（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第二章 不等式 專題突破一 高考中的不等式問題講義（含解析）.docx

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高考專題突破一高考中的不等式問題題型一含參數(shù)不等式的解法例1解關(guān)于x的不等式x2ax10(aR)解對(duì)于方程x2ax10，a24.(1)當(dāng)0，即a2或a2時(shí)，方程x2ax10有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，且x1x2，所以原不等式的解集為；(2)當(dāng)0，即a2時(shí)，若a2，則原不等式的解集為x|x1；若a2，則原不等式的解集為x|x1；(3)當(dāng)0，即2a2時(shí)，方程x2ax10沒有實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)yx2ax1的圖象，知此時(shí)原不等式的解集為R.思維升華解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟(1)若二次項(xiàng)含有參數(shù)應(yīng)討論是否等于0，小于0，和大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系(3)當(dāng)方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式跟蹤訓(xùn)練1 (1)若不等式ax28ax210的解集是x|7x3的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(，4)(2，)解析依題意得，|x1|xm|(x1)(xm)|m1|，即函數(shù)y|x1|xm|的最小值是|m1|，于是有|m1|3，m13，由此解得m2.因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，4)(2，)題型二線性規(guī)劃問題例2(2018浙江五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件且zaxy的最大值為16，則實(shí)數(shù)a_，z的最小值為_答案21解析如圖，作出不等式組所表示的可行域(ABC及其內(nèi)部區(qū)域)目標(biāo)函數(shù)zaxy對(duì)應(yīng)直線axyz0的斜率ka.(1)當(dāng)k(，1，即a1，a1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，由解得A(5,6)，故z的最大值為5a6，即5a616，解得a2.(2)當(dāng)k(1，)，即a1，a0，yR，則xy的最小值是()A.B3C1D2答案A解析由x24xy30，得y，即有xyx.x0，x2，即xy，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x1，y時(shí)，xy取得最小值.(2)已知a0，b0，c1，且ab1，則c的最小值為_答案42解析22222，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，c2c2(c1)22242，當(dāng)且僅當(dāng)2(c1)，即c1時(shí)，等號(hào)成立綜上，所求最小值為42.思維升華利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要思路有兩種：對(duì)條件使用基本不等式，建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解條件變形，進(jìn)行“1”的代換求目標(biāo)函數(shù)最值(2)有些題目雖然不具備直接應(yīng)用基本不等式求最值的條件，但可以通過添項(xiàng)、分離常數(shù)、平方等手段使之能運(yùn)用基本不等式常用的方法還有：拆項(xiàng)法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知xy1，且0y，則的最小值為()A4B.C2D4答案A解析由xy1且0y，所以x2y0.x2y4，當(dāng)且僅當(dāng)x1，y時(shí)等號(hào)成立(2)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值是_答案解析由x2y2xy1，得1(xy)2xy，(xy)21xy1，解得xy(當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取得最大值)，xy的最大值為.題型四絕對(duì)值不等式的應(yīng)用例4(1)(2018浙江五校聯(lián)考)已知aR，則“a9”是“2|x2|52x|a無解”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析2|x2|52x|2x4|52x|2x452x|9，若2|x2|52x|a無解，則a9，同樣若a9，則2|x2|52x|a無解，所以“a9”是“2|x2|52x|a無解”的充要條件(2)(2019溫州模擬)已知a，b，cR，若|acos2xbsinxc|1對(duì)xR恒成立，則|asinxb|的最大值為_答案2解析|acos2xbsinxc|1，即|asin2xbsinx(ac)|1，分別取sinx1，1,0，可知所以|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2，且|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2.所以max|asinxb|max|ab|，|ab|2，當(dāng)a2，b0，c1時(shí)，取等號(hào)思維升華(1)解絕對(duì)值不等式可以利用絕對(duì)值的幾何意義，零點(diǎn)分段法、平方法、構(gòu)造函數(shù)法等(2)利用絕對(duì)值三角不等式可以證明不等式或求最值跟蹤訓(xùn)練4 (1)已知函數(shù)f(x)|x5|x3|x3|x5|c，若存在正實(shí)數(shù)m，使f(m)0，則不等式f(x)f(m)的解集是_答案(m，m)解析由|x5|x3|x3|x5|x5|x3|x3|x5|可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)3x3時(shí)，f(x)取最小值16c.結(jié)合題意可得c16.