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第2講 小題考法——圓錐曲線的性質(zhì)
一、主干知識要記牢
圓錐曲線的定義、標準方程和性質(zhì)
名稱
橢圓
雙曲線
拋物線
定義
|PF1|＋|PF2|＝
2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||
＝2a(2a<|F1F2|)
|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M
標準
方程
＋＝1(a>b>0)
－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px(p>0)
圖形
幾
何
性
質(zhì)
軸
長軸長2a，
短軸長2b
實軸長2a，
虛軸長2b
離心率
e＝＝
(0
1)
e＝1
漸近線
y＝x
二、二級結(jié)論要用好
1．橢圓焦點三角形的3個規(guī)律
設(shè)橢圓方程是＋＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c，0)，點P是橢圓上一點且點P的坐標是(x0，y0)．
(1)三角形的三個邊長是|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，|F1F2|＝2c，e為橢圓的離心率．
(2)如果△PF1F2中∠F1PF2＝α，則這個三角形的面積S△PF1F2＝c|y0|＝b2tan ．
(3)橢圓的離心率e＝．
2．雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論
P(x0，y0)為雙曲線－＝1(a>0，b>0)上的點，△PF1F2為焦點三角形．
(1)面積公式
S＝c|y0|＝r1r2sin θ＝(其中|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ)．
(2)焦半徑
若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a；若P在左支上，|PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a．
3．拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB的4個結(jié)論
(1)xAxB＝；
(2)yAyB＝－p2；
(3)|AB|＝(α是直線AB的傾斜角)；
(4)|AB|＝xA＋xB＋p．
4．圓錐曲線的通徑
(1)橢圓通徑長為；
(2)雙曲線通徑長為；
(3)拋物線通徑長為2p．
5．圓錐曲線中的最值
(1)橢圓上兩點間的最大距離為2a(長軸長)．
(2)雙曲線上兩點間的最小距離為2a(實軸長)．
(3)橢圓焦半徑的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點到橢圓上的點的最小距離與最大距離．
(4)拋物線上的點中頂點到拋物線準線的距離最短．
三、易錯易混要明了
1．利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件．如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a＜|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支．
2．解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點的位置．
3．直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式Δ≥0的限制．尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式Δ≥0”；在解決交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“Δ>0”下進行．
考點一 圓錐曲線的定義與標準方程
求解圓錐曲線標準方程的思路方法
(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設(shè)出標準方程．
(2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y2＝ax或x2＝ay(a≠0)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)．
1．(2018邵陽模擬)設(shè)點P是雙曲線y2－＝1上一點，A(0，－2)，B(0,2)，|PA|＋|PB|＝8，|PA|＞4，則|PB|＝( C )
A．2 B．
C．3 D．
解析 由于|PA|＞4, 所以|PB|＜4, 故|PA|－|PB|＝2a＝2，由于|PA|＋|PB|＝8, 解得|PB|＝3, 故選C．
2．(2018珠海模擬)已知雙曲線M：－＝1(a＞0，b＞0)，其焦點F(c,0)(c＞0)，右頂點A(a,0)到雙曲線M的一條漸近線距離為，以點A為圓心，c為半徑的圓在y軸所截弦長為8，則雙曲線M的方程為( A )
A．－＝1 B．－＝1
C．x2－y2＝9 D．x2－y2＝16
解析 因為右頂點A(a，0)到雙曲線M的一條漸近線距離為，所以＝
.圓的方程為(x－a)2＋y2＝c2，令x＝0得，y＝b，∴2b＝8.∴b＝4.又因為a2＋b2＝c2，∴c＝5，a＝3，故選A．
3．(2018衡水中學(xué)押題卷)已知橢圓＋＝1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是____．
