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第1講 小題考法——直線與圓的方程
一、主干知識要記牢
1．直線方程的五種形式
點斜式
y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)
斜截式
y＝kx＋b(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)
兩點式
＝(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不能表示坐標軸和平行于坐標軸的直線)
截距式
＋＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不能表示坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)
一般式
Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)
2.點到直線的距離及兩平行直線間的距離
(1)點P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離為d＝．
(2)兩平行線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝ ．
3．圓的方程
(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(3)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
4．直線與圓位置關(guān)系的判定方法
(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：Δ>0?相交，Δ<0?相離，Δ＝0?相切．
(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d
r?相離，d＝r?相切．
5．圓與圓的位置關(guān)系
已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則
(1)當|O1O2|＞r1＋r2時，兩圓外離；
(2)當|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切；
(3)當|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時，兩圓相交；
(4)當|O1O2|＝|r1－r2|時，兩圓內(nèi)切；
(5)當0≤|O1O2|＜|r1－r2|時，兩圓內(nèi)含．
二、二級結(jié)論要用好
直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)重合?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0；
(3)相交?A1B2－A2B1≠0；
(4)垂直?A1A2＋B1B2＝0．
三、易錯易混要明了
1．易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等設(shè)方程時，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為＋＝1；再如，忽視斜率不存在的情況直接將過定點P(x0，y0)的直線設(shè)為y－y0＝k(x－x0)等．
2．討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0，就可以避免討論．
3．求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯解．
4．易誤認為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解．
考點一 直線方程
直線方程問題的2個關(guān)注點
(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況．
(2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意．
1．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，則實數(shù)a的值為( C )
A．－ B．0
C．－或0 D．2
解析 由l1∥l2得1(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－. 經(jīng)檢驗，當a＝0或a＝－時均有l(wèi)1∥l2，故選C．
2．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3,2)，B(－a，1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝( B )
A．－4 B．－2
C．0 D．2
解析 由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為－1，所以＝－1，所以a＝－4.又l1∥l2，所以－＝－1，b＝2，所以a＋b＝－4＋2＝－2，故選B．
3．過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0．
解析 由得∴l(xiāng)1與l2的交點為(1,2). 當所求直線斜率不存在，即直線方程為x＝1時，顯然不滿足題意．當所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0, ∵點P(0,4)到直線的距離為2，∴2＝，∴k＝0或k＝. ∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0．
考點二 圓的方程
圓的方程的2種求法
(1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程．
(2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．
1．(2018湖北聯(lián)考)已知a＞1，過P(a,0)作⊙O：x2＋y2＝1的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點，則經(jīng)過P，A，B三點的圓的半徑為( D )
A． B．
C．a(chǎn) D．
解析 經(jīng)過P，A，B三點的圓為以O(shè)P為直徑的圓，所以半徑為，選D．
2．(2018蚌埠模擬)以拋物線y2＝4x的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為( D )
A．(x－2)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝4
解析 拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，準線為：x＝－1. 根據(jù)題意可得圓心為(1,0)，半徑為2. 圓的方程為(x－1)2＋y2＝4.故選D．
3．(2018天津卷)在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為x2＋y2－2x＝0．
解析 方法1：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，
∴
解得
∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0．
方法2：畫出示意圖如圖所示，
則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0．
4．(2018棗莊一模)已知圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切，圓心在直線y＝－x＋2上，則圓M的標準方程為x2＋(y－2)2＝2．
解析 由題意，圓心在y＝－x＋2，設(shè)圓心為(a,2－a), 因為圓M與直線x－y＝0及x－y＋4＝0都相切， 則圓心到兩直線的距離相等，即＝，解得a＝0，即圓心(0,2)，且r＝＝，所以圓的方程x2＋(y－2)2＝2．
考點三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路
(1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．
(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式．過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算．
2．直線截圓所得弦長的求解方法
(1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)．
(2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)．
(3)求出交點坐標，用兩點間的距離公式求解．
1．(2018濰坊模擬)直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是( B )
A． B．
C．[－，] D．
解析 設(shè)圓心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離為d，
則根據(jù)點到直線距離有d＝，
由直線與圓相交弦長公式r2＝d2＋2，
所以|MN|＝2＝2，
解不等式2≥2得k2≤，
所以k∈，故選擇B．
2．(2018綿陽三診)已知圓C1：x2＋y2＝r2，圓C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，給出下列結(jié)論：
①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；
②2ax1＋2by1＝a2＋b2；
③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 公共弦的方程為2ax＋2by－a2－b2＝0，所以有2ax1＋2by1－a2－b2＝0，②正確；又2ax2＋2by2－a2－b2＝0，所以a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，①正確；AB的中點為直線AB與直線C1C2的交點，又AB：2ax＋2by－a2－b2＝0，C1C2：bx－ay＝0. 由得故有x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，③正確，綜上，選D．
3．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N兩點．若＝12，其中O為坐標原點，則|MN|＝( A )
A．2 B．4
C． D．2
解析 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圓心為(2,3)，
將y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，
整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，
由題設(shè)可得＋8＝12，得k＝1，
所以直線l的方程為y＝x＋1．
故圓心(2,3)恰在直線l上，所以|MN|＝2．
4．已知圓C：(x－)2＋(y－1)2＝1和兩點A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則t的取值范圍是( D )
A．(0,2] B．[1,2]
C．[2,3] D．[1,3]
解析 依題意，設(shè)點P(＋cos θ，1＋sin θ)，
∵∠APB＝90，∴＝0，
∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，
得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，
∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，
∵t＞0，∴t∈[1,3]．
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