2018-2019學年高中數(shù)學 第3章 概率 3.2 古典概型學案 蘇教版必修3.doc
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3.2 古典概型 內容要求 1.了解基本事件的特點(難點);2.理解古典概型的定義(重點);3.會應用古典概型的概率公式解決實際問題(重點). 知識點一 基本事件 1.基本事件的定義 在1次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結果稱為基本事件.它們是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件. 一次試驗中只能出現(xiàn)一個基本事件. 如在擲一枚質地均勻的骰子試驗中,出現(xiàn)“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”,共6個結果,這就是這一隨機試驗的6個基本事件. 2.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 如在擲一枚質地均勻的骰子試驗中,隨機事件“出現(xiàn)奇數(shù)點”可以由基本事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”共同組成. 【預習評價】 “拋擲兩枚硬幣,至少一枚正面向上”是基本事件嗎? 提示 不是.“拋擲兩枚硬幣,至少一枚正面向上”包含一枚正面向上,兩枚正面向上,所以不是基本事件. 知識點二 古典概型 1.古典概型的定義 如果一個隨機試驗滿足: (1)所有的基本事件只有有限個. (2)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的,那么,我們將這個隨機試驗的概率模型稱為古典概型. 2.古典概型的概率公式 對于任何事件A,P(A)=. 【預習評價】 (正確的打“√”,錯誤的打“”) 1.任意事件都可以表示成基本事件的和.( ) 2.古典概型的基本事件的個數(shù)是有限的.( ) 3.有放回抽樣與無放回抽樣,對于概率計算是沒有區(qū)別的.( ) 答案 1.√ 2.√ 3. 題型一 基本事件的理解 【例1】 寫出下列試驗的所有基本事件. (1)先后擲兩枚質地均勻的硬幣; (2)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù); (3)從集合A={a,b,c,d}中任取兩個元素構成A的子集. 解 (1)正面、正面;正面、反面;反面、正面;反面、反面. (2)0環(huán),1環(huán),2環(huán),3環(huán),4環(huán),5環(huán),6環(huán),7環(huán),8環(huán),9環(huán),10環(huán). (3){a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}. 規(guī)律方法 1.求基本事件的基本方法是列舉法. 基本事件具有以下特點:(1)不可能再分為更小的隨機事件;(2)兩個基本事件不可能同時發(fā)生. 2.當基本事件個數(shù)較多時還可應用列表法或樹形圖法求解. 【訓練1】 從A,B,C,D,E,F(xiàn) 6名學生中選出4名參加數(shù)學競賽. (1)寫出這個試驗的所有基本事件; (2)求這個試驗的基本事件總數(shù); (3)寫出試驗“A沒被選中”所包含的基本事件. 解 (1)這個試驗的所有基本事件如下: (A,B,C,D),(A,B,C,E),(A,B,C,F(xiàn)),(A,C,D,E),(A,C,D,F(xiàn)),(A,B,D,E),(A,B,D,F(xiàn)),(A,B,E,F(xiàn)),(A,C,E,F(xiàn)),(A,D,E,F(xiàn)),(B,C,D,E),(B,C,D,F(xiàn)),(B,C,E,F(xiàn)),(B,D,E,F(xiàn)),(C,D,E,F(xiàn)). (2)從6名學生中選出4名參加數(shù)學競賽,共有15種可能情況,即基本事件的總數(shù)為15. (3)“A沒被選中”包含下列5個基本事件:(B,C,D,E),(B,C,D,F(xiàn)),(B,C,E,F(xiàn)),(B,D,E,F(xiàn)),(C,D,E,F(xiàn)). 題型二 古典概型的理解 【例2】 (1)向一個圓面內隨機地投一個點,如果該點落在圓面內任意一點都是等可能的,你認為該試驗是古典概型嗎?為什么? (2)射擊運動員向一靶心進行射擊,這一試驗的結果只有有限個:命中10環(huán),命中9環(huán),…,命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中).你認為該試驗是古典概型嗎?為什么? 解 判斷試驗是否滿足古典概型的兩個特點. (1)試驗的所有可能結果是圓面內的所有點.試驗的所有可能結果數(shù)是無限的,不滿足古典概型試驗結果的有限性.因此,雖然每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性相同,但是這個試驗仍不是古典概型. (2)試驗的所有可能結果只有11個,但是命中10環(huán),命中9環(huán),…,命中1環(huán)和命中0環(huán)(即不命中)不是等可能的.因此,這個試驗也不是古典概型. 規(guī)律方法 一個試驗是否是古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點,即有限性和等可能性,因而并不是所有的試驗都是古典概型. 