2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題19 直線與橢圓的綜合練習(xí) 理.docx

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19　直線與橢圓的綜合 1.直線x+4y+m=0交橢圓x216+y2=1于A,B兩點,若線段AB中點的橫坐標(biāo)為1,則m=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　 A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析?　因為x+4y+m=0,所以y=-14x-m4. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1216+y12=1,x2216+y22=1,兩式相減, 得y1-y2x1-x2=-x1+x216(y1+y2)=-14. 因為AB中點的橫坐標(biāo)為1,所以縱坐標(biāo)為14,將1,14代入直線y=-14x-m4,解得m=-2,故選A. 答案?　A 2.已知F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點,經(jīng)過原點的直線l與橢圓E交于P,Q兩點,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120,則橢圓的離心率為(　　). A.13 B.12 C.33 D.22 解析?　在△PQF中,設(shè)|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦點為E,由橢圓的對稱性,知四邊形PFQE是平行四邊形,所以在△PEF中,由余弦定理得EF2=5t2-2t2=3t2=4c2.因為PF+QF=2a=3t,所以t=2a3,所以e=33,故選C. 答案?　C 3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點,直線y=b2與橢圓交于B,C兩點,且∠BFC=90,則該橢圓的離心率是　　　　. 解析?　將y=b2代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 得x2a2+b24b2=1,所以x=32a, 故B-32a,b2,C32a,b2. 又因為F(c,0),所以BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2. 因為∠BFC=90,所以BFCF=0, 所以c+32ac-32a+-b22=0, 即c2-34a2+b24=0. 將b2=a2-c2代入并化簡,得a2=32c2, 所以e2=c2a2=23, 所以e=63(負(fù)值舍去). 答案?　63 4.直線x4+y3=1與橢圓x216+y29=1相交于A,B兩點,該橢圓上有點P,使得△PAB的面積等于3,則這樣的點P共有　　　　個. 解析?　設(shè)P1(4cos α,3sin α)0<α<π2,即點P1在第一象限.設(shè)四邊形P1AOB的面積為S, 則S=S△OAP1+S△OBP1=1243sin α+1234cos α=6(sin α+cos α)=62sinα+π4, ∴Smax=62.∵S△OAB=1243=6, ∴S△P1AB的最大值為62-6. ∵62-6<3,∴點P不可能在直線AB的右上方, ∴在AB的左下方有2個這樣的點P. 答案?　2 能力1 ?　會用點差法解直線與橢圓中的與弦中點有關(guān)的問題 【例1】　已知橢圓C:x24+y2b2=1(0b>0)的一條弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點坐標(biāo)是M(-4,1),則橢圓的離心率是(　　). A.12 B.22 C.32 D.55 解析?　設(shè)直線與橢圓的交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程,由點差法可知yM=-b2a2xM,代入點M(-4,1),解得b2a2=14,∴e=1-b2a2=32,故選C. 答案?　C 能力2 ?　會用“設(shè)而不解”的思想解直線與橢圓中的弦長、面積問題 【例2】　在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點M(x,y)總滿足關(guān)系式2(x-1)2+y2=|x-4|. (1)點M的軌跡是什么曲線?并寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)坐標(biāo)原點O到直線l:y=kx+m的距離為1,直線l與M的軌跡交于不同的兩點A,B,若OAOB=-32,求△AOB的面積. 解析?　(1)由2(x-1)2+y2=|x-4|, 得x24+y23=1, 所以點M的軌跡是焦點在x軸上的橢圓, 它的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1. (2)由點O到直線l:y=kx+m的距離為1,得d=|m|1+k2=1,即1+k2=m2. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立x24+y23=1,y=kx+m,消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)>0,得m2<4k2+3, 所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2, 所以O(shè)AOB=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =(1+k2)4m2-123+4k2+km-8km3+4k2+m2 =7m2-12k2-123+4k2=-5k2-53+4k2. 因為OAOB=-32,所以-5k2-53+4k2=-32, 解得k2=12,m2=1+k2=32, 所以|AB|=1+k248(3k2+2)3+4k2=675, 所以S△AOB=121675=375. 求解弦長的四種方法 (1)當(dāng)弦的兩個端點坐標(biāo)容易求時,可直接利用兩點間的距離公式求解. (2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,解方程組求出兩個交點坐標(biāo),代入兩點間的距離公式求解. (3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程,消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入兩點間的距離公式. (4)當(dāng)弦過焦點時,可結(jié)合焦半徑公式求解弦長. 已知橢圓C的兩個焦點坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點P(3,1). