(浙江專用)2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 7.4 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用(第1課時)講義(含解析).docx
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7.4 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用 最新考綱 考情考向分析 1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式及其應用. 2.會利用數(shù)列的關(guān)系解決實際問題. 本節(jié)以考查分組法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法求數(shù)列前n項和為主,識別出等差(比)數(shù)列,直接用公式法也是考查的熱點.題型以解答題的形式出現(xiàn),難度中等或稍難.與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合. 1.等差數(shù)列的前n項和公式 Sn==na1+d. 2.等比數(shù)列的前n項和公式 Sn= 3.一些常見數(shù)列的前n項和公式 (1)1+2+3+4+…+n=. (2)1+3+5+7+…+2n-1=n2. (3)2+4+6+8+…+2n=n(n+1). (4)12+22+…+n2=. 4.數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列的可直接使用公式求和. (2)分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項,使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列,再求解. (3)裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項. 常見的裂項公式 ①=-; ②=; ③=-. (4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣. (5)錯位相減法 主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣. (6)并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項和Sn=.( √ ) (2)當n≥2時,=.( √ ) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時,只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得.( ) (4)數(shù)列的前n項和為n2+.( ) (5)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21+sin22+sin23+…+sin288+sin289=44.5.( √ ) (6)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列,那么Skm=mSk(m,k為大于1的正整數(shù)).( √ ) 題組二 教材改編 2.[P61A組T5]一個球從100m高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下,當它第10次著地時,經(jīng)過的路程是( ) A.100+200(1-2-9) B.100+100(1-2-9) C.200(1-2-9) D.100(1-2-9) 答案 A 解析 第10次著地時,經(jīng)過的路程為100+2(50+25+…+1002-9)=100+2100(2-1+2-2+…+2-9)=100+200=100+200(1-2-9). 3.[P61A組T4(3)]1+2x+3x2+…+nxn-1=________(x≠0且x≠1). 答案?。? 解析 設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,① 則xSn=x+2x2+3x3+…+nxn,② ①-②得(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn =-nxn, ∴Sn=-. 題組三 易錯自糾 4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,當n≥2時,an+2Sn-1=n,則S2019等于( ) A.1007B.1008C.1009D.1010 答案 D 解析 由an+2Sn-1=n得an+1+2Sn=n+1,兩式相減得an+1-an+2an=1?an+1+an=1?S2019=a1+(a2+a3)+…+(a2018+a2019)=10091+1=1010. 5.數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n-1(4n-3),則它的前100項之和S100等于( ) A.200B.-200C.400D.-400 答案 B 解析 S100=(41-3)-(42-3)+(43-3)-…-(4100-3)=4[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4(-50)=-200. 6.數(shù)列{an}的通項公式為an=ncos,其前n項和為Sn,則S2017=________. 答案 1008 解析 因為數(shù)列an=ncos呈周期性變化,觀察此數(shù)列規(guī)律如下:a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4. 故S4=a1+a2+a3+a4=2. a5=0,a6=-6,a7=0,a8=8, 故a5+a6+a7+a8=2,∴周期T=4. ∴S2017=S2016+a2017 =2+2017cosπ=1008. 7.(2011浙江)若數(shù)列中的最大項是第k項,則k=________. 答案 4 解析 由題意知 解得≤k≤1+.∵k∈N*,∴k=4. 第1課時 數(shù)列求和的常用方法 題型一 分組轉(zhuǎn)化法求和 例1已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=,n∈N*. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)求數(shù)列{bn}的前2n項和. 解 (1)當n=1時,a1=S1=1; 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=n. a1也滿足an=n, 故數(shù)列{an}的通項公式為an=n(n∈N*). (2)由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn. 記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n, 則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n). 記A=21+22+…+22n, B=-1+2-3+4-…+2n, 則A==22n+1-2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故數(shù)列{bn}的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2. 引申探究 本例(2)中,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解 由(1)知bn=2n+(-1)nn. 