2018-2019學年高中數(shù)學 第一講 相似三角形的判定及有關性質 四 直角三角形的射影定理學案 新人教A版選修4-1.docx
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四 直角三角形的射影定理 [學習目標] 1.通過實踐，結合生活中的實例，理解點在直線上的正射影，線段在直線上的正射影的概念. 2.理解射影定理，能應用定理解決相關的幾何問題. [知識鏈接] 已知：如圖，∠ACB＝90，CD⊥AB于D. (1)圖中有幾條線段？ (2)圖中有幾對相似三角形？可寫出幾組比例式？ (3)有幾個帶有比例中項的比例式？由上可得到哪些等積式？ 提示 (1)6條，分別記為AB，AC，BC，CD，AD，BD. (2)由圖中△ACD∽△CBD∽△ABC，可分別寫出三組比例式：＝＝；＝＝；＝＝. (3)只有三個比例中項的表達式： ＝，＝，＝. 可得到等積式：CD2＝ADBD，BC2＝BDBA，AC2＝ADAB. [預習導引] 1.射影 從一點向一直線所引垂線的垂足，叫作這個點在這條直線上的正射影.一條線段的兩個端點在一條直線上的正射影之間的線段，叫作這條線段在這條直線上的正射影.點和線段的正射影簡稱為射影. 2.射影定理 文字語言 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項；兩條直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項 符號語言 在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，則CD2＝BDAD；AC2＝ADAB；BC2＝BDBA 圖形語言 作用 確定成比例的線段 要點一 射影的概念 例1 如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90， ∠BCD＝60，AD＝1，AB＝2.求： (1)線段AD在直線BC上的射影長； (2)線段DC在直線BC上的射影長； (3)線段BC在直線DC上的射影長. 解 (1)過D作DD1⊥BC于D1，則BD1就是線段AD在直線BC上的射影，如圖所示， ∵四邊形ABD1D為矩形，∴BD1＝AD＝1， ∴線段AD在直線BC上的射影長為1. (2)由(1)的作圖知，D1C即為線段DC在直線BC上的射影.∵DD1＝AB＝2，∠DCB＝60， ∴D1C＝＝＝. ∴線段DC在直線BC上的射影長為. (3)過B作BB1⊥DC于B1，則B1C就是線段BC在直線DC上的射影，如圖所示. ∵BC＝BD1＋D1C＝1＋， ∴B1C＝BCcos 60＝＝＋. ∴線段BC在直線DC上的射影長為＋. 規(guī)律方法 (1)射影實質上就是平行投影. (2)當線段AB所在直線與直線l平行時，設其在l上的射影為A1B1，則有AB＝A1B1，如圖(1)所示 ；當線段AB所在直線與直線l不平行且不垂直時，設其在l上的射影為A1B1，則有AB>A1B1，如圖(2)所示；當線段AB與直線l垂直時，線段AB在l上的射影是一個點A1，如圖(3)所示. 跟蹤演練1 如圖所示，AD⊥BC，EF⊥BC，指出點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G和線段AB，AC，AF，F(xiàn)G在直線BC上的射影. 解 由AD⊥BC，EF⊥BC知：A在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C；E，F(xiàn)，G在BC上的射影都是E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，F(xiàn)G在BC上的射影是點E. 要點二 與射影定理有關的計算問題 例2 如圖，D為△ABC中BC邊上的一點，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的長. 解 在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，滿足AB2＝AD2＋BD2，∴∠ADB＝90，即AD⊥BC.又∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90，∴∠C＋∠B＝90. ∴∠BAC＝90.∴在Rt△BAC中，AD⊥BC，由射影定理可知，AD2＝BDCD， ∴62＝8CD，∴CD＝. 規(guī)律方法 (1)已知三角形是直角三角形，或者有直角、垂線等，這是在直角三角形中應用射影定理必需的條件. (2)運用射影定理進行相關計算時，常常還要與直角三角形的其他性質相結合，如三角函數(shù)、面積公式、勾股定理等. 