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過橢圓C的右焦點F作直線l,直線l與橢圓C相交于A,B兩點,與圓O:x2+y2=6相交于D,E兩點,當(dāng)△OAB的面積最大時,求弦|DE|的長. 解析?　(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), 由橢圓的定義可得2a=(3+2)2+1+(3-2)2+1 =8+43+8-43 =(6+2)2+(6-2)2 =26, ∴a=6. ∵c=2,∴b2=2. ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22=1. (2)設(shè)直線l的方程為x=ky+2, 代入橢圓C的方程并化簡得(k2+3)y2+4ky-2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=-4kk2+3,y1y2=-2k2+3. ∴△OAB的面積S=12|OF||y1-y2|=|y1-y2| =16k2+8(k2+3)k2+3=26k2+1k2+3. 令t=k2+1(t≥1),則S=26tt2+2≤26t22t=3,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即k=1時取等號, 此時直線l的方程為x=y+2. ∴圓心O到直線l的距離d=2,又圓O的半徑為6,故|DE|=26-2=4. 能力3 ?　會用“設(shè)而不解”的思想求直線與橢圓中的有關(guān)幾何量 【例3】　已知點M(-4,0),橢圓x24+y2b2=1(0b>0)的離心率為32,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與Γ相交于A,B兩點.若AF=3FB,則k=(　　). A.1 B.2 C.3 D.2 解析?　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), ∵AF=3FB,∴y1=-3y2. ∵e=32,設(shè)a=2t,c=3t,b=t, ∴x2+4y2-4t2=0.?、? 設(shè)直線AB的方程為x=sy+3t, 代入①中消去x,可得(s2+4)y2+23sty-t2=0, ∴y1+y2=-23sts2+4,y1y2=-t2s2+4. 由y1=-3y2可得-2y2=-23sts2+4,-3y22=-t2s2+4, 解得s2=12,k=2.故選D. 答案?　D 能力4 ?　會用“設(shè)而不解”的思想求直線與橢圓中的最值 【例4】　已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點P-3,12,橢圓的一個焦點為(3,0). (1)求橢圓E的方程; (2)若直線l過點(0,2)且與橢圓E交于A,B兩點,求|AB|的最大值. 解析?　(1)設(shè)橢圓E的左、右焦點分別為F1(-3,0)、F2(3,0),則|PF1|=12,|PF2|=72. ∴|PF1|+|PF2|=4=2a,∴a=2. 又c=3,∴b2=1, ∴橢圓E的方程為x24+y2=1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2), 由x24+y2=1,y=kx+2得(1+4k2)x2+82kx+4=0, 由Δ>0得4k2>1. ∴x1+x2=-82k1+4k2,x1x2=41+4k2, ∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 =2-611+4k22+11+4k2+1. 設(shè)t=11+4k2,則00,得m2<4k2+3, 所以x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2, 所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=-8k2m3+4k2+2m=6m3+4k2, 所以x1+x22=-4km3+4k2,y1+y22=3m3+4k2, 所以線段AB的中點坐標(biāo)為-4km3+4k2,3m3+4k2. 當(dāng)k=0時,x0=0,當(dāng)k≠0時, 則線段AB的垂直平分線方程為y-3m3+4k2=-1kx+4km3+4k2. 把點P(x0,0)代入上面的方程得x0(3+4k2)=-km, 所以x0(3+4k2)-k=m,代入4k2-m2+3>0, 整理得x02<4k4+3k216k4+24k2+9,令k2=t(t>0), x02<4t2+3t16t2+24t+9=116t2+24t+94t2+3t=14+3t<14, 所以-120,b>0)與直線y=1-x交于A,B兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為32,則ba的值為(　　). A.32 B.233 C.932 D.2327 解析?　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則ax12+by12=1,ax22+by22=1, 即ax12-ax22=-(by12-by22), 則by12-by22ax12-ax22=-1, ∴b(y1-y2)(y1+y2)a(x1-x2)(x1+x2)=-1, ∴ba(-1)32=-1, ∴ba=233,故選B. 答案?　B 2.已知經(jīng)過點(0,2)且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q,則k的取值范圍是(　　). A.-22,22 B.-∞,-22∪22,+∞ C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析?　由題意得,直線l的方程為y=kx+2,代入橢圓方程得x22+(kx+2)2=1,整理得12+k2x2+22kx+1=0.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0,解得k<-22或k>22,即k的取值范圍為-∞,-22∪22,+∞.故選B. 答案?　B 3.經(jīng)過橢圓x22+y2=1的一個焦點作傾斜角為45的直線l,交橢圓于A,B兩點.設(shè)O為坐標(biāo)原點,則OAOB等于(　　). A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.13 解析?　由題意知,當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時,其方程為y-0=tan 45(x-1),即y=x-1,代入橢圓方程x22+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以兩個交點的坐標(biāo)分別為(0,-1),43,13,所以O(shè)AOB=-13,同理,當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的左焦點時,也可得OAOB=-13,故選B. 