2019高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題1 三角函數(shù)、解三角形 第2講 解三角形學(xué)案 文.doc
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第2講 解三角形 高考統(tǒng)計(jì)定方向 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：利用正、余弦定理解三角形 2018全國(guó)卷ⅠT16；2018全國(guó)卷ⅡT7；2018全國(guó)卷ⅢT11 2017全國(guó)卷ⅠT11；2017全國(guó)卷ⅡT16；2017全國(guó)卷ⅢT15 2016全國(guó)卷ⅠT4；2016全國(guó)卷ⅡT15；2015全國(guó)卷ⅠT17 1.高考對(duì)此部分的考查為“一小”或“一大”，近三年高考以“一小”為主. 2.小題出現(xiàn)在4－11或15－16題的位置上，有成為壓軸小題的趨勢(shì). 題型2：正、余弦定理的綜合應(yīng)用 2016全國(guó)卷ⅢT9；2015全國(guó)卷ⅡT17；2014全國(guó)卷ⅠT16 2014全國(guó)卷ⅡT17 3.解答題重點(diǎn)考查解三角形問(wèn)題，出現(xiàn)在第17題位置上，難度中等. 題型1 利用正、余弦定理解三角形 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備 1．正弦定理及其變形 在△ABC中，＝＝＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其變形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A. 變形：cos A＝，b2＋c2－a2＝2bccos A. 3．三角形面積公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. ■高考考法示例 ?角度一 求解三角形中的邊角問(wèn)題 【例1－1】 (2016全國(guó)卷Ⅱ)(1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. [在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] (2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知 asin A＋csin C－asin C＝bsin B. ①求B； ②若A＝75，b＝2，求a，c. [解] ①由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B. 故cos B＝，因此B＝45. ②sin A＝sin(30＋45) ＝sin 30cos 45＋cos 30sin 45 ＝. 故a＝b＝＝1＋. c＝b＝2＝. ?角度二 與三角形有關(guān)的面積問(wèn)題 【例1－2】 (1)(2018全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_______． [由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，得sinBsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因?yàn)閟in Bsin C≠0，所以sin A＝.因?yàn)閎2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝＝.] (2)(2018溫州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2. ①求tan C的值； ②若△ABC的面積為3，求b的值； [解] ①由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C， ∴－cos 2B＝sin2C，又由A＝，即B＋C＝，得 －cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，解得tan C＝2； ②由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝， 又∵sin B＝sin(A＋C)＝sin，∴sin B＝，由正弦定理得c＝b， 又∵A＝，bcsin A＝3，∴bc＝6，故b＝3. [方法歸納] 1．關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有b2＋c2和bc兩項(xiàng)，二者的關(guān)系b2＋c2＝(b＋c)2－2bc經(jīng)常用到． (教師備選) △ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC面積的最大值． [解] (1)由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)△ABC的面積S＝acsin B＝ac. 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，等號(hào)成立． 因此△ABC面積的最大值為＋1. ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練 1．(2018全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝( ) A．4 B. C. D．2 A [因?yàn)閏os ＝，所以cos C＝2cos2 －1＝22－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos C＝52＋12－251－＝32，所以AB＝4.故選A.] 2．(2018紹興模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大??； (2)若sin A＝，求△ABC的面積． [解] (1)由題意得，－＝sin 2A－sin 2B， 即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B， sin＝sin，由a≠b得，A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－＋2B－＝π，即A＋B＝，所以C＝； (2)由c＝，sin A＝，＝得a＝，由a＜c，得A＜C，從而cos A＝，故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，所以△ABC的面積為S＝acsin B＝. 題型2 正、余弦定理的綜合應(yīng)用 全國(guó)卷考查解三角形問(wèn)題常與平面幾何交匯，題目中經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)的幾何元素如高、角平分線、線段的垂直平分線、三角形內(nèi)切圓等；地方卷常與平面向量交匯考查，解三角形還常與不等式，三角函數(shù)的性質(zhì)交匯命題． ■高考考法示例 【例2】 (1)(2016全國(guó)卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝( ) A. B. C. D. (2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且tan B＝，＝，則tan B等于( ) A. B.－1 C．2 D．2－ (3)如圖214，山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ABC＝120；從B處攀登400米到達(dá)D處，回頭看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角∠ADC＝150；從D處再攀登800米方到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______米． 圖214 (1)D (2) D (3)400 [(1)如圖，AD為△ABC中BC邊上的高． 設(shè)BC＝a，由題意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a. 在Rt△ABD中，由勾股定理得， AB＝＝a. 同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a. ∵S△ABC＝ABACsin∠BAC＝BCAD， ∴aasin∠BAC＝aa， ∴sin∠BAC＝＝. 由＝得accos B＝，則cos B＝，又cos B＝，因此＝，即a2＋c2－b2＝1，故tan B＝2－. (3)如題圖，在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120. ∵∠ADC＝150，∴∠ADB＝30，∴∠DAB＝180－120－30＝30 由正弦定理，可得＝. ∴＝，得AD＝400(米)． 在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2ADCDcos∠ADC＝(400)2＋8002－2400800cos 150＝400213，解得AC＝400(米)．故索道AC的長(zhǎng)為400米．] [方法歸納] 1．求解與三角形相關(guān)的平面幾何問(wèn)題的策略 一般先將所給的圖形拆分成若干個(gè)三角形，根據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序，再根據(jù)各個(gè)三角形之間的關(guān)系，交叉使用公共條件，求得結(jié)果，同時(shí)注意相關(guān)平面幾何知識(shí)的應(yīng)用． 2．求解三角形與平面向量交匯問(wèn)題的策略 利用解三角形的知識(shí)解決平面向量問(wèn)題是高考在知識(shí)的交匯處命制試題的一個(gè)熱點(diǎn)．解決這類試題的基本方法是根據(jù)正、余弦定理求出平面向量的模和夾角，從而達(dá)到利用解三角形求解平面向量數(shù)量積的目的． ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練 1．(2018長(zhǎng)春模擬)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______． [由a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，故(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，又根據(jù)正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，化簡(jiǎn)得，b2＋c2－a2＝bc， 故cos A＝＝，所以A＝60，又b2＋c2－bc＝4≥bc，故S△BAC＝bcsin A≤.] 2．(2017山東高考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b＝3，＝－6，S△ABC＝3，求A和a. [解] 因?yàn)椋剑?，所以bccos A＝－6. 又S△ABC＝3，所以bcsin A＝6. 因此tan A＝－1. 又0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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