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第三節(jié) 簡單的邏輯聯(lián)結詞、全稱量詞與存在量詞
1.命題p:“?x∈N*,12x≤12”的否定為( )
A.?x∈N*,12x>12 B.?x?N*,12x>12
C.?x?N*,12x>12 D.?x∈N*,12x>12
答案 D ∵命題p:“?x∈N*,12x≤12”是全稱命題,∴“?x∈N*,12x≤12”的否定是“?x∈N*,12x>12”,故選D.
2.下列四個命題中的真命題為( )
A.?x0∈Z,1<4x0<3 B.?x0∈Z,5x0+1=0
C.?x∈R,x2-1=0 D.?x∈R,x2+x+2>0
答案 D 選項A中,14
0,所以方程x2-2ax-1=0有兩個實數(shù)根,所以命題p是真命題;當x<0時,f(x)=x+4x<0,所以命題q為假命題,所以p∨q,p∧(q),(p)∨(q)是真命題,故選C.
6.下列說法正確的是( )
A.命題“存在x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“任意x∈R,使得x2+x+1≥0”
B.實數(shù)x>y是1x<1y成立的充要條件
C.設p,q為簡單命題,若“p或q”為假命題,則“p或q”也為假命題
D.命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為假命題
答案 D 命題“存在x∈R,使得x2+x+1≥0”的否定是“任意x∈R,使得x2+x+1<0”,故A說法錯誤.當實數(shù)x>0>y時,1x>1y,此時1x<1y不成立,故B說法錯誤.“p或q”為假命題,則命題p和q都是假命題,則p是真命題,q是真命題,所以“p或q”為真命題,故C說法錯誤.若x2-3x+2=0,則x=1或x=2,所以原命題為假命題,故其逆否命題也為假命題,D說法正確.故選D.
7.(2018河南師范大學附屬中學開學考)已知命題p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命題q:“?x∈R,x2+4x+a=0”,若命題“p∧q”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(4,+∞) B.[1,4]
C.(-∞,1) D.[e,4]
答案 D 命題p等價于lna≥x對x∈[0,1]恒成立,所以lna≥1,解得a≥e;命題q等價于關于x的方程x2+4x+a=0有實根,則Δ=16-4a≥0,所以a≤4.因為命題“p∧q”是真命題,所以命題p真,命題q真,所以實數(shù)a的取值范圍是[e,4],故選D.
8.下列命題是真命題的是( )
A.?φ∈R,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函數(shù)
B.?α,β∈R,使得cos(α+β)=cosα+cosβ
C.向量a=(2,1),b=(-1,0),則a在b方向上的投影是2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要條件
答案 B 當φ=π2+kπ(k∈Z)時,f(x)=cos2x為偶函數(shù),故A為假命題;當α=-π2,β=π4時,cos(α+β)=cosα+cosβ,故B為真命題;a在b方向上的投影是|a|cos=|a|ab|a||b|=ab|b|=-2,故C為假命題;因為{x||x|≤1}包含于{x|x≤1},所以“|x|≤1”是“x≤1”的充分不必要條件,故D為假命題.故選B.
9.命題p的否定是“對所有正數(shù)x,x>x+1”,則命題p是 .
答案 ?x0∈(0,+∞),x0≤x0+1
解析 因為p是p的否定,所以只需將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~,再對結論進行否定即可.
10.已知命題p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”與“q”同時為假命題,則x= .
答案 -2
解析 若p為真,則x≥-1或x≤-3,
因為“q”為假,所以q為真,即x∈Z,
又因為“p∧q”為假,所以p為假,故-30”的否定為假命題,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 56,+∞
解析 由“?x∈R,x2-5x+152a>0”的否定為假命題,可知原命題必為真命題,即不等式x2-5x+152a>0對任意實數(shù)x恒成立.
設f(x)=x2-5x+152a,則由題意知其圖象恒在x軸的上方.
故Δ=25-4152a<0,
解得a>56,即實數(shù)a的取值范圍是56,+∞.
13.設命題p:函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)內單調遞減,q:曲線y=x2+(2a-3)x+1與x軸有兩個不同的交點.若p∧(q)為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
解析 函數(shù)y=loga(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)內單調遞減?00?a<12或a>52.
所以若p為真命題,則052.
因為p∧(q)為真命題,
所以p為真命題,q為假命題.
由0
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