當n為偶數(shù)時, Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]=+=2n+1+-2; 當n為奇數(shù)時,Tn=(21+22+…+2n)+[-1+2-3+4-…-(n-2)+(n-1)-n] =2n+1-2+-n =2n+1--. ∴Tn= 思維升華分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an=bncn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項和. (2)通項公式為an=的數(shù)列,其中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和. 提醒:某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和,注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論. 跟蹤訓練1(2018溫州市適應性考試)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,數(shù)列{bn}滿足b1=a1,nbn+1=anbn. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)若數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解 (1)由2Sn=(n+1)2an-n2an+1,① 可得2Sn+1=(n+2)2an+1-(n+1)2an+2,② ②-①得2an+1=2(n2+2n+2)an+1-(n+1)2an+2-(n+1)2an, 所以2(n+1)2an+1=(n+1)2an+2+(n+1)2an, 化簡得2an+1=an+2+an, 所以{an}是等差數(shù)列. 由2S1=(1+1)2a1-a2可得a2=4, 所以公差d=a2-a1=4-2=2, 故an=2+2(n-1)=2n. 由b1=a1,nbn+1=anbn以及an=2n可知,b1=2,=2,所以數(shù)列{bn}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列, 故bn=22n-1=2n. (2)因為cn=an+bn=2n+2n, 所以Tn=(2+2)+(4+22)+(6+23)+…+(2n+2n) =(2+4+6+…+2n)+(2+22+23+…+2n) =+ =n2+n+2n+1-2. 題型二 錯位相減法求和 例2(2018浙江省金華名校統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列,且a2+a4=90,a3=27.在數(shù)列{bn}中,b1=1,bn+1=(n∈N*). (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>1), 則由a2+a4=90,a3=27,得 解得或(舍去), 故an=33n-1=3n. 因為bn+1=(n∈N*), 所以=+1, 又b1=1,所以是首項為1,公差為1的等差數(shù)列. 于是,=1+(n-1)1=n,故bn=. (2)由(1)知,cn==n3n, 所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=13+232+…+n3n, 則3Tn=132+233+…+(n-1)3n+n3n+1. 兩式相減得,-2Tn=3+32+33+…+3n-n3n+1=-n3n+1=3n+1-, 故Tn=3n+1+. 思維升華錯位相減法求和時的注意點 (1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式. (3)在應用錯位相減法求和時,若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應分公比等于1和不等于1兩種情況求解. 跟蹤訓練2(2018杭州質(zhì)檢)已知各項均大于零的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足2Sn=a+an. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè),數(shù)列{bn}的前n項和為Hn,求使得Hn+n2n+1>50成立的最小整數(shù)n. 解 (1)由2Sn=a+an,① 得2Sn-1=a+an-1(n≥2),② 當n≥2時,①-②得2an=a+an-a-an-1, 即an+an-1=a-a=(an+an-1)(an-an-1), 又由題設(shè)知an+an-1>0,所以an-an-1=1, 故數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列,又a1=1, 所以an=1+(n-1)1=n. (2)因為=-n2n, 所以Hn=-(121+222+…+n2n), 則2Hn=-(22+223+…+n2n+1). 將以上兩式作差化簡可得Hn=-n2n+1+2n+1-2, 于是,Hn+n2n+1>50,即2n+1>52,解得n≥5. 故最小正整數(shù)n是5. 題型三 裂項相消法求和 命題點1 形如an=型 例3(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,等比數(shù)列{bn}的公比為2,且anbn=n2n. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式; (2)令cn=,記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,試比較Tn與的大小. 解 (1)∵anbn=n2n, ∴? 解得a1=2,b1=1, ∴an=2+2(n-1)=2n, bn=2n-1. (2)∵an=2n,bn=2n-1, ∴cn===, ∴Tn=c1+c2+c3+c4+…+cn-1+cn = = =-<, ∴Tn<. 命題點2 an=型 例4已知函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(4,2),令an=,n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2019=________. 答案?。? 解析 由f(4)=2,可得4α=2,解得α=,則f(x)=. ∴an===-, S2019=a1+a2+a3+…+a2019=(-1)+(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1. 命題點3 裂項相消法的靈活運用 例5 (2018紹興諸暨市期末)已知等差數(shù)列{an}的公差為2,前n項和為Sn,且S1,S2,S4成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)令bn=(-1)n-1,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解 (1)因為S1=a1,S2=2a1+2=2a1+2, S4=4a1+2=4a1+12, 由題意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得a1=1,所以an=2n-1. (2)由題意可知,bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1. 當n為偶數(shù)時, Tn=-+…+-=1-=. 當n為奇數(shù)時, Tn=-+…-+=1+=. 所以Tn= 思維升華(1)用裂項相消法求和時,要對通項進行變換,如:=(-),=,裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項.(2)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項. 