(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系講義(含解析).docx
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8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.了解平面的含義,理解空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的定義2.掌握可以作為推理依據(jù)的公理和定理.主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角,題型主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),解題要求有較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯推理能力.1四個公理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行2直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(2)異面直線所成的角定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍:.3直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況4平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況5等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ)概念方法微思考1分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎?提示不一定因?yàn)楫惷嬷本€不同在任何一個平面內(nèi)分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交2空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角一定相等嗎?提示不一定如果這兩個角開口方向一致,則它們相等,若反向則互補(bǔ)題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)如果兩個不重合的平面,有一條公共直線a,就說平面,相交,并記作a.()(2)兩個平面,有一個公共點(diǎn)A,就說,相交于過A點(diǎn)的任意一條直線()(3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn),則這兩個平面重合()(4)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面()(5)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線()(6)若a,b是兩條直線,是兩個平面,且a,b,則a,b是異面直線()題組二教材改編2P52B組T1(2)如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A30B45C60D90答案C解析連接B1D1,D1C,則B1D1EF,故D1B1C即為所求的角又B1D1B1CD1C,B1D1C為等邊三角形,D1B1C60.3P45例2如圖,在三棱錐ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件_時,四邊形EFGH為菱形;(2)當(dāng)AC,BD滿足條件_時,四邊形EFGH為正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四邊形EFGH為菱形,EFEH,ACBD.(2)四邊形EFGH為正方形,EFEH且EFEH,EFAC,EHBD,且EFAC,EHBD,ACBD且ACBD.題組三易錯自糾4是一個平面,m,n是兩條直線,A是一個點(diǎn),若m,n,且Am,A,則m,n的位置關(guān)系不可能是()A垂直B相交C異面D平行答案D解析依題意,mA,n,m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例),一定不平行5.如圖,l,A,B,C,且Cl,直線ABlM,過A,B,C三點(diǎn)的平面記作,則與的交線必通過()A點(diǎn)AB點(diǎn)BC點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD點(diǎn)C和點(diǎn)M答案D解析AB,MAB,M.又l,Ml,M.根據(jù)公理3可知,M在與的交線上同理可知,點(diǎn)C也在與的交線上6.如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的四條線段AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為_答案3解析平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化,則AB,CD,EF和GH在原正方體中,顯然AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行故互為異面的直線有且只有3對題型一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證:(1)E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面;(2)CE,D1F,DA三線共點(diǎn)證明(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.E,F(xiàn)分別是AB,AA1的中點(diǎn),EFBA1.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)EFCD1,EFCD1,CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,如圖所示則由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA,P直線DA,CE,D1F,DA三線共點(diǎn)思維升華共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法:先確定一個平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi);證兩平面重合(2)證明共線的方法:先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練1如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BGGCDHHC12.(1)求證:E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線證明(1)E,F(xiàn)分別為AB,AD的中點(diǎn),EFBD.在BCD中,GHBD,EFGH.E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面(2)EGFHP,PEG,EG平面ABC,P平面ABC.同理P平面ADC.P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)又平面ABC平面ADCAC,PAC,P,A,C三點(diǎn)共線題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系例2(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()Al與l1,l2都不相交Bl與l1,l2都相交Cl至多與l1,l2中的一條相交Dl至少與l1,l2中的一條相交答案D解析由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交故選D.(2)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在A1D,AC上,且A1E2ED,CF2FA,則EF與BD1的位置關(guān)系是()A相交但不垂直B相交且垂直C異面D平行答案D解析連接D1E并延長,與AD交于點(diǎn)M,由A1E2ED,可得M為AD的中點(diǎn),連接BF并延長,交AD于點(diǎn)N,因?yàn)镃F2FA,可得N為AD的中點(diǎn),所以M,N重合,所以EF和BD1共面,且,所以,所以EFBD1.