2020高考數(shù)學一輪復習 選修4-4 坐標系與參數(shù)方程 課時作業(yè)70 坐標系 文.doc
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課時作業(yè)70 坐標系 [基礎達標] 1.求橢圓+y2=1,經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程. 解析:由得到① 將①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1. 因此橢圓+y2=1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2+y2=1. 2.[2019南昌模擬]在平面直角坐標系xOy中,直線C1的方程為x+y+2=0,以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C2的極坐標方程為ρ2+4ρsin+1=0. (1)求圓C2在直角坐標系下的標準方程; (2)若直線C1與圓C2交于P,Q兩點,求△OPQ的面積. 解析:(1)ρ2+4ρsin+1=0,即ρ2+2ρsinθ+2ρcosθ+1=0, 即x2+y2+2x+2y+1=0,(x+)2+(y+1)2=3, 所以圓C2在直角坐標系下的標準方程為(x+)2+(y+1)2=3. (2)由(1)知圓心C2(-,-1),圓的半徑r=, 又圓心C2到直線C1的距離 d==1, 則|PQ|=2=2. 又原點O到直線PQ的距離d1==1, 所以S△OPQ=|PQ|d1=21=. 3.[2019太原模擬]已知點P是曲線C1:(x-2)2+y2=4上的動點,以坐標原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,以極點O為中心,將點P逆時針旋轉(zhuǎn)90得到點Q,設點Q的軌跡方程為曲線C2. (1)求曲線C1,C2的極坐標方程; (2)射線θ=(ρ>0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點,定點M(2,0),求△MAB的面積. 解析:(1)由得曲線C1的極坐標方程為ρ=4cosθ. 設Q(ρ,θ),則P,所以ρ=4cos=4sinθ, 所以曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ. (2)點M(2,0)到射線θ=的距離d=2sin=, |AB|=ρB-ρA=4=2(-1), 則△MAB的面積S=|AB|d=3-. 4.[2019南昌模擬]在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=4sinθ,曲線C2的極坐標方程為ρsin=2. (1)求曲線C1,C2的直角坐標方程; (2)設曲線C1,C2交于點A,B,曲線C2與x軸交于點E,求線段AB的中點到點E的距離. 解析:(1)曲線C1的極坐標方程可以化為ρ2-4ρsinθ=0, 所以曲線C1的直角坐標方程為x2+y2-4y=0. 曲線C2的極坐標方程可以化為ρsinθ+ρcosθ=2, 所以曲線C2的直角坐標方程為x+y-4=0. (2)由題意及(1)得點E的坐標為(4,0),C2的傾斜角為, 所以C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 將C2的參數(shù)方程代入曲線C1的直角坐標方程得到2+-2t=0, 整理得t2-(4+2)t+16=0,判別式Δ>0, 則線段AB的中點對應的參數(shù)為2+1, 所以線段AB的中點到點E的距離為2+1. 5.[2019東北三省模擬]在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1:ρcosθ=3,曲線C2:ρ=4cosθ. (1)求C1與C2交點的極坐標; (2)設點Q在C2上,=,求動點P軌跡的極坐標方程. 解析:(1)聯(lián)立,得得cosθ=, ∵0≤θ<,∴cosθ=,θ=, ∴ρ=2, ∴C1與C2交點的極坐標為. (2)設P(ρ,θ),Q(ρ0,θ0),則ρ0=4cosθ0,θ0∈, 由=,得 ∴ρ=4cosθ,故動點P的極坐標方程為ρ=10cosθ,θ∈. 6.[2019昆明檢測]在平面直角坐標系xOy中,圓O的方程為x2+y2=4,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρ2cos2θ=1. (1)求圓O的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程; (2)已知M,N是曲線C與x軸的兩個交點,點P為圓O上的任意一點,證明:|PM|2+|PN|2為定值. 解析:(1)圓O的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 由ρ2cos2θ=1得ρ2(cos2θ-sin2θ)=1,即ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=1, 所以曲線C的直角坐標方程為x2-y2=1. (2)由(1)知曲線C的直角坐標方程為x2-y2=1,不妨令M(-1,0),N(1,0),可設P(2cosα,2sinα), 則|PM|2+|PN|2=(2cosα+1)2+(2sinα)2+(2cosα-1)2+(2sinα)2=5+4cosα+5-4cosα=10. 所以|PM|2+|PN|2為定值10. [能力挑戰(zhàn)] 7.[2019成都市診斷性檢測]在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A,且點A的極坐標為(2,θ),其中θ∈. (1)求θ的值; (2)若射線OA與直線l相交于點B,求|AB|的值. 解析:(1)由題意知,曲線C的普通方程為x2+(y-2)2=4, ∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴曲線C的極坐標方程為(ρcosθ)2+(ρsinθ-2)2=4,即ρ=4sinθ. 由ρ=2,得sinθ=, ∵θ∈,∴θ=. (2)由題,易知直線l的普通方程為x+3-4=0,∴直線l的極坐標方程為ρcosθ+ρsinθ-4=0. 又射線OA的極坐標方程為θ=(ρ≥0), 聯(lián)立,得,解得ρ=4. ∴點B的極坐標為(4,), ∴|AB|=|ρB-ρA|=4-2=2.- 配套講稿:
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