y-28|的最小值為　　　　　. 答案11　5 解析化方程x2+y2-6x+8y-11=0為(x-3)2+(y+4)2=36.令x-3=6cosθ,y+4=6sinθ, 則x=3+6cosθ,y=-4+6sinθ, ∴x2+y2=(3+6cosθ)2+(-4+6sinθ)2 =61+60cos(θ+α)tanα=43. ∴x2+y2的最大值為121=11; |3x+4y-28|=|9+18cosθ-16+24sinθ-28| =|24sinθ+18cosθ-35|=|30sin(θ+β)-35|tanβ=34. ∴|3x+4y-28|的最小值為|30-35|=5. 16.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,設(shè)P是圓C上的動點.記d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),則d的最大值為　　　　　. 答案74 解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0),則d=|PB|2+|PA|2=x02+(y0+1)2+x02+(y0-1)2=2(x02+y02)+2.∵x02+y02為圓上任一點到原點距離的平方,∴(x02+y02)max=(5+1)2=36. ∴dmax=74. 17.已知圓C過點P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對稱. (1)求圓C的方程; (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點,求PQMQ的最小值. 解(1)設(shè)圓心C(a,b),由已知得M(-2,-2), 則a-22+b-22+2=0,b+2a+2=1,解得a=0,b=0, 則圓C的方程為x2+y2=r2,將點P的坐標(biāo)代入得r2=2, 故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2, PQMQ=(x-1,y-1)(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令x=2cosθ,y=2sinθ,所以PQMQ=x+y-2=2(sinθ+cosθ)-2=2sinθ+π4-2,所以PQMQ的最小值為-4. 18.已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (2)若M的坐標(biāo)為(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值. 解(1)由圓C:x2+y2-4x-14y+45=0, 可得(x-2)2+(y-7)2=8, 所以圓心C的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=22. 又|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42>22, 所以點Q在圓C外.所以|MQ|max=42+22=62, |MQ|min=42-22=22. (2)由題意可知n-3m+2表示直線MQ的斜率, 設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0,則n-3m+2=k. 因為直線MQ與圓C有交點, 所以|2k-7+2k+3|1+k2≤22,可得2-3≤k≤2+3, 所以n-3m+2的最大值為2+3,最小值為2-3.