跟蹤演練2 如圖所示，△ABC中，AB＝m，∠A∶∠B∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于D.求BD，CD的長. 解 設∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x，由∠A＋∠B＋∠ACB＝180，得x＋2x＋3x＝180，∴x＝30. ∴∠A＝30，∠B＝60，∠ACB＝90. ∵AB＝m，∴BC＝m. 又∵CD⊥AB，∴BC2＝BDAB， 即＝BDm，∴BD＝m. ∴AD＝AB－BD＝m－m＝m. 由CD2＝ADBD＝mm＝m2，得CD＝m. ∴BD＝m，CD＝m. 要點三 與射影定理有關的證明問題 例3 如圖，已知在矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶6，點E在BC上，點F在CD上，EC＝BC，F(xiàn)C＝CD，F(xiàn)G⊥AE于點G.求證：AG＝4GE. 證明 ∵AB∶BC＝5∶6， ∴設AB＝5k，BC＝6k(k>0). ∴在矩形ABCD中，有CD＝AB＝5k，BC＝AD＝6k，∠B＝∠C＝∠D＝90. ∵EC＝BC， ∴EC＝6k＝k.∴BE＝5k. ∵FC＝CD，∴FC＝5k＝3k. ∴DF＝CD－FC＝2k. 在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2＝AD2＋DF2＝36k2＋4k2＝40k2， 同理可得AE2＝50k2，EF2＝10k2. ∴AF2＋EF2＝40k2＋10k2＝50k2＝AE2. ∴△AEF是直角三角形. ∵FG⊥AE，由直角三角形的射影定理， 得EF2＝GEAE. ∴AE＝5k，∴GE＝＝＝k. ∴4GE＝4k. 又∵AG＝AE－GE＝5k－k＝4k， ∴AG＝4GE. 規(guī)律方法 ①判斷兩線段的數(shù)量關系時，可設變量使之能表示線段，②在直角三角形中，一般考慮利用射影定理或勾股定理來做. 跟蹤演練3 如圖所示，BD，CE是△ABC的兩條高，過點D的直線分別交BC和BA的延長線于G，H兩點，交CE于F，且∠H＝∠BCF.求證：GD2＝GFGH. 證明 ∵∠H＝∠BCE，∠HBG是△BCE與△BHG的公共角， ∴△BCE∽△BHG. 又CE⊥BH，∴∠BEC＝∠BGH＝90， 即HG⊥BC.又BD⊥AC，在Rt△BDC中， DG是斜邊BC上的高， 由射影定理得GD2＝BGCG.① 又∠FGC＝∠BGH＝90，∠H＝∠FCG， ∴△FCG∽△BHG，∴＝. 即BGCG＝FGGH.② 由①②可得GD2＝GFGH. 1.(1)點在直線上的射影就是由點向直線引垂線，垂足即為射影； (2)線段在直線上的射影就是由線段的兩端點向直線引垂線，兩垂足間的線段就是所求射影. 2.應用射影定理有兩個條件：一是直角三角形；二是斜邊上的高.應用射影定理可求直角三角形的邊長、面積等有關量，還可研究相似問題、比例式等問題. 3.直角三角形射影定理的逆定理 如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的比例中項，那么這個三角形是直角三角形. 1.在直角三角形ABC中，斜邊AB＝5 cm，BC＝2 cm，D為AC上一點，DE⊥AB于點E，且AD＝3.2 cm，則DE等于( ) A.1.24 cm B.1.26 cm C.1.28 cm D.1.3 cm 解析 由已知△ADE∽△ABC， ∴＝，∴DE＝＝1.28. 答案 C 2.如圖所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，在圖中的六條線段中，你認為只要知道幾條線段的長，就可以求出其他線段的長( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 圖中所有三角形都是直角三角形，由勾股定理，射影定理，可知只需知道兩條線段的長，就可以求出其他線段的長. 答案 B 3.如圖所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE＝∠CDE，則∠EDB＝________. 解析 由已知△ADE∽△DBA， ∴∠ADE＝∠ABD＝∠BDC， 且∠ADE＝∠CDE， ∴∠EDB＝∠ADC＝45. 答案 45 4.已知線段a，b(a
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