2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 第七章 平面解析幾何 考點(diǎn)測試55 曲線與方程 理(含解析).docx
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考點(diǎn)測試55 曲線與方程 高考概覽 考綱研讀 1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系 2.了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本方法 3.能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程 一、基礎(chǔ)小題 1.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲線是( ) A.兩條直線 B.兩條射線 C.兩條線段 D.一條直線和一條射線 答案 D 解析 原方程可化為或-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲線是一條直線和一條射線. 2.過點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡方程為( ) A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=-12y D.x2=12y 答案 D 解析 由拋物線的定義知,過點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動圓圓心的軌跡是以點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn),直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為x2=12y.故選D. 3.點(diǎn)A,B分別為圓M:x2+(y-3)2=1與圓N:(x-3)2+(y-8)2=4上的動點(diǎn),點(diǎn)C在直線x+y=0上運(yùn)動,則|AC|+|BC|的最小值為( ) A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A 解析 設(shè)M(0,3)關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)為P(-3,0),且N(3,8),∴|AC|+|BC|≥|PN|-1-2=-3=7.故選A. 4.已知點(diǎn)F,直線l:x=-,點(diǎn)B是l上的動點(diǎn).若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的軌跡是( ) A.雙曲線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線 答案 D 解析 由已知得|MF|=|MB|.由拋物線定義知點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線.故選D. 5.與圓x2+y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的動圓的圓心在( ) A.一個橢圓上 B.雙曲線的一支上 C.一條拋物線上 D.一個圓上 答案 B 解析 圓x2+y2-8x+12=0的圓心為(4,0),半徑為2,動圓的圓心到(4,0)的距離減去到(0,0)的距離等于1,由此可知動圓的圓心在雙曲線的一支上.故選B. 6.已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,則圓心P的軌跡方程為________. 答案 +=1(x≠-2) 解析 設(shè)圓M,圓N與動圓P的半徑分別為r1,r2,R,因?yàn)閳AP與圓M外切且與圓N內(nèi)切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4,由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左、右焦點(diǎn),長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為+=1(x≠-2). 7.設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),A為橢圓上任意一點(diǎn),過焦點(diǎn)F1向∠F1AF2的外角平分線作垂線,垂足為D,則點(diǎn)D的軌跡方程是________. 答案 x2+y2=4 解析 由題意,延長F1D,F(xiàn)2A并交于點(diǎn)B,易證Rt△ABD≌Rt△AF1D,則|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O為F1F2的中點(diǎn),連接OD,則OD∥F2B,從而可知|DO|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),則x2+y2=4. 8.點(diǎn)P(-3,0)是圓C:x2+y2-6x-55=0內(nèi)一定點(diǎn),動圓M與已知圓C相內(nèi)切且過P點(diǎn),則圓心M的軌跡方程為________. 答案?。? 解析 已知圓為(x-3)2+y2=64,其圓心C(3,0),半徑為8,由于動圓M過P點(diǎn),所以|MP|等于動圓的半徑r,即|MP|=r.又圓M與已知圓C相內(nèi)切,所以圓心距等于半徑之差,即|MC|=8-r,從而有|MC|=8-|MP|,即|MC|+|MP|=8. 根據(jù)橢圓的定義,動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C,P的距離之和為定值8>6=|CP|,所以動點(diǎn)M的軌跡是橢圓, 并且2a=8,a=4;2c=6,c=3;b2=16-9=7, 因此M點(diǎn)的軌跡方程為+=1. 二、高考小題 9.(2015廣東高考)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 C 解析 由已知得解得 故b=3,從而所求的雙曲線方程為-=1.故選C. 10.(2015安徽高考)下列雙曲線中,焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=2x的是( ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.-x2=1 D.y2-=1 答案 C 解析 由于焦點(diǎn)在y軸上,故排除A,B.由于漸近線方程為y=2x,故排除D.故選C. 11.(2015天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2,),且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 D 解析 由題意知點(diǎn)(2,)在漸近線y=x上,所以=,又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-,所以c=,故a2+b2=7,所以a=2,b=.故雙曲線的方程為-=1.選D. 三、模擬小題 12.(2019福建漳州八校聯(lián)考)已知圓M:(x+)2+y2=36,定點(diǎn)N(,0),點(diǎn)P為圓M上的動點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在線段MP上,且滿足=2,=0,則點(diǎn)G的軌跡方程是( ) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.-=1 答案 A 解析 由=2,=0知所在直線是線段NP的垂直平分線,連接GN,∴|GN|=|GP|,∴|GM|+|GN|=|MP|=6>2,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,其中2a=6,2c=2,∴b2=4,∴點(diǎn)G的軌跡方程為+=1,故選A. 13.