2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題4 統(tǒng)計(jì)與概率 第1講 小題考法——統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率學(xué)案.doc

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第1講　小題考法——統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率 一、主干知識(shí)要記牢 1．概率的計(jì)算公式 (1)古典概型的概率計(jì)算公式 P(A)＝； (2)互斥事件的概率計(jì)算公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式：P()＝1－P(A)； (4)幾何概型的概率計(jì)算公式 P(A)＝． 2．抽樣方法 (1)三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單 隨機(jī) 抽樣 是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等 從總體中 逐個(gè)抽取 總體中的 個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取 在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)數(shù)比較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或者系統(tǒng)抽樣 總體由差異 明顯的幾部 分組成__ (2)分層抽樣中公式的運(yùn)用 ①抽樣比＝＝； ②層1的數(shù)量∶層2的數(shù)量∶層3的數(shù)量＝樣本1的容量∶樣本2的容量∶樣本3的容量． 3．用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 定義 特點(diǎn) 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，不受極端值的影響，而且不唯一 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 中位數(shù)不受極端值的影響，僅利用了排在中間數(shù)據(jù)的信息，只有一個(gè) 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，只有一個(gè) (2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大?。? ①方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]； ②標(biāo)準(zhǔn)差：s＝ ]． 二、二級(jí)結(jié)論要用好 1．頻率分布直方圖的3個(gè)結(jié)論 (1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距＝頻率． (2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1． (3)小長(zhǎng)方形的高＝，所有小長(zhǎng)方形高的和為． 2．與平均數(shù)和方差有關(guān)的4個(gè)結(jié)論 (1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a； (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變； (3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2； (4)s2＝(xi－)2＝－2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． 求s2時(shí)，可根據(jù)題目的具體情況，結(jié)合題目給出的參考數(shù)據(jù)，靈活選用公式形式． 3．線性回歸方程 線性回歸方程＝x＋一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)． 三、易錯(cuò)易混要明了 1．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和． 2．正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件． 3．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò)． 4．在求解幾何概型的概率時(shí)，要注意分清幾何概型的類別(體積型、面積型、長(zhǎng)度型、角度型等). 考點(diǎn)一　用樣本估計(jì)總體 1．方差的計(jì)算與含義 (1)計(jì)算：計(jì)算方差首先要計(jì)算平均數(shù)，然后再按照方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算． (2)含義：方差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差大說(shuō)明波動(dòng)大． 2．與頻率分布直方圖有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． 1．(2017全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　A　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) 解析　對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確．故選A． 2．(2018齊齊哈爾二模)某高校調(diào)查了320名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了下圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)直方圖，這320名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不足22.5小時(shí)的人數(shù)是(　B　) A．68 B．72 C．76 D．80 解析　由頻率分布直方圖可得，320名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不足22.5小時(shí)的人數(shù)是320(0.02＋0.07)2.5＝72人．選B． 3．某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是(　D　) A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè) 解析　由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；七月的平均溫差約為10℃，而一月的平均溫差約為5 ℃，B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10℃左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20℃的月份有2個(gè)，故D錯(cuò)誤． 　 4．(2018南充三聯(lián))為了從甲、乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，老師將二人最近的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩人的得分情況如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績(jī)分別是x甲，x乙，則下列說(shuō)法正確的是(　D　) A．x甲＞x乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽 B．x甲＞x乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽 C．x甲＜x乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽 D．x甲＜x乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽 解析　由莖葉圖知， 甲的平均成績(jī)是＝82， 乙的平均成績(jī)是＝87， 所以乙的平均成績(jī)大于甲的平均成績(jī)，從莖葉圖看出乙的成績(jī)穩(wěn)定，故選D． 考點(diǎn)二　變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 求回歸直線方程的關(guān)鍵及實(shí)際應(yīng)用 (1)求回歸直線方程的關(guān)鍵是正確理解，的計(jì)算公式和準(zhǔn)確地求解． (2)在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值． 1．(2018永州三模)黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能．共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象．為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是(　D　) 解析　根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D． 2．已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 70 根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為＝6.5x＋17.5，則表中m的值為(　D　) A．45 B．50 C．55 D．60 解析?。剑?， ＝＝． ∵當(dāng)＝5時(shí)，＝6.55＋17.5＝50， ∴＝50，解得m＝60． 3．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考慮兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系時(shí)，通過(guò)查閱下表來(lái)確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>3.841，那么有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為(　D　) P(K2>k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 P(K2>k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．5% B．75% C．99.5% D．95% 解析　由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)k>3.841時(shí)，有0.05的機(jī)率說(shuō)明這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的機(jī)率，也就是有95%的把握認(rèn)為變量之間有關(guān)系，故選D． 考點(diǎn)三　古典概型與幾何概型 1．利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn) (1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)． (2)對(duì)于較復(fù)雜的題目條件計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏． 2．幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵 (1)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解． (2)求解關(guān)鍵是尋找構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． 1．(2018攀枝花一模)中國(guó)人民銀行發(fā)行了2018中國(guó)戊戌(狗)年金銀紀(jì)念幣一套，如圖所示是一枚3克圓形金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑18 mm，某同學(xué)為了算圖中裝飾狗的面積．他用1枚針向紀(jì)念幣上投擲500次，其中針尖恰有150次落在裝飾狗的身體上，據(jù)此可估計(jì)裝飾狗的面積大約是(　C　) A． mm2 B． mm2 C． mm2 D． mm2 解析　由題意得，紀(jì)念幣的面積為S＝π2＝81π，設(shè)裝飾狗的面積為S1，則＝，所以S1＝S＝81π＝ mm2，故選C． 2．(2018菏澤二模)甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為(　A　) A． B． C． D． 解析　甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種有9種不同的結(jié)果，分別為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，紅)，(白，白)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，紅)，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，藍(lán))．他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服有3種不同的結(jié)果，即(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，故他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為＝，故選A． 3．(2018延安二模)某廣播電臺(tái)只在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞，時(shí)長(zhǎng)均為5分鐘，則一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽(tīng)該電臺(tái)，能聽(tīng)到新聞的概率是____． 解析　由題意知這是一個(gè)幾何概型，∵電臺(tái)在每小時(shí)的整點(diǎn)和半點(diǎn)開始播送新聞，∴事件總數(shù)包含的時(shí)間長(zhǎng)度是30，∵時(shí)長(zhǎng)均為5分鐘，∴一個(gè)人在不知道時(shí)間的情況下打開收音機(jī)收聽(tīng)該電臺(tái)，能聽(tīng)到新聞的概率是P＝．