答案?　B 4.若橢圓x2a2+y2b2=1的焦點在x軸上,過點1,12作圓x2+y2=1的切線,切點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓的方程是(　　). A.x24+y23=1 B.x23+y22=1 C.x25+y24=1 D.x28+y25=1 解析?　可設(shè)斜率存在的切線的方程為y-12=k(x-1)(k為切線的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由|-2k+1|4k2+4=1,解得k=-34,所以圓x2+y2=1的一條切線的方程為3x+4y-5=0,可求得切點的坐標(biāo)為35,45,易知另一切點的坐標(biāo)為(1,0),則直線AB的方程為y=-2x+2.令y=0得右焦點為(1,0),令x=0得上頂點為(0,2),故a2=b2+c2=5,所以所求橢圓的方程為x25+y24=1,故選C. 答案?　C 5.已知橢圓C的方程為x216+y2m2=1(m>0),若直線y=22x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F,則m的值為(　　). A.2 B.22 C.8 D.23 解析?　根據(jù)已知條件得c=16-m2,則點16-m2,2(16-m2)2在橢圓x216+y2m2=1(m>0)上, ∴16-m216+16-m22m2=1,可得m=22,故選B. 答案?　B 6.已知直線l:y=kx+2過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點B和左焦點F,且被圓x2+y2=4截得的弦長為L,若L≥455,則橢圓離心率e的取值范圍是(　　). A.0,55 B.0,255 C.0,355 D.0,455 解析?　依題意,知b=2,|kc|=2.設(shè)圓心到直線l的距離為d,則L=24-d2≥455,解得d2≤165. 又因為d=21+k2,所以11+k2≤45,解得k2≥14.因為e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2,所以00,b>0),若以C1的長軸為直徑的圓與C2的一條漸近線交于A,B兩點,且C1與C2的漸近線的兩個交點將線段AB三等分,則C2的離心率為(　　). A.5 B.5 C.17 D.2147 解析?　設(shè)直線AB與橢圓在第一象限內(nèi)的交點為P,A(11cos θ,11sin θ),其中θ∈0,π2, 則P113cosθ,113sinθ. 因為點P在橢圓上, 所以cos2θ9+119sin2θ=1,解得sin2θ=45,cos2θ=15,所以tan θ=2,即ba=2,所以e=1+ba2=5,故選A. 答案?　A 8.已知橢圓x24+y2b2=1(03,但當(dāng)直線AB的斜率不存在時,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D選項不對. 答案?　D 二、填空題 11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(2,0)為其右焦點,過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2,則橢圓C的方程為　　　　. 解析?　由題意得c=2,2b2a=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2, ∴橢圓C的方程為x24+y22=1. 答案?　x24+y22=1 12.已知直線MN過橢圓x22+y2=1的左焦點F,與橢圓交于M,N兩點,直線PQ過原點O 與MN平行,且PQ與橢圓交于P,Q兩點,則|PQ|2|MN|=　　　　. 解析?　由題意知F(-1,0),當(dāng)直線MN斜率不存在時,|MN|=2b2a=2,|PQ|=2b=2,則|PQ|2|MN|=22. 當(dāng)直線MN斜率存在時,設(shè)直線MN的斜率為k,則直線MN的方程為y=k(x+1),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x22+y2=1,y=k(x+1),整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1, 所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k2+1)2k2+1. 易知直線PQ的方程為y=kx,設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),聯(lián)立x22+y2=1,y=kx,解得x2=22k2+1,y2=2k22k2+1, 則|OP|2=x2+y2=2(k2+1)2k2+1,所以|PQ|=2|OP|,則|PQ|2=4|OP|2=8(k2+1)2k2+1,|PQ|2|MN|=22. 答案?　22 三、解答題 13.點A為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一個動點,弦AB、AC分別過橢圓的左、右焦點F1、F2.當(dāng)AC⊥x軸時,恰好|AF1|=2|AF2|. (1)求該橢圓的離心率. (2)設(shè)AF1=λ1F1B,AF2=λ2F2C,λ1+λ2是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由. 解析?　(1)因為當(dāng)AC⊥x軸時,恰好|AF1|=2|AF2|, 由橢圓的定義知,2a-|AF2|=2|AF2|,|AF2|=b2a,所以2a-b2a=2b2a,即b2a2=23, 故橢圓的離心率e=ca=33. (2)設(shè)橢圓的半焦距為c,則F1(-c,0),F2(c,0),橢圓方程設(shè)為x23c2+y22c2=1,整理得2x2+3y2-6c2=0. 設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2), 若直線AC的斜率存在,則直線AC的方程為y=y0x0-c(x-c), 聯(lián)立y=y0x0-c(x-c),2x2+3y2-6c2=0,消去x, 得[2(x0-c)2+3y02]y2+4cy0(x0-c)y-4c2y02=0. 由韋達(dá)定理得y0y2=-4c2y022(x0-c)2+3y02, y2=-4c2y02(x0-c)2+3y02, 同理y0y1=-4c2y022(x0+c)2+3y02,y1=-4c2y02(x0+c)2+3y02. 由AF1=λ1F1B得y0=-λ1y1, 則λ1=-y0y1=2(x0+c)2+3y024c2. 由AF2=λ2F2C得λ2=-y0y2=2(x0-c)2+3y024c2, 所以λ1+λ2=2(x0-c)2+3y02+2(x0+c)2+3y024c2=2(2x02+3y02)+4c24c2=26c2+4c24c2=4, 故λ1+λ2=4. 若直線AC⊥x軸,則λ2=1,λ1=3,所以λ1+λ2=4. 綜上所述,λ1+λ2=4是定值.