（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第五章 三角函數(shù)、解三角形 5.6 正弦定理和余弦定理講義（含解析）.docx

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5.6正弦定理和余弦定理最新考綱考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用.以利用正弦、余弦定理解三角形為主，常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計(jì)算交匯考查，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)題型多樣，中檔難度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC變形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2.在ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinAab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由AB可推出sinAsinB.2如圖，在ABC中，有如下結(jié)論：bcosCccosBa.試類比寫出另外兩個(gè)式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比()(2)當(dāng)b2c2a20時(shí)，三角形ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積()題組二教材改編2P10B組T2在ABC中，acosAbcosB，則這個(gè)三角形的形狀為答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC中，A60，AC4，BC2，則ABC的面積為答案2解析，sinB1，B90，AB2，SABC222.題組三易錯(cuò)自糾4在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cbcosA，則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinB0，cosB1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在6設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，則C.答案解析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又因?yàn)閎c2a，所以ab，cb，所以cosC.因?yàn)镃(0，)，所以C.題型一利用正、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因?yàn)锽(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因?yàn)閍c，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思維升華 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練1(1)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，則A等于()A.B.C.D.答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，bc，a22b2(1cosA)，又a22b2(1sinA)，cosAsinA，tanA1，A(0，)，A，故選C.(2)(2018浙江金華一中月考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a2，C，tanA，則sinA，b.答案4解析因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角，tanA，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sinA(舍負(fù))又在ABC中，由正弦定理得，解得c5，則在ABC中，由余弦定理得a2b2c22abcosC，即(2)2b25222bcos，解得b4(負(fù)舍)題型二和三角形面積有關(guān)的問題例2(2016浙江)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bc2acosB.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小(1)證明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，所以CB.當(dāng)BC時(shí)，A；當(dāng)CB時(shí)，A.綜上，A或A.思維升華 (1)對(duì)于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練2(1)若AB2，ACBC，則SABC的最大值為()A2B.C.D3答案A解析設(shè)BCx，則ACx.根據(jù)三角形的面積公式，得SABCABBCsinBx.根據(jù)余弦定理，得cosB.將代入，得SABCx.由三角形的三邊關(guān)系，得解得22x0，所以a2b2c2或ab，故選D.引申探究1本例(2)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判斷ABC的形狀解a2b2c2ab，cosC，又0C0)又BD，DAB，所以由余弦定理，得()2(3k)2(2k)223k2kcos，解得k1，所以AD2，AB3，sinABD.(2)因?yàn)锳BBC，所以cosDBCsinABD，所以sinDBC，所以，所以CD.命題點(diǎn)3解三角形的實(shí)際應(yīng)用例5(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高AD是60m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m答案C解析如圖，在RtACD中，CAD903060，AD60m，所以CDADtan6060(m)在RtABD中，BAD907515，所以BDADtan1560(2)(m)所以BCCDBD6060(2)120(1)(m)(2)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且BAC135，若山高AD100m，汽車從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，則這輛汽車的速度約為m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236)答案22.6解析因?yàn)樾∶髟贏處測得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以BAD60，CAD45，設(shè)這輛汽車的速度為vm/s，則BC14v，在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，所以v22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.