思維升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定異面直線可采用直接法或反證法;平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;垂直關(guān)系往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決跟蹤訓(xùn)練2(1)已知直線a,b分別在兩個不同的平面,內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若直線a和直線b相交,則平面和平面相交;若平面和平面相交,那么直線a和直線b可能平行或異面或相交,故選A.(2)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個結(jié)論:直線AM與CC1是相交直線;直線AM與BN是平行直線;直線BN與MB1是異面直線;直線AM與DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(填序號)答案解析因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故錯;取DD1中點(diǎn)E,連接AE,則BNAE,但AE與AM相交,故錯;因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故正確;同理正確,故填.題型三求兩條異面直線所成的角例3(1)(2018浙江金麗衢聯(lián)考)正四面體ABCD中,E為棱AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作平面BCE的平行平面,該平面與平面ABC、平面ACD的交線分別為l1,l2,則l1,l2所成角的正弦值為()A.B.C.D.答案A解析由題意得BCl1,CEl2,則BCE即為l1與l2所成角設(shè)正四面體的棱長為a,則易得EBECa,設(shè)BC的中點(diǎn)為F,連接EF,則易得EFa,則l1與l2所成角的正弦值為sinBCE,故選A.(2)如圖,把邊長為4的正三角形ABC沿中線AD折起,使得二面角CADE的大小為60,則異面直線AC與DE所成角的余弦值為()AB.CD.答案B解析如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接DF,EF,因?yàn)镈,F(xiàn)分別是線段BC,AB的中點(diǎn),所以DFAC,所以EDF(或其補(bǔ)角)是異面直線AC與DE所成的角由正三角形的性質(zhì)可得ADBC,所以CDE就是二面角CADE的平面角,所以CDE60.又CDDE,所以CDE是正三角形作EGCD,垂足為G,作FHBD,垂足為H,連接EH,易知EGDEsin602,DGDEcos6021,DHBD21,HGDHDG2,F(xiàn)HADAC4.由勾股定理,得EH,EF.在EDF中,由余弦定理,得cosEDF,所以異面直線AC與DE所成角的余弦值為,故選B.思維升華用平移法求異面直線所成的角的三個步驟(1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;(2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角;(3)三求:解三角形,求出所作的角跟蹤訓(xùn)練3(2018全國)在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案C解析方法一如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B,由長方體性質(zhì)可知,B1BAD1,所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角連接DB,由題意,得DB,BB12,DB1.在DBB1中,由余弦定理,得DB2BBDB2BB1DB1cosDB1B,即54522cosDB1B,cosDB1B.故選C.方法二如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由題意,得A(1,0,0),D(0,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),(1,0,),(1,1,),1101()22,|2,|,cos,.故選C.立體幾何中的線面位置關(guān)系直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問題例如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BCAD且BCAD,BEFA且BEFA,G,H分別為FA,F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)是否共面?為什么?(1)證明由已知FGGA,F(xiàn)HHD,可得GHAD且GHAD.又BCAD且BCAD,GHBC且GHBC,四邊形BCHG為平行四邊形(2)解BEAF且BEAF,G為FA的中點(diǎn),BEFG且BEFG,四邊形BEFG為平行四邊形,EFBG.由(1)知BGCH.EFCH,EF與CH共面又DFH,C,D,F(xiàn),E四點(diǎn)共面素養(yǎng)提升平面幾何和立體幾何在點(diǎn)線面的位置關(guān)系中有很多的不同,借助確定的幾何模型,利用直觀想象討論點(diǎn)線面關(guān)系在平面和空間中的差異1四條線段順次首尾相連,它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為()A4B3C2D1答案A解析首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面,所以最多可以確定四個平面2(2018湖州模擬)a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個命題中,真命題是()A若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面B若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交C若ab,則a,b與c所成的角相等D若ab,bc,則ac答案C解析若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若ab,bc,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確故選C.3如圖所示,平面平面l,A,B,ABlD,C,Cl,則平面ABC與平面的交線是()A直線ACB直線ABC直線CDD直線BC答案C解析由題意知,Dl,l,所以D,又因?yàn)镈AB,所以D平面ABC,所以點(diǎn)D在平面ABC與平面的交線上又因?yàn)镃平面ABC,C,所以點(diǎn)C在平面與平面ABC的交線上,所以平面ABC平面CD.4.如圖所示,ABCDA1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確是()AA,M,O三點(diǎn)共線BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面DB,B1,O,M共面答案A解析連接A1C1,AC,則A1C1AC,A1,C1,A,C四點(diǎn)共面,A1C平面ACC1A1,MA1C,M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理A,O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上A,M,O三點(diǎn)共線5(2018紹興質(zhì)檢)如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1AB,E,F(xiàn)分別為BC,BB1的中點(diǎn),M,N分別為AA1,A1C1的中點(diǎn),則直線MN與EF所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案B解析方法一如圖,在原三棱柱的上方,再放一個完全一樣的三棱柱,連接AC1,CB1,C1B,易得MNAC1,EFCB1C1B,那么AC1B的補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角設(shè)AA1ABa,則AC1C1Ba,連接AB,則AB3a,由余弦定理得cosAC1B,故直線MN與EF所成角的余弦值為.方法二如圖,連接AC1,C1B,CB1,設(shè)C1B與CB1交于點(diǎn)O,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,OD,則MNAC1OD,EFCB1,那么DOC即直線MN與EF所成的角,設(shè)AA1ABa,則AC1CB1a,于是ODOC,又CD,于是OCD為正三角形,故直線MN與EF所成角的余弦值為.6.(2018衢州質(zhì)檢)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為線段A1C1的中點(diǎn),則異面直線DE與B1C所成角的大小為()A.B.C.D.