2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第3講 函數(shù)概念與表示.doc
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2019-2020年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第3講 函數(shù)概念與表示 課題 函數(shù)概念與表示（共 2 課） 修改與創(chuàng)新 課標(biāo)要 求 1．通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念； 2．在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)； 3．通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用； 命題走 向 函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，其中函數(shù)思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)問題在歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。 從近幾年來看，對(duì)本部分內(nèi)容的考察形勢(shì)穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對(duì)于函數(shù)的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實(shí)際應(yīng)用題）找出變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)，尋求問題的結(jié)果。 高考對(duì)函數(shù)概念與表示考察是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對(duì)較小，本節(jié)知識(shí)作為工具和其他知識(shí)結(jié)合起來命題的可能性依然很大。 預(yù)測xx年高考對(duì)本節(jié)的考察是： 1．題型是1個(gè)選擇和1個(gè)填空； 2．熱點(diǎn)是函數(shù)概念及函數(shù)的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)成為新的熱點(diǎn)。 教學(xué)準(zhǔn)備 多媒體 教學(xué)過程 要點(diǎn)精講: 1．函數(shù)的概念： 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)。記作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域。 注意：（1）“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； （2）函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不是f乘x。 2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 （1）解決一切函數(shù)問題必須認(rèn)真確定該函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域包含三種形式： ①自然型：指函數(shù)的解析式有意義的自變量x的取值范圍（如：分式函數(shù)的分母不為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）； ②限制型：指命題的條件或人為對(duì)自變量x的限制，這是函數(shù)學(xué)習(xí)中重點(diǎn)，往往也是難點(diǎn)，因?yàn)橛袝r(shí)這種限制比較隱蔽，容易犯錯(cuò)誤； ③實(shí)際型：解決函數(shù)的綜合問題與應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)認(rèn)真考察自變量x的實(shí)際意義。 （2）求函數(shù)的值域是比較困難的數(shù)學(xué)問題，中學(xué)數(shù)學(xué)要求能用初等方法求一些簡單函數(shù)的值域問題。 ①配方法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；②判別式法（將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次方程）；③不等式法（運(yùn)用不等式的各種性質(zhì)）；④函數(shù)法（運(yùn)用基本函數(shù)性質(zhì)，或抓住函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)圖象等）。 3．兩個(gè)函數(shù)的相等： 函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f。當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)。 4．區(qū)間 （1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示。 5．映射的概念 一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”。 函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對(duì)應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種的對(duì)應(yīng)就叫映射。 注意：（1）這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對(duì)應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觥? （2）“都有唯一”什么意思？ 包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。 6．常用的函數(shù)表示法 （1）解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式； （2）列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系； （3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 7．分段函數(shù) 若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)； 8．復(fù)合函數(shù) 若y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u(m,n)，那么y=f稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。 典例解析： 1．(教材習(xí)題改編)設(shè)g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則f(x)等于( ) A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 解析：選D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7. 2．(xx江西高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(f(3))＝( ) A. B．3 C. D. 解析：選D f(3)＝，f(f(3))＝2＋1＝. 3．已知集合A＝，集合B＝，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不能看作從A到B的映射的是( ) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x 解析：選D 按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x，對(duì)A中某些元素(如x＝8)，B中不存在元素與之對(duì)應(yīng)． 4．已知f＝x2＋5x，則f(x)＝____________. 解析：令t＝，則x＝.所以f(t)＝＋. 故f(x)＝(x≠0)． 答案：(x≠0) 5．(教材習(xí)題改編)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，則f(－1)＝________. 解析：由已知得得 即f(x)＝x2－4x＋3. 所以f(－1)＝(－1)2－4(－1)＋3＝8. 答案：8 1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系 (1)函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合A與集合B只能是非 空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射． (2)映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個(gè)映射，A、B若不是數(shù) 集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)． 2．定義域與值域相同的函數(shù)，不一定是相同函數(shù) 如函數(shù)y＝x與y＝x＋1，其定義域與值域完全相同，但不是相 同函數(shù)；再如函數(shù)y＝sin x與y＝cos x，其定義域與值域完全相同， 但不是相同函數(shù)．因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，關(guān)鍵是看定義域和 對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同． 3．求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題 在求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要首先判斷x0屬于定義域的 哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義 域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集． 函數(shù)的基本概念 典題導(dǎo)入 有以下判斷： (1)f(x)＝與g(x)＝表示同一函數(shù)； (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)； (3)f(x)＝x2－2x＋1與g(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)； (4)若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 其中正確判斷的序號(hào)是________． 對(duì)于(1)，由于函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定義域的值，則直線x＝1與y＝f(x)的圖象沒有交點(diǎn)，如果x＝1是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x＝1與y＝f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于(4)，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1. 綜上可知，正確的判斷是(2)(3)． (2)(3) 由題悟法 兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全 相同時(shí)，才表示同一函數(shù)．另外，函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函數(shù)． 以題試法 1．已知f：x→－sin x是集合A(A?)到集合B＝的一個(gè)映射，則集合A中的元素個(gè)數(shù)最多有( ) A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 解析：選B 當(dāng)－sin x＝0時(shí)sin x＝0，x可取0，π，2π； 當(dāng)－sin x＝時(shí)，sin x＝－，x可取，，故集合A中的元素最多有5個(gè)． 求函數(shù)的解析式 典題導(dǎo)入 (1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)． (1)由于f＝x2＋＝2－2， 所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2， 故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)． (2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg， 又x>0，所以t>1， 故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)． (3)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx， 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以 解得a＝b＝. 所以f(x)＝x2＋x(x∈R)． 由題悟法 函數(shù)解析式的求法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(如例(1))； (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法(如例(3))； (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍(如例(2))； (4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)(如A級(jí)T6)． 以題試法 2．(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式． 解：(1)法一：設(shè)t＝＋1，則x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 則f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. 分 段 函 數(shù) 典題導(dǎo)入 (xx廣州調(diào)研考試)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x)>4，則x的取值范圍是______． 當(dāng)x<1時(shí)，由f(x)>4，得2－x>4，即x<－2； 當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2， 由于x≥1，所以x>2. 綜上可得x<－2或x>2. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 若本例條件不變，試求f(f(－2))的值． 解：∵f(－2)＝22＝4， ∴f(f(－2))＝f(4)＝16. 由題悟法 求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值．若給出函數(shù)值 或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 以題試法 3.(xx衡水模擬)已知f(x)的圖象如圖，則f(x)的解析式為________． 解析：由圖象知每段為線段． 設(shè)f(x)＝ax＋b，把(0,0)，和，(2,0)分別代入， 解得 答案：f(x)＝ 函數(shù)的定義域和值域 1．(教材習(xí)題改編)若f(x)＝x2－2x，x∈，則f(x)的值域?yàn)? ) A． B． C． D． 答案：A 2．函數(shù)y＝的值域?yàn)? ) A．R B. C. D. 解析：選D ∵x2＋2≥2，∴0<≤.∴0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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