思維升華 (1)判斷三角形形狀的方法化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論(2)求解幾何計(jì)算問題要注意：根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示；選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理(3)在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)(4)三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題跟蹤訓(xùn)練3(1)在ABC中，cos2(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為()A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cosB)cac，acosBc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC為直角三角形(2)在平面四邊形ABCD中，ABC75，BC2，則AB的取值范圍是答案(，)解析如圖所示，延長BA與CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CFAD交AB于點(diǎn)F，則BFABBE.在等腰三角形CBF中，F(xiàn)CB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB0)，如果三角形有解，則角A的取值范圍是()A0A60B0A30C0A90D30A0，且當(dāng)AB與圓C相切時(shí)，角A取得最大值，此時(shí)ABBC，則sinA，又因?yàn)閍b，所以角A為銳角，所以角A的最大值為60，綜上所述，角A的取值范圍為0A60，故選A.3(2018金華十校模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B30，ABC的面積為，且sinAsinC2sinB，則b的值為()A42B42C.1D.1答案D解析在ABC中，由sinAsinC2sinB結(jié)合正弦定理得ac2b，ABC的面積為acsinBac，解得ac6，則在ABC中，由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB(2b)2(2)6，解得b1，故選D.4在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知三個(gè)向量m，n，p共線，則ABC的形狀為()A等邊三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案A解析向量m，n共線，acosbcos.由正弦定理得sinAcossinBcos.2sincoscos2sincoscos.則sinsin.0，0，即AB.同理可得BC.ABC的形狀為等邊三角形故選A.5已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，則ABC的外接圓面積為()A4B8C9D36答案C解析cbcosAacosB2，由cosC，得sinC，再由正弦定理可得2R6，R3，所以ABC的外接圓面積為R29，故選C.6(2018浙東北聯(lián)盟期中考試)在200m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30，60，則塔高為()A.mB.mC.mD.m答案A解析設(shè)山頂為A，塔底為C，塔頂為D，過點(diǎn)A作CD的垂線，交CD的延長線于點(diǎn)B(圖略)，則易得AB，BDABtan30tan30(m)，所以CDBCBD200(m)，故選A.7在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為答案或解析由余弦定理，得cosB，結(jié)合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.8(2019臺(tái)州調(diào)研)為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)如圖所示，且BD180，則AC的長為km.答案7解析在ABC中，由余弦定理得AC28252285cosB，在ACD中，由余弦定理得AC23252235cosD，由cosDcosB并消去AC2得cosB，所以AC7.9ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.則SABCbcsinA221.10(2018諸暨模擬)如圖，已知ABC中，AB8，AC5，BC7，AB的中垂線交BC于點(diǎn)D，則BD，ADC的面積等于答案解析記AB的中點(diǎn)為E，在ABC中，由余弦定理得cosB，sinB，SABCABBCsinB10；在RtBDE中，BEAB4，cosB，因此BD，SABDSABC，SADCSABC.11(2018寧波模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知3asin Cccos A.(1)求sinA的值；(2)若B，ABC的面積為9，求a的值解(1)因?yàn)?asinCccosA，所以3sinAsinCsinCcosA，又因?yàn)閟inC0，所以tanA，A(0，)，所以sinA.(2)由(1)知，cosA，sinCsin(AB)sin.由正弦定理得，c2a，因?yàn)镾ABCacsinBa2aa29，所以a3.12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC邊上的高解(1)在ABC中，因?yàn)閏osB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由題設(shè)知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因?yàn)閟inCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC邊上的高為asinC7.13在ABC中，a2b2c22absinC，則ABC的形狀是()A不等腰的直角三角形B等腰直角三角形C鈍角三角形D正三角形答案D解析易知a2b2c2a2b2a2b22abcosC2absinC，即a2b22absin，由于a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，所以2absin2ab，sin1，故只能ab且C，所以ABC為正三角形14已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，a3，則ABC的周長的最大值為()A2B6C.D9答案D解析a2b2c2bc，bcb2c2a2，cosA，A(0，)，A.a3，由正弦定理得2，b2sinB，c2sinC，則abc32sinB2sinC32sinB2sin33sinB3cosB36sin，B，當(dāng)B時(shí)周長取得最大值9.15(2018舟山中學(xué)模擬)已知銳角A是ABC的一個(gè)內(nèi)角，a，b，c是三角形中各角的對(duì)應(yīng)邊，若sin2Acos2A，則下列各式正確的是()Abc2aBbc2aCbc2aDbc2a答案C解析由sin2Acos2A得cos2Asin2A，則cos2A，又A，2A，A，BC，在ABC中，由正弦定理得，而sinBsinCsinBsinsinBcosBsinBsin.又0B，B，sin1，即sinBsinC，而a(bc)(bc)，即2abc，故選C.16(2018諸暨調(diào)研)在直角ABC中，A，B，點(diǎn)P在ABC內(nèi)，APC，BPC，設(shè)PCA，求tan的值解由題意知ACBC，PBCPCA，PCBCsin，又APC，PAC，在APC中，由正弦定理得，即2，化簡得2sincos，易知cos0，tan.