浙江專(zhuān)版2018年高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理學(xué)案新人教A版必修5 .doc
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1.1 1.1.1 正弦定理 預(yù)習(xí)課本P2~3,思考并完成以下問(wèn)題 (1)直角三角形中的邊角之間有什么關(guān)系? (2)正弦定理的內(nèi)容是什么?利用它可以解哪兩類(lèi)三角形? (3)解三角形的含義是什么? 1.正弦定理 在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即==. [點(diǎn)睛] 正弦定理的特點(diǎn) (1)適用范圍:正弦定理對(duì)任意的三角形都成立. (2)結(jié)構(gòu)形式:分子為三角形的邊長(zhǎng),分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連等式. (3)刻畫(huà)規(guī)律:正弦定理刻畫(huà)了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系,可以實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化. 2.解三角形 一般地,把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形. 1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)正弦定理適用于任意三角形( ) (2)在△ABC中,等式bsin A=asin B總能成立( ) (3)在△ABC中,已知a,b,A,則此三角形有唯一解( ) 解析:(1)正確.正弦定理適用于任意三角形. (2)正確.由正弦定理知=,即bsin A=asin B. (3)錯(cuò)誤.在△ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是無(wú)解、一解、兩解的情況,具體情況由a,b,A的值來(lái)定. 答案:(1)√ (2)√ (3) 2.在△ABC中,下列式子與的值相等的是( ) A. B. C. D. 解析:選C 由正弦定理得,=, 所以=. 3.在△ABC中,已知A=30,B=60,a=10,則b等于( ) A.5 B.10 C. D.5 解析:選B 由正弦定理得,b===10. 4.在△ABC中,A=,b=2,以下錯(cuò)誤的是( ) A.若a=1,則c有一解 B.若a=,則c有兩解 C.若a=,則c無(wú)解 D.若a=3,則c有兩解 解析:選D a=2 sin=1時(shí),c有一解;當(dāng)a<1時(shí),c無(wú)解;當(dāng)12時(shí),c有一解.故選D. 已知兩角及一邊解三角形 [典例] 在△ABC中,已知a=8,B=60,C=75,求A,b,c. [解] A=180-(B+C)=180-(60+75)=45, 由正弦定理=,得b===4, 由=,得c====4(+1). 已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路 (1)由三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角. (2)由正弦定理公式的變形,求另外的兩條邊. [注意] 若已知角不是特殊角時(shí),往往先求出其正弦值(這時(shí)應(yīng)注意角的拆并,即將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差,如75=45+30),再根據(jù)上述思路求解. [活學(xué)活用] 在△ABC中,若A=60,B=45,BC=3,則AC=( ) A.4 B.2 C. D. 解析:選B 由正弦定理得,=,即=,所以AC==2,故選B. 已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形 [典例] 在△ABC中,a=,b=,B=45,求A,C,c. [解] 由正弦定理及已知條件,有=,得sin A=. ∵a>b,∴A>B=45.∴A=60或120. 當(dāng)A=60時(shí),C=180-45-60=75,c===; 當(dāng)A=120時(shí),C=180-45-120=15,c===. 綜上可知:A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=. 已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值. (2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí),由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,由正弦值可求銳角唯一. (3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí),則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角,要分類(lèi)討論. [活學(xué)活用] 在△ABC中,c=,C=60,a=2,求A,B,b. 解:∵=,∴sin A==. ∴A=45或A=135. 又∵c>a,∴C>A.∴A=45. ∴B=75,b===+1. 三角形形狀的判斷 [典例] 在△ABC中,acos=bcos,判斷△ABC的形狀. 解:[法一 化角為邊] ∵acos=bcos, ∴asin A=bsin B.由正弦定理可得:a=b, ∴a2=b2,∴a=b,∴△ABC為等腰三角形. [法二 化邊為角] ∵acos=bcos, ∴asin A=bsin B. 由正弦定理可得:2Rsin2A=2Rsin2B,即sin A=sin B, ∴A=B.(A+B=π不合題意舍去) 故△ABC為等腰三角形. 利用正弦定理判斷三角形的形狀的兩條途徑 (1)化角為邊.將題目中的所有條件,利用正弦定理化角為邊,再根據(jù)多項(xiàng)式的有關(guān)知識(shí)(分解因式、配方等)得到邊的關(guān)系,如a=b,a2+b2=c2等,進(jìn)而確定三角形的形狀.利用的公式為:sin A=,sin B=,sin C=. (2)化邊為角.將題目中所有的條件,利用正弦定理化邊為角,再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系,進(jìn)而確定三角形的形狀.利用的公式為:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. [活學(xué)活用] 在△ABC中,已知acos A=bcos B,試判斷△ABC的形狀. 解:由正弦定理,===2R,所以acos A=bcos B可化為sin A cos A=sin Bcos B,sin 2A=sin 2B,又△ABC中,A,B,C∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC的形狀為等腰或直角三角形. 層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1.在△ABC中,a=5,b=3,則sin A∶sin B的值是( ) A. B. C. D. 解析:選A 根據(jù)正弦定理得==. 2.在△ABC中,a=bsin A,則△ABC一定是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 解析:選B 由題意有=b=,則sin B=1, 即角B為直角,故△ABC是直角三角形. 3.在△ABC中,若=,則C的值為( ) A.30 B.45 C.60 D.90 解析:選B 由正弦定理得,==, 則cos C=sin C,即C=45,故選B. 4.△ABC中,A=,B=,b=,則a等于( ) A.1 B.2 C. D.2 解析:選A 由正弦定理得=, ∴a=1,故選A. 5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a=bsin A,則sin B=( ) A. B. C. D.- 解析:選B 由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,所以sin A=sin Bsin A,故sin B=. 6.下列條件判斷三角形解的情況,正確的是______(填序號(hào)). ①a=8,b=16,A=30,有兩解; ②b=18,c=20,B=60,有一解; ③a=15,b=2,A=90,無(wú)解; ④a=40,b=30,A=120,有一解. 解析:①中a=bsin A,有一解;②中csin Bb,有一解;④中a>b且A=120,有一解.綜上,④正確. 答案:④ 7.在△ABC中,若(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,則△ABC的形狀是________. 解析:由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根據(jù)正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=, 所以2-2=2, 即a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形. 答案:直角三角形 8.在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則=________. 解析:由正弦定理及已知得=,∴=2. 答案:2 9.已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45,60,它們所夾邊的長(zhǎng)是1,求最小邊長(zhǎng). 解:設(shè)△ABC中,A=45,B=60, 則C=180-(A+B)=75. 因?yàn)镃>B>A,所以最小邊為a. 又因?yàn)閏=1,由正弦定理得, a===-1, 所以最小邊長(zhǎng)為-1. 10.在△ABC中,已知a=2,A=30,B=45,解三角形. 解:∵==, ∴b====4. ∴C=180-(A+B)=180-(30+45)=105, ∴c=== =4sin(30+45)=2+2. 層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,如果c=a,B=30,那么角C等于( ) A.120 B.105 C.90 D.75 解析:選A ∵c=a,∴sin C=sin A=sin(180-30-C)=sin(30+C)=,即sin C=-cos C,∴tan C=-.又0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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