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考點規(guī)范練5 函數(shù)的奇偶性與周期性
基礎(chǔ)鞏固組
1.(2018余姚中學高三教學質(zhì)量檢測)設函數(shù)f(x),g(x)的定義域為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中一定正確的是( )
A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)
C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)
答案C
解析由f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,|g(-x)|=|g(x)|,|f(x)|和|g(x)|都為偶函數(shù),
故f(x)g(x)為奇函數(shù),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),f(x)|g(x)|為奇函數(shù),|f(x)g(x)|為偶函數(shù),故選C.
2.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=f(x-1),且當-1
0且a≠1),則函數(shù)f(x)的奇偶性( )
A.與a無關(guān),且與b無關(guān) B.與a有關(guān),且與b有關(guān)
C.與a有關(guān),且與b無關(guān) D.與a無關(guān),但與b有關(guān)
答案D
解析由ax-1≠0,得x≠0,則函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}.由函數(shù)f(x)=2ax-1+b,得f(-x)=2a-x-1+b=-2axax-1+b,當b=1時,f(-x)+f(x)=0,此時f(x)為奇函數(shù),顯然當b≠1時函數(shù)為非奇非偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的奇偶性與a無關(guān),但與b有關(guān),故選D.
6.(2017課標Ⅱ高考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)= .
答案12
解析因為f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).又因為當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-[2(-8)+4]=12.
7.(2018臺州高三一模)若函數(shù)f(x)=a-22x-1(a∈R)是奇函數(shù),則a= ,函數(shù)f(x)的值域為 .
答案-1 (-∞,-1)∪(1,+∞)
解析∵函數(shù)f(x)=a-22x-1(a∈R)是奇函數(shù),
∴f(-x)+f(x)=0,即a-22x-1+a-22-x-1=2a-22x-1+22-x-1=2a-2(1-2x)2x-1=0,
解得a=-1,則f(x)=-1-22x-1.
令y=-1-22x-1?1-2x=21+y,即有2x=y-1y+1>0,解得y>1或y<-1,
故f(x)=-1-22x-1的值域為(-∞,-1)∪(1,+∞).
8.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是 .
答案12,32
解析由題意知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,又f(x)是偶函數(shù),則不等式f(2|a-1|)>f(-2)可化為f(2|a-1|)>f(2),則2|a-1|<2,|a-1|<12,解得121時,f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,則不等式f(x)>1的解集是( )
A.-3,32 B.(-∞,-3)∪32,+∞
C.(-∞,-1)∪32,+∞ D.(-∞,-1)∪1,32
答案D
解析由題意,f(x)=-f(2-x),∵當x>1時,f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,∴l(xiāng)oga2=-1,∴a=12,∴當x>1時,不等式f(x)>1可化為log12(x-1)>1,∴11時,不等式f(x)>1可化為-log12(1-x)>1,∴x<-1.故選D.
12.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).當0≤x≤1時,f(x)=x2.若直線y=x+a與函數(shù)y=f(x)的圖象在[0,2]內(nèi)恰有兩個不同的公共點,則實數(shù)a的值是( )
A.0 B.0或-12
C.-14或-12 D.0或-14
答案D
解析∵f(x+2)=f(x),∴T=2.
又0≤x≤1時,f(x)=x2,可畫出函數(shù)y=f(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖.顯然a=0時,y=x與y=x2在[0,2]內(nèi)恰有兩個不同的公共點.
另當直線y=x+a與y=x2(0≤x≤1)相切時,也恰有兩個不同的公共點.
由題意知x2=x+a,即x2-x-a=0,Δ=1+4a=0,
則a=-14,此時x=12.綜上,可知a=0或a=-14.
13.已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且對任意x∈R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱,且f(1)=3,則f(2 015)=( )
A.6 B.3 C.0 D.-3
答案D
解析因為函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(-1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,f(x)是奇函數(shù),對任意x∈R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),令x=0,得f(0+2)=f(2-0)+4f(2),因此f(2)=0,由f(x+2)=f(2-x)=-f(x-2)知f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期為8的周期函數(shù),f(2015)=f(7)=f(-1)=-f(1)=-3.故選D.
14.已知函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),當x>0時為減函數(shù),且f(2)=0,則{x|f(x-2)>0}= .
答案{x|00},當x-2>0時,f(x-2)>0=f(2),
∵x∈(0,+∞)時,f(x)為減函數(shù),
∴01時,f(x+2)=f(x),則f(8)= .
答案2-ln 2
解析由題意,f(8)=f(23+2)=f(2)=-f(-2)=-(ln2-2)=2-ln2,故填2-ln2.
16.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對任意的x∈R都有f(1+x)=f(1-x),且當x∈[0,1]時,f(x)=2x-1,則當x∈[-2,6]時,方程f(x)=-12所有根之和為 .
答案4
解析由f(1+x)=f(1-x),得f(x+2)=f(-x),又函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
則有f(x+2)=f(-x)=-f(x),從而有f(x+4)=f(x),即f(x)是以4為周期的函數(shù).
又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,從而其圖象又關(guān)于直線x=-1對稱,由周期性知函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2k+1,k∈Z對稱.由題意知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]是增函數(shù),其值域為[0,1],此時方程f(x)=-12無解,由對稱性知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]是減函數(shù),其值域為[0,1],此時方程f(x)=-12也無解.由函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱知方程f(x)=-12在區(qū)間[-2,-1]和[-1,0]上各有一根,由對稱性知兩根之和為-2.由周期性知方程f(x)=-12在區(qū)間[2,3]和[3,4]上各有一根,由對稱性知兩根之和為6.在區(qū)間[4,6]上方程f(x)=-12無解,故在區(qū)間[-2,6]上共有4個根,其和為4.故答案為4.
17.(2018浙江諸暨高三5月適應性考試)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且f(x)=f(4-x),當-2≤x<0時,f(x)=log3|x|,則f113= .
答案1
解析由f(x)=f(4-x)知,f113=f4-113=f13,又因為f(x)是奇函數(shù),所以f13=-f-13=-log3-13=1.
18.設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)當-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.
解(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù),
所以f(π)=f(-14+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),
得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).
故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
又當0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如下圖所示.
當-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=41221=4.
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