2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 解三角形 1.1.1 正弦定理學(xué)案 新人教B版必修5.doc
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1.1.1 正弦定理 1.掌握正弦定理及基本應(yīng)用.(重點(diǎn)) 2.會(huì)判斷三角形的形狀.(難點(diǎn)) 3.能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個(gè)數(shù).(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)) [基礎(chǔ)初探] 教材整理1 正弦定理 閱讀教材P3~P4例1以上內(nèi)容,完成下列問(wèn)題. 判斷(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”) (1)正弦定理不適用于鈍角三角形.( ) (2)在△ABC中,等式bsin A=asin B總能成立.( ) (3)在△ABC中,若sin A=sin B,則三角形是等腰三角形.( ) 【解析】 (1).正弦定理適用于任意三角形. (2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B. (3)√.由正弦定理可知=,即a=b,所以三角形為等腰三角形. 【答案】 (1) (2)√ (3)√ 教材整理2 解三角形 閱讀教材P4例1~P5例2,完成下列問(wèn)題. 1.一般地,我們把三角形的三個(gè)角及其對(duì)邊分別叫做三角形的元素. 2.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形. 1.在△ABC中,若∠A=60,∠B=45,BC=3,則AC=________. 【解析】 由正弦定理得:=, 所以AC==2. 【答案】 2 2.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,則∠C=________. 【解析】 由正弦定理得:=, 所以sin B=. 又a>b,所以∠A>∠B, 所以∠B=, 所以∠C=π-=. 【答案】 3.在△ABC中,∠A=45,c=2,則AC邊上的高等于________. 【解析】 AC邊上的高為ABsin A=csin A=2sin 45=. 【答案】 [小組合作型] 已知兩角及一邊解三角形 (1)在△ABC中,c=,∠A=75,∠B=60,則b等于( ) A. B. C. D. (2)在△ABC中,已知BC=12,∠A=60,∠B=45,則AC=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):18082000】 【精彩點(diǎn)撥】 (1)可先由角A、B求出角C,然后利用正弦定理求b; (2)直接利用正弦定理求解. 【自主解答】 (1)因?yàn)椤螦=75,∠B=60,所以∠C=180-75-60=45. 因?yàn)閏=,根據(jù)正弦定理得=, 所以b===. (2)由正弦定理知:=, 則=, 解得AC=4. 【答案】 (1)A (2)4 解決已知兩角及一邊類(lèi)型的三角形解題方法: (1)若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí),可由正弦定理求另一邊,再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角,最后由正弦定理求第三邊. (2)若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí),先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角,再由正弦定理求另外兩邊 [再練一題] 1.在△ABC中,AB=,∠A=75,∠B=45,則AC=________. 【解析】 ∠C=180-75-45=60,由正弦定理得=,即=,解得AC=2. 【答案】 2 已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形 (1)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知∠A=60,a=4,b=4,則∠B=________. (2)在△ABC中,已知a=2,b=6,∠A=30,求∠B,∠C和c. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)由正弦定理的特點(diǎn),直接求解.注意三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題. (2)先利用正弦定理求角B,再利用內(nèi)角和定理求解,由正弦定理求邊c. 【自主解答】 (1)由正弦定理,得=.把∠A=60,a=4,b=4,代入,解得sin B=,∴B=45或135,∵b<a,∴∠B<∠A,又∵∠A=60,∴0<∠B<60,∴∠B=45. 【答案】 45 (2)由正弦定理得sin B===,又a=2,b=6,aa,∴∠C >∠A,∴∠A=, ∴∠B=,b===+1. [探究共研型] 正弦定理的主要功能 探究1 已知△ABC的外接圓O的直徑長(zhǎng)為2R,試借助△ABC的外接圓推導(dǎo)出正弦定理. 【提示】 如圖,連接BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,連接CD,則∠BCD=90, ∠BAC=∠BDC,在Rt△BCD中,BC=BDsin∠BDC,所以a=2Rsin A, 即=2R,同理=2R,=2R, 所以===2R. 探究2 根據(jù)正弦定理的特點(diǎn),我們可以利用正弦定理解決哪些類(lèi)型的解三角形問(wèn)題? 【提示】 利用正弦定理,可以解決:(1)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形; (2)已知兩角和其中一角的對(duì)邊解三角形. 探究3 由==可以得到a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,那么由正弦定理還可以得到哪些主要變形? 【提示】 (1)=,=,=. (2)=,=,=. (3)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,試判斷△ABC的形狀. 【精彩點(diǎn)撥】 解決本題的關(guān)鍵是利用sin A=,sin B=,sin C=把sin2A=sin2B+sin2C轉(zhuǎn)化為三角形三邊的關(guān)系,從而判定出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解. 【自主解答】 法一:根據(jù)正弦定理,得==, ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2, ∴∠A是直角,∠B+∠C=90, ∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90-B)=2sin2B=sin A=1, ∴sin B=. ∵0<∠B<90,∴∠B=45,∠C=45, ∴△ABC是等腰直角三角形. 法二:根據(jù)正弦定理, 得==, ∵sin2A=sin2B+sin2C, ∴a2=b2+c2,∴∠A是直角. ∵∠A=180-(∠B+∠C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0. 又-90<∠B-∠C<90, ∴∠B-∠C=0,∴∠B=∠C, ∴△ABC是等腰直角三角形. 1.判斷三角形的形狀應(yīng)看該三角形是否為某些特殊的三角形,如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等. 2.已知三角形中的邊角關(guān)系式,判斷三角形的形狀,可以考慮用正弦定理化邊為角,再利用三角恒等變換找出三個(gè)角之間的關(guān)系,或者化角為邊,通過(guò)代數(shù)恒等變換找出三邊之間的關(guān)系,再給出判斷. [再練一題] 3.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b=acos C,試判斷△ABC的形狀. 【解】 ∵b=acos C, 由正弦定理,得 sin B=sin Acos C. (*) ∵∠B=π-(∠A+∠C), ∴sin B=sin(A+C),從而(*)式變?yōu)? sin(A+C)=sin Acos C, ∴cos Asin C=0. 又∵∠A,∠C∈(0,π), ∴cos A=0,∠A=, 即△ABC是直角三角形. 1.在△ABC中,若sin A>sin B,則∠A與∠B的大小關(guān)系為( ) A.∠A>∠B B.∠A<∠B C.∠A≥∠B D.∠A,∠B的大小關(guān)系不能確定 【解析】 因?yàn)椋剑? 所以=. 因?yàn)樵凇鰽BC中,sin A>0,sin B>0,sin A>sin B, 所以=>1,所以a>b, 由a>b知∠A>∠B. 【答案】 A 2.在△ABC中,若c=2acos B,則△ABC的形狀為( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.不等邊三角形 【解析】 由正弦定理知c=2Rsin C,a=2Rsin A, 故sin C=2sin Acos B=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B=cos Asin B, 即sin(A-B)=0,所以∠A=∠B. 故△ABC為等腰三角形. 【答案】 B 3.在△ABC中,AB=,∠A=45,∠B=60,則BC=_____. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):18082002】 【解析】 利用正弦定理=, 而∠C=180-(∠A+∠B)=75, 故BC===3-. 【答案】 3- 4.在△ABC中,a=15,b=10,∠A=60,則cos B=________. 【解析】 由正弦定理=,得=, ∴sin B=,∵b- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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