(2018深圳調(diào)研)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=4,AD=2,E,F(xiàn)分別為邊CD,AD的中點(diǎn),M為AE和BF的交點(diǎn),則以A,B為長軸端點(diǎn),且經(jīng)過M的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 答案 D 解析 以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則BF:x=-4y+2,AE:y=x+2,聯(lián)立兩直線方程可得M-,.顯然在橢圓+y2=1上,故選D. 14.(2018長沙統(tǒng)考)設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(-1,0),M為動點(diǎn),已知直線AM與直線BM的斜率之積為定值m(m≠0),若點(diǎn)M的軌跡是焦距為4的雙曲線(除去點(diǎn)A,B),則m=( ) A.15 B.3 C. D. 答案 B 解析 設(shè)動點(diǎn)M(x,y),則直線AM的斜率kAM=,直線BM的斜率kBM=,所以==m,即x2-=1.因?yàn)辄c(diǎn)M的軌跡是焦距為4的雙曲線(除去點(diǎn)A,B),所以1+m=4,所以m=3.故選B. 15.(2018江西九江聯(lián)考)設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且=2,⊥,當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,則點(diǎn)N的軌跡方程為________. 答案 y2=4x 解析 設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),由=2,得即因?yàn)椤?,?x0,-y0),=(1,-y0),所以(x0,-y0)(1,-y0)=0,所以x0+y=0,即-x+y2=0,所以點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x. 16.(2018中原名校聯(lián)考)已知雙曲線-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1)是雙曲線上不同于A1,A2的兩個不同的動點(diǎn),則直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡方程為________. 答案?。珁2=1(x≠0,且x≠) 解析 由題設(shè)知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),則有:直線A1P的方程為y=(x+),?、? 直線A2Q的方程為y=(x-),?、? 聯(lián)立①②,解得得 ③ 所以x≠0,且|x|<,因?yàn)辄c(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線-y2=1上,所以-y=1. 將③代入上式,整理得所求軌跡的方程為+y2=1(x≠0,且x≠). 一、高考大題 1.(2017全國卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足=. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且=1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 解 (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0), 則N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由=得x0=x,y0=y(tǒng). 因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)證明:由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則 =(-3,t),=(-1-m,-n), =3+3m-tn,=(m,n), =(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即⊥. 又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 2.(2016全國卷Ⅰ)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E. (1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 解 (1)證明:因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC, 故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16, 從而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1(y≠0). (2)當(dāng)l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為 y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 則x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|=|x1-x2|=. 過點(diǎn)B(1,0)且與l垂直的直線m:y=-(x-1),A到m的距離為, 所以|PQ|=2=4. 故四邊形MPNQ的面積 S=|MN||PQ|=12. 可得當(dāng)l與x軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8). 當(dāng)l與x軸垂直時,其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12. 綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8). 3.(經(jīng)典湖北高考)一種作圖工具如圖1所示.O是滑槽AB的中點(diǎn),短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動,長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動,且DN=ON=1,MN=3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動時,帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周(D不動時,N也不動),M處的筆尖畫出的曲線記為C.以O(shè)為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系. (1)求曲線C的方程; (2)設(shè)動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P,Q兩點(diǎn).若直線l總與曲線C有且只有一個公共點(diǎn),試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由. 解 (1)設(shè)點(diǎn)D(t,0),(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依題意,=2,且||=||=1, 所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0), 且即 且t(t-2x0)=0. 由于當(dāng)點(diǎn)D不動時,點(diǎn)N也不動,所以t不恒等于0, 于是t=2x0,故x0=,y0=-, 代入x+y=1,可得+=1, 即所求的曲線C的方程為+=1. (2)a.當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線l為x=4或x=-4,都有S△OPQ=44=8. b.