答案C解析連接AC,BD,B1E,設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O,連接B1O,則四邊形DOB1E為平行四邊形,所以DEOB1,所以異面直線DE與B1C所成角為OB1C,設(shè)正方體棱長為1,則B1C,OC,B1O,所以cosOB1C.又因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是,所以O(shè)B1C.7給出下列命題,其中正確的命題為_(填序號)如果線段AB在平面內(nèi),那么直線AB在平面內(nèi);兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點(diǎn)A,B,C;若三條直線a,b,c互相平行且分別交直線l于A,B,C三點(diǎn),則這四條直線共面;若三條直線兩兩相交,則這三條直線共面;兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形答案8在三棱錐SABC中,G1,G2分別是SAB和SAC的重心,則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是_答案平行解析如圖所示,連接SG1并延長交AB于M,連接SG2并延長交AC于N,連接MN.由題意知SM為SAB的中線,且SG1SM,SN為SAC的中線,且SG2SN,在SMN中,G1G2MN,易知MN是ABC的中位線,MNBC,G1G2BC.9.如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_答案解析取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD,因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),所以ADBC,所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D垂直于圓柱下底面,所以C1DAD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1DAD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.10.如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點(diǎn),在這個正四面體中,GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60角;DE與MN垂直以上四個命題中,正確命題的序號是_答案解析還原成正四面體ADEF,其中H與N重合,A,B,C三點(diǎn)重合易知GH與EF異面,BD與MN異面連接GM,GMH為等邊三角形,GH與MN成60角,易證DEAF,又MNAF,MNDE.因此正確命題的序號是.11.如圖所示,A是BCD所在平面外的一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn)(1)求證:直線EF與BD是異面直線;(2)若ACBD,ACBD,求EF與BD所成的角(1)證明假設(shè)EF與BD不是異面直線,則EF與BD共面,從而DF與BE共面,即AD與BC共面,所以A,B,C,D在同一平面內(nèi),這與A是BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線(2)解取CD的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,則ACFG,EGBD,所以相交直線EF與EG所成的角,即為異面直線EF與BD所成的角又因?yàn)锳CBD,則FGEG.在RtEGF中,由EGFGAC,求得FEG45,即異面直線EF與BD所成的角為45.12.如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,D是PC的中點(diǎn)已知BAC,AB2,AC2,PA2.求:(1)三棱錐PABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解(1)SABC222,三棱錐PABC的體積為VSABCPA22.(2)如圖,取PB的中點(diǎn)E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD2,cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.13若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1l2,l2l3,l3l4,則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,記l1DD1,l2DC,l3DA.若l4AA1,滿足l1l2,l2l3,l3l4,此時l1l4,可以排除選項(xiàng)A和C.若取C1D為l4,則l1與l4相交;若取BA為l4,則l1與l4異面;若取C1D1為l4,則l1與l4相交且垂直因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定14平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為()A.B.C.D.答案A解析如圖所示,設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1,平面CB1D1,則m1m,又平面ABCD平面A1B1C1D1,平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1,B1D1m1,B1D1m,同理可得CD1n.故m,n所成角的大小與B1D1,CD1所成角的大小相等,即CD1B1的大小又B1CB1D1CD1(均為面對角線),CD1B1,得sinCD1B1,故選A.15(2018浙江省杭州市七校聯(lián)考)如圖,在RtABC中,BAC60,點(diǎn)F在斜邊AB上,且AB4AF,點(diǎn)M在線段BC上運(yùn)動,D,E是平面ABC同一側(cè)的兩點(diǎn),AD平面ABC,BE平面ABC,AD3,ACBE4.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到線段BC的中點(diǎn)時,異面直線CF與EM所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案A解析取BF的中點(diǎn)N,連接MN,EN,因?yàn)镸,N分別為BC,BF的中點(diǎn),所以MNCF,且MNCF,所以EMN為異面直線CF與EM所成的角.因?yàn)锳C4,BAC60,ACB90,所以BC4,BM2,所以EM2.因?yàn)锳C4,BAC60,ACB90,所以AB8,所以AFAB2,BFAB6,所以BN3,所以EN5.在ACF中,由余弦定理得CF2,所以MN.在EMN中,由余弦定理可得cosEMN,所以異面直線CF與EM所成角的余弦值為.故選A.16(2018浙江省金華名校統(tǒng)考)如圖,在三棱錐ABCD中,平面ABC平面BCD,BAC與BCD均為等腰直角三角形,且BACBCD90,BC2.P是線段AB上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若線段CD上存在點(diǎn)Q,使得異面直線PQ與AC成30的角,則線段PA長度的取值范圍是()A.B.C.D.答案B解析方法一由已知得CBCD,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,的方向?yàn)閥軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,根據(jù)題意,得A(0,1,1),B(0,2,0),D(2,0,0)令(0,1),(0,1),則(0,),(2,0,0),(2,1,1),cos,整理得32621,顯然321,而(0,1),|(0,)|,故選B.方法二如圖,將題圖中的三棱錐補(bǔ)全為一個長方體,在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)P作AB的垂線交CE于點(diǎn)R.因?yàn)锳CAB,PRAB,所以ACPR,因而RPQ即為異面直線PQ與AC所成的角,所以RPQ30.設(shè)APx,則CRx,在RtPQR中,求得PR,所以RQ.在RtCRQ中,CQ(0,2),故0x2,解得x,故選B.- 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- 浙江專用2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系講義含解析 浙江 專用 2020 高考 數(shù)學(xué) 新增 一輪 復(fù)習(xí) 第八 立體幾何 空間
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