解析 由橢圓的方程可知a＝2，c＝，
且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，
所以|PF1|＝3，|PF2|＝1．
又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
即△PF1F2為直角三角形，且∠PF2F1為直角，
所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝21＝．
考點二 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值．
2．雙曲線的漸近線的求法及用法
(1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得．
(2)用法：①可得或的值；②利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程．
1．(2018齊魯名校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上、下頂點分別為B1、B2，左頂點為A，左焦點為F，若直線AB1與直線B2F互相垂直，則橢圓的離心率為( C )
A． B．
C． D．
解析 依題意，直線AB1與直線B2F互相垂直，kAB1kB2F＝＝－1，∴b2＝ac，a2－c2＝ac，∴e2＋e－1＝0，e＝，故選C．
2．(2018三湘教育聯(lián)盟聯(lián)考)已知P(，)為雙曲線C：x2－＝1上一點，則點P到雙曲線C的漸近線的距離為( B )
A． B．或
C． D．或
解析 由題意知，3－＝1解得b2＝3，則雙曲線C的漸近線方程為xy＝0，所以P(，)到xy＝0的距離為或，即或，故選B．
3．(2018郴州二模)已知雙曲線－＝－1的一個焦點在直線x＋y＝5上，則雙曲線的漸近線方程為( B )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析 根據(jù)題意，雙曲線的方程為－＝1，則其焦點在x軸上，直線x＋y＝5與x軸交點的坐標為(5,0)，則雙曲線的焦點坐標為(5,0)，則有9＋m＝25，解可得，m＝16，則雙曲線的方程為－＝1，其漸近線方程為y＝x，故選B．
4．(2018株洲二檢)已知雙曲線C：－＝1的右焦點為F，其中一條漸近線與圓(x－c)2＋y2＝a2(c2＝a2＋b2，c＞0)交于A，B兩點，△ABF為銳角三角形，則雙曲線C的離心率的取值范圍是( D )
A． B．(，＋∞)
C．(1，) D．
解析 雙曲線C：－＝1的右焦點為F(c,0)，一條漸近線方程為bx－ay＝0，圓(x－c)2＋y2＝a2(c2＝a2＋b2，c＞0)的圓心(c,0)，半徑為a，漸近線與圓交于A，B兩點，△ABF為銳角三角形，可得：a＞＞a，可得a2＞b2＞a2，又c2＝a2＋b2，b2＞a2，可得c2＞a2可得e＞，由a2＞b2可得e＜.所以雙曲線C的離心率的取值范圍是.故選D．
考點三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及簡單應(yīng)用
處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點
(1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．
(2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準線的位置關(guān)系等．
1．(2018河南聯(lián)考)已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是( A )
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3,0) D．(－2,0)
解析 因為直線與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，解得t>0或t<－3.故選A．
2．經(jīng)過橢圓＋y2＝1的一個焦點作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點．設(shè)O為坐標原點，則等于( B )
A．－3 B．－
C．－或－3 D．
解析 依題意，當直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(1,0)時，其方程為y－0＝tan 45(x－1)，即y＝x－1，代入橢圓方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以兩個交點坐標分別為(0，－1)，，∴＝－，同理，直線 l經(jīng)過橢圓的左焦點時，也可得＝－.故的值為－．
3．(2018湖北聯(lián)考)拋物線y2＝4x的焦點為F，直線y＝x與該拋物線交于O、A兩點(O為坐標原點)，與拋物線的準線交于B點，直線AF與拋物線的另一交點為C，則cos ∠ABC＝____．
解析 ?A(4,4)，?B(－1，－1)，AF：y＝(x－1)，?C∴∠ABC＝，cos ∠ABC＝．
4．(2018唐山一模)已知P為拋物線y2＝x上異于原點O的點，PQ⊥x軸，垂足為Q，過PQ的中點作x軸的平行線交拋物線于點M，直線QM交y軸于點N，則＝__ __．
解析 如圖，設(shè)P(t2，t)，則Q(t2,0)，
PQ中點H.M，
∴直線MQ的方程為： y＝(x－t2)，
令x＝0，可得yN＝，∴則＝＝．
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