跟蹤訓練3(2018紹興市六校質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=3x2-2x,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)f(x)的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得Tn<對所有的n∈N*都成立的最小正整數(shù)m. 解 (1)由題意知Sn=3n2-2n, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n-5, a1=3-2=1,適合上式,∴an=6n-5. (2)∵bn==, ∴Tn= =, ∵<, 要使<對n∈N*恒成立, 需滿足≥,∴m≥10,故符合條件的最小正整數(shù)m為10. 1.數(shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項和Sn的值等于( ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- 答案 A 解析 該數(shù)列的通項公式為an=(2n-1)+, 則Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+ =n2+1-. 2.(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*).若Sn為數(shù)列的前n項和,則S2018等于( ) A.22016-1 B.321009-3 C.22009-3 D.22010-3 答案 B 解析 由an+1an=2n,得an+2an+1=2n+1,兩式作商,得=2,又a1=1,所以a2=2,則數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,所以S2018=(a1+a3+…+a2017)+(a2+a4+…+a2018)=+=321009-3,故選B. 3.已知數(shù)列2008,2009,1,-2008,-2009,…,這個數(shù)列的特點是從第二項起,每一項都等于它的前后兩項之和,則這個數(shù)列的前2019項之和S2019等于( ) A.4018B.2010C.1D.0 答案 A 解析 由已知得an=an-1+an+1(n≥2), ∴an+1=an-an-1. 故數(shù)列的前8項依次為2008,2009,1,-2008,-2009,-1,2008,2009. 由此可知此數(shù)列為周期數(shù)列,周期為6,且S6=0. ∵2019=6336+3, ∴S2019=S3=2008+2009+1=4018. 4.在數(shù)列{an}中,若an+1+(-1)nan=2n-1(n∈N*),則數(shù)列{an}的前12項和等于( ) A.76B.78C.80D.82 答案 B 解析 由已知an+1+(-1)nan=2n-1,得an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,得an+2+an=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,結(jié)果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.故選B. 5.已知函數(shù)f(n)=且an=f(n)+f(n+1),則a1+a2+a3+…+a100等于( ) A.0B.100C.-100D.10200 答案 B 解析 由題意,得a1+a2+a3+…+a100 =12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012 =-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100) =-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101) =101-1=100.故選B. 6.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=________. 答案 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則 由得 ∴Sn=n1+1=, ==2. ∴=+++…+ =2 =2=(n∈N*). 7.有窮數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有項的和為__________. 答案 2n+1-2-n 解析 由題意知所求數(shù)列的通項為=2n-1,故由分組求和法及等比數(shù)列的求和公式可得和為-n=2n+1-2-n. 8.(2018浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+an+1=2(n+1)(n∈N*),則a2018-a2016=________,+++…++=________. 答案 2 解析 ∵an+an+1=2(n+1)(n∈N*),∴當n≥2時,an-1+an=2n,∴an+1-an-1=2,∴a2018-a2016=2,數(shù)列{an}的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別是公差為2的等差數(shù)列,又a1=1,∴a2=3,∴+++…++=2+=-+=. 9.(2018臺州調(diào)研)已知數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且an>0,6Sn=a+3an,n∈N*,,若任意n∈N*,k>Tn恒成立,則k的最小值是________. 答案 解析 當n=1時,6a1=a+3a1, 解得a1=3或a1=0. 由an>0,得a1=3. 由6Sn=a+3an,得6Sn+1=a+3an+1. 兩式相減得6an+1=a-a+3an+1-3an. 所以(an+1+an)(an+1-an-3)=0. 因為an>0,所以an+1+an>0,an+1-an=3. 即數(shù)列{an}是以3為首項,3為公差的等差數(shù)列, 所以an=3+3(n-1)=3n. 所以 = =. 所以Tn= =<. 要使任意n∈N*,k>Tn恒成立,只需k≥, 所以k的最小值為. 10.(2018湖州市適應性考試)已知等比數(shù)列{an}滿足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中項. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若bn=an+log2,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值. 解 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q, 依題意,有2(a3+2)=a2+a4, 即2(a1q2+2)=a1q+a1q3,① 由2a1+a3=3a2,得2a1+a1q2=3a1q,解得q=1或q=2. 當q=1時,不合題意,故舍去; 當q=2時,代入①式得a1=2,所以an=2n. (2)bn=an+log2=2n-n, 所以Sn=2-1+22-2+23-3+…+2n-n =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n) =- =2n+1-2-n-n2, 因為Sn-2n+1+47<0,所以n2+n-90>0, 解得n>9或n<-10, 由n∈N*,故使Sn-2n+1+47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10. 11.(2018紹興適應性考試)已知函數(shù)f(x)=-,點Pn(n∈N*)在曲線y=f(x)上,且a1=1,an>0. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列{aa}的前n項和為Sn,若對于任意的n∈N*,Sn- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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