【訓練2】 判斷下列事件是否為古典概型. (1)在適宜的條件下種下一粒種子,求它發(fā)芽的概率; (2)向上拋擲一枚質地不均勻的硬幣,求出現(xiàn)正面朝上的概率. 解 (1)基本事件包括“發(fā)芽”“不發(fā)芽”,而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結果的可能性一般是不均等的,不符合古典概型的第二個特點,即每一個基本事件的“等可能性”,所以這個試驗不是古典概型. (2)由于硬幣的質地不均勻,則出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”的可能性不相等,不符合古典概型的第二個特點,即每一個基本事件的“等可能性”,所以這個試驗不是古典概型. 探究1 列舉法(或列表法) 【例3-1】 一個口袋內裝有大小相同的5個球,其中3個白球,2個黑球,從中一次摸出2個球. (1)共有多少個基本事件? (2)2個都是白球包含幾個基本事件? (3)求2個都是白球的概率. 解 法一 (1)采用列舉法. 分別記白球為1,2,3號,黑球為4,5號,則有以下基本事件:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10個(其中(1,2)表示摸到1號、2號). (2)“2個都是白球”包含(1,2),(1,3),(2,3)三個基本事件. (3)所求概率為P(A)=. 法二 (1)采用列表法. 設5個球的編號為a,b,c,d,e,其中a,b,c為白球,d,e為黑球. 列表如下: a b c d e a (a,b) (a,c) (a,d) (a,e) b (b,a) (b,c) (b,d) (b,e) c (c,a) (c,b) (c,d) (c,e) d (d,a) (d,b) (d,c) (d,e) e (e,a) (e,b) (e,c) (e,d) 由于每次取2個球,因此每次所得的2個球不相同,而事件(b,a)與(a,b)是相同的事件,故共有10個基本事件. (2)“2個都是白球”包含(a,b),(b,c),(c,a)三個基本事件. (3)所求概率為P(A)=. 探究2 坐標法 【例3-2】 拋擲兩枚骰子,求: (1)點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率; (2)點數(shù)之和大于5小于10的概率. 解 如圖,基本事件與所描點一一對應,共36種. (1)記“點數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A,從圖中可以看出,事件A包含的基本事件共有9個,即(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6). 所以P(A)=. (2)記“點數(shù)之和大于5小于10”的事件為B,從圖中可以看出,事件B包含的基本事件共有20個,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=. 探究3 樹形圖法 【例3-3】 有A、B、C、D四位貴賓,應分別坐在a、b、c、d四個席位上,現(xiàn)在這四人均未留意,在四個席位上隨便就坐時, (1)求這四人恰好都坐在自己席位上的概率; (2)求這四人恰好都沒坐在自己席位上的概率; (3)求這四人恰好有1位坐在自己席位上的概率. 解 將A、B、C、D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來: 如圖所示,本題中的等可能基本事件共有24個. (1)設事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”,則事件A只包含1個基本事件,所以P(A)=. (2)設事件B為“這四人恰好都沒坐在自己席位上”,則事件B包含9個基本事件,所以P(B)==. (3)設事件C為“這四人恰好有1位坐在自己席位上”,則事件C包含8個基本事件,所以P(C)==. 探究4 涂色問題 【例3-4】 用三種不同的顏色給如圖所示的3個矩形隨機涂色,每個矩形只涂一種顏色. (1)求3個矩形顏色都相同的概率; (2)求3個矩形顏色都不相同的概率; (3)求3個矩形顏色不都相同的概率. 解 設3個矩形從左到右依次為矩形1、矩形2、矩形3.用三種不同的顏色給題目中所示的3個矩形隨機涂色,可能的結果如圖所示. 由圖知基本事件共有27個. (1)記“3個矩形顏色都相同”為事件A,由圖知事件A的基本事件有3個,故P(A)==. (2)記“3個矩形顏色都不相同”為事件B,由圖知事件B的基本事件有6個,故P(B)==. (3)記“3個矩形顏色不都相同”為事件C. 由圖,知事件C的基本事件有24個, 故P(C)==. 規(guī)律方法 1.古典概型概率求法步驟: (1)確定等可能基本事件總數(shù)n; (2)確定所求事件包含基本事件數(shù)m; (3)P(A)=. 2.使用古典概型概率公式應注意:(1)首先確定是否為古典概型;(2)A事件是什么,包含的基本事件有哪些. 3.當事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律,并且涉及的基本事件又不是太多時,我們可借助樹形圖法直觀地將其表示出來,這是進行列舉的常用方法.樹形圖可以清晰準確地列出所有的基本事件,并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況. 4.在求概率時,若事件可以表示成有序數(shù)對的形式,則可以把全體基本事件用平面直角坐標系中的點表示,即采用圖表的形式可以準確地找出基本事件的個數(shù).故采用數(shù)形結合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀,給問題的解決帶來方便. 