由f(m)0得f(x)0，即|x5|x3|x3|x5|c0，結(jié)合圖象(圖略)可知，解集為(m，m)(2)不等式|x2|x1|a對(duì)于任意xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(，3解析當(dāng)x(，1時(shí)，|x2|x1|2xx112x3；當(dāng)x(1,2)時(shí)，|x2|x1|2xx13；當(dāng)x2，)時(shí)，|x2|x1|x2x12x13，綜上可得|x2|x1|3，a3.1(2018寧波期末)若a，bR，且ab1B.Ca3b3Da|b|0答案B解析由ab0得a1b10，所以(a1)，故選B.2(2018浙江紹興一中期末)若關(guān)于x的不等式|x2|xa|5有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(7,7) B(3,3)C(7,3) D答案C解析不等式|x2|xa|5有解，等價(jià)于(|x2|xa|)min5，又因?yàn)閨x2|xa|(x2)(xa)|2a|，所以|2a|5，52a5，解得7a3，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,0) B(0,1)C(1，) D(，1)答案D解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(包含邊界)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zx2y經(jīng)過直線xm0與ym0的交點(diǎn)時(shí)取得最大值，即zmaxm2m3m，則根據(jù)題意有3m3，即m0，b0)在該約束條件下取到最小值2時(shí)，a2b2的最小值為()A5B4C.D2答案B解析畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分(包含邊界)所示，可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過直線xy10與2xy30的交點(diǎn)A(2,1)時(shí)取得最小值，所以有2ab2.因?yàn)閍2b2表示原點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(a，b)的距離的平方，所以的最小值為原點(diǎn)到直線2ab20的距離，即()min2，所以a2b2的最小值是4，故選B.8(2018嘉興教學(xué)測(cè)試)若直線axby1與不等式組表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，則2a3b的取值范圍是()A(7,1) B(3,5)C(7,3) DR答案C解析不等式組表示的平面區(qū)域是以A(1,1)，B(1,1)，C(0，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界)；因?yàn)橹本€axby1與不等式組表示的平面區(qū)域無公共點(diǎn)，所以a，b滿足或故點(diǎn)(a，b)在如圖所示的三角形區(qū)域(除邊界且除原點(diǎn))內(nèi)，所以2a3b的取值范圍為(7,3)，故選C.9(2019諸暨期末)不等式x22x30的解集為_；不等式|32x|1的解集為_答案(，1)(3，)(1,2)解析依題意，不等式x22x30，解得x3，因此不等式x22x30的解集是(，1)(3，)；由|32x|1得132x1,1x2，所以不等式|32x|3在0,5上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(，0)解析由x24x3得x24x3，則問題等價(jià)于小于x24x3在0,5上的最大值，又因?yàn)閤24x3(x2)27，所以當(dāng)x5時(shí)，x24x3取得最大值2，所以2，解得a，所以a的取值范圍為(，0).11(2018嘉興測(cè)試)已知f(x)x2，g(x)2x5，則不等式|f(x)|g(x)|2的解集為_；|f(2x)|g(x)|的最小值為_答案3解析由題意得|f(x)|g(x)|x2|2x5|所以|f(x)|g(x)|2等價(jià)于或或解得x3，|f(2x)|g(x)|2x2|2x5|f(2x)|g(x)|的圖象如圖，則由圖象易得|f(2x)|g(x)|的最小值為3.12(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知正數(shù)x，y滿足1，則的最大值是_答案解析設(shè)u，v，則問題轉(zhuǎn)化為“已知正數(shù)u，v滿足u2v1，求的最大值”33(u1)2(v1)33(54).當(dāng)且僅當(dāng)，即uv時(shí)，取等號(hào)13(2018浙江金華十校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足則xyz的最小值為_答案932解析將變形為由|xy|知，|12z|，即12z，解得2z2.所以xyz(12z)z2z2z在2，2上的最小值為932.14(2018寧波模擬)若6x24y26xy1，x，yR，則x2y2的最大值為_答案解析方法一設(shè)mxy，nxy，則問題轉(zhuǎn)化為“已知4m2mnn21，求mn的最大值”由基本不等式，知1mn4m2n2mn4|mn|，所以mn，當(dāng)且僅當(dāng)n2m，即x3y時(shí)，取得最大值.方法二(齊次化處理)顯然要使得目標(biāo)函數(shù)取到最大值，x0.令zx2y2，設(shè)t，則z，則(4z1)t26zt6z10對(duì)tR有解當(dāng)z時(shí)，t.當(dāng)z時(shí)，36z24(4z1)(6z1)0，解得z.當(dāng)t時(shí)取最大值方法三16x24y26y6x24y265x25y2，所以x2y2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時(shí)取等號(hào)15(2019浙江嘉興一中模擬)已知點(diǎn)P是平面區(qū)域M：內(nèi)的任意一點(diǎn)，則P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和的取值范圍為_答案解析設(shè)平面區(qū)域M：為ABO區(qū)域(包含邊界)，由題意，|AO|1，|BO|，|AB|2，P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和d就是P到ABO三邊的距離之和，設(shè)P到邊界AO，BO，AB的距離分別為a，b，c，則P(b，a)，由題意0a，0b1,0c(ab)，所以dabca(2)b，從而d，當(dāng)ab0時(shí)取等號(hào)如圖，P為可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，過P作PEx軸，PFy軸，PPAB，過P作PEx軸，PFy軸，則有PEPFPPPFPE，由P(b，a)，可得P，所以dabc，又0a，0b1，則d，當(dāng)a，b0時(shí)取等號(hào)，因此d的取值范圍為.16(2018浙江“七彩陽(yáng)光”新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)若正數(shù)a，b，c滿足1，則的最小值是_答案解析由a，b，c為正數(shù)，且1得1，設(shè)m，n，則有m0，n0，上式轉(zhuǎn)化為mn1，即mn1，又由基本不等式得m2n2，mn，所以mn1，令tmn，則t0，上式轉(zhuǎn)化為t1，即t2t40，解得t，所以tmn的最小值為.