當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l:y=kx+m, 由消去y可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0. 因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn),所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.① 又由得P; 同理可得Q. 由原點(diǎn)O到直線PQ的距離為d=和|PQ|=|xP-xQ|, 可得S△OPQ=|PQ|d=|m||xP-xQ| =|m|=.② 將①代入②,得S△OPQ==8. 當(dāng)k2>時,S△OPQ=8=8>8; 當(dāng)0≤k2<時,S△OPQ=8=8. 因0≤k2<,則0<1-4k2≤1,≥2, 所以S△OPQ=8≥8, 當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號. 所以當(dāng)k=0時,S△OPQ的最小值為8. 綜合a,b,當(dāng)直線l與橢圓C在四個頂點(diǎn)處相切時,△OPQ的面積取得最小值8. 二、模擬大題 4.(2018河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l交C于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).AO,BO的延長線與直線x=-4分別交于P,Q兩點(diǎn). (1)求動點(diǎn)M的軌跡方程; (2)連接OM,求△OPQ與△BOM的面積比. 解 (1)設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), 由題知拋物線焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0), 當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 所以x1+x2=2+, 所以中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x=1+, 代入y=k(x-1),得y=, 即中點(diǎn)M為1+,, 所以 消去參數(shù)k,得其方程為y2=2x-2. 當(dāng)直線l的斜率不存在時,線段AB的中點(diǎn)為焦點(diǎn)F(1,0),滿足此式,故動點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x-2. (2)設(shè)AB:my=x-1,代入y2=4x,得y2-4my-4=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), ∴y1+y2=4m,y1y2=-4, 易得P-4,-,Q-4,-,|PQ|=4|y1-y2|, ∴S△OPQ=8|y1-y2|, 又∵S△OMB=S△OAB=|OF||y2-y1|=|y1-y2|, 故△OPQ與△BOM的面積比為32. 5.(2018鄭州質(zhì)檢三)已知動點(diǎn)M(x,y)滿足+=2. (1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程; (2)設(shè)A,B是軌跡E上的兩個動點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)N在直線l:x=-上,線段AB的中垂線與E交于P,Q兩點(diǎn).問是否存在點(diǎn)N,使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0)?若存在,求出點(diǎn)N坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 解 (1)由橢圓的定義可得動點(diǎn)M的軌跡是以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為左、右焦點(diǎn),半長軸長a=的橢圓,即c=1,故b2=a2-c2=1,從而動點(diǎn)M的軌跡E的方程為+y2=1. (2)當(dāng)直線AB⊥x軸時,直線AB的方程為x=-, 此時點(diǎn)P(-,0),Q(,0), 橢圓E的右焦點(diǎn)F2(1,0),=-1,不符合題意. 當(dāng)直線AB不垂直于x軸時,設(shè)存在點(diǎn)N-,m(m≠0), 直線AB的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得(x1+x2)+2(y1+y2)=0, 則-1+4mk=0,故k=. 此時,直線PQ的斜率為k1=-4m,直線PQ的方程為y-m=-4mx+, 即y=-4mx-m. 聯(lián)立消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0,設(shè)點(diǎn)P(x3,y3),Q(x4,y4),所以x3+x4=-,x3x4=. 由題意=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m) =(1+16m2)x3x4+(4m2-1)(x3+x4)+1+m2 =++1+m2 ==0, 所以m=. 因?yàn)镹在橢圓內(nèi),所以m2<, 所以m=符合條件. 綜上,存在兩點(diǎn)N符合條件,坐標(biāo)為 -,和-,-. 6.(2018青島模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線C的離心率為2,點(diǎn)1,在雙曲線C上.不在x軸上的動點(diǎn)P與動點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)O對稱,且四邊形PF1QF2的周長為4. (1)求動點(diǎn)P的軌跡方程; (2)已知動直線l:y=kx+m與點(diǎn)P的軌跡交于不同的兩點(diǎn)M,N,且與圓W:x2+y2=交于不同的兩點(diǎn)G,H,當(dāng)m變化時,恒為定值,求常數(shù)k的值. 解 (1)設(shè)點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0)(c>0). 由已知=2,所以c=2a,c2=4a2,b2=c2-a2=3a2. 又因?yàn)辄c(diǎn)1,在雙曲線C上, 所以-=1, 則b2-a2=a2b2,即3a2-a2=3a4, 解得a2=,a=,所以c=1. 連接PQ,因?yàn)閨OF1|=|OF2|,|OP|=|OQ|, 所以四邊形PF1QF2為平行四邊形. 因?yàn)樗倪呅蜳F1QF2的周長為4, 所以|PF2|+|PF1|=2>|F1F2|=2, 所以動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),長軸長為2的橢圓(除去左、右頂點(diǎn)), 可得動點(diǎn)P的軌跡方程為+y2=1(y≠0). (2)設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2), 由題意 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 又Δ>0,得1+2k2-m2>0, 所以|MN|= = =2. 又定圓x2+y2=的圓心到直線l:y=kx+m的距離為d=, 所以|GH|=2=2. 因?yàn)椋?為定值, 所以設(shè)=λ(λ為定值), 化簡得[2λ(1+2k2)2-(1+k2)2]m2+(1+k2)2(1+2k2)-3λ(1+2k2)2(1+k2)=0, 所以2λ(1+2k2)2-(1+k2)2=0且(1+k2)2(1+2k2)-3λ(1+2k2)2(1+k2)=0,解得k=1.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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