課堂達標 1.從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b.則b>a的概率是________. 解析 基本事件總數(shù)為15個,滿足“b>a”的基本事件數(shù)為3個,所以P(b>a)=. 答案 2.從三男三女6名學生中任選2名(每名同學被選中的機會相等),則2名都是女同學的概率等于________. 解析 設3名男生分別用A,B,C表示,3名女生分別用a,b,c表示,則從中任選2名學生,則有AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15種選擇.其中2名都是女同學的有ab,ac,bc,共3種,所以2名都是女同學的概率為=. 答案 3.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為________. 解析 從正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)中任取兩數(shù)的所有可能結果有X1Y1,X1Y2,X1Y3,…,X7Y9,共63個.其中m,n都取奇數(shù)的結果有X1Y1,X1Y3,X1Y5,…,X7Y9,共20個,故所求的概率為P=. 答案 4.如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為________. 解析 從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有10種不同的取法,其中的勾股數(shù)只有3,4,5這一組數(shù),故3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的取法只有1種,故所求概率為. 答案 5.先后拋擲3枚相同的硬幣各一次,觀察落地后這3枚硬幣朝上的一面是正面還是反面. (1)一共可能出現(xiàn)多少種不同的結果? (2)出現(xiàn)“2枚正面,1枚反面”的結果有多少種? (3)出現(xiàn)“2枚正面,1枚反面”的概率是多少? 解 (1)因為拋第1枚硬幣時,出現(xiàn)正面和反面2種結果,拋第2枚硬幣時,又出現(xiàn)正面和反面2種結果,拋第3枚硬幣時,又出現(xiàn)正面和反面2種結果,所以可能出現(xiàn)的結果為(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),其8種. (2)由(1)可知出現(xiàn)“2枚正面,1枚反面”的結果有(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),共3種. (3)因為每種結果出現(xiàn)的可能性均相等,所以為古典概型.由(1)(2)可知等可能基本事件的總數(shù)為8,而出現(xiàn)“2枚正面,1枚反面”的基本事件有3個,故出現(xiàn)“2枚正面,1枚反面”的概率為. 課堂小結 1.古典概型是一種最基本的概率模型.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征,即有限性和等可能性.在應用公式P(A)=時,關鍵是正確理解基本事件與事件A的關系,從而求出m、n. 2.求某個隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹形圖和列表),注意做到不重不漏. 基礎過關 1.從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù),則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是________. 解析 從1,2,3,6中隨機取2個數(shù),共有6種不同的取法,其中所取2個數(shù)的乘積是6的有1,6和2,3,共2種,故所求概率是=. 答案 2.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為________. 解析 從4只球中一次隨機摸出2只球,有6種結果,其中這2只球顏色相同有1種結果,則顏色不同有5種結果,故所求概率為. 答案 3.在3張獎券中有一、二等獎各1張,另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎的概率是________. 解析 設3張獎券中一等獎、二等獎和無獎分別為a,b,c,甲、乙兩人各抽取1張的所有情況有ab,ac,ba,bc,ca,cb,共6種,其中兩人都中獎的情況有ab,ba,共2種,所以所求概率為. 答案 4.從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,則取到字母a的概率為________. 解析 從a,b,c,d,e中任取兩個不同字母的所有基本事件為:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10個,其中取到字母a的有4個,故所求概率為=0.4. 答案 0.4 5.從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為________. 解析 5個點中任取2個點共有10種方法,若2個點之間的距離小于邊長,則這2個點中必須有1個為中心點,有4種方法,于是所求概率P==. 答案 6.用一臺自動機床加工一批螺母,從中抽出100個逐個進行直徑檢驗,結果如下: 直徑 個數(shù) 直徑 個數(shù) 6.88- 配套講稿:
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