2018年秋高中數(shù)學 第一章 解三角形 1.2 應用舉例 第1課時 解三角形的實際應用舉例學案 新人教A版必修5.doc
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第1課時 解三角形的實際應用舉例 學習目標：1.能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點).2.能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關的實際應用問題．(重點)． [自 主 預 習探 新 知] 1．基線的概念與選擇原則 (1)定義 在測量上，根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線． (2)性質(zhì) 在測量過程中，要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高． 思考：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？ 提示：利用正弦定理和余弦定理． 2．測量中的有關角的概念 (1)仰角和俯角 與目標視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角(如圖121所示)． 圖121 (2)方向角 從指定方向線到目標方向線所成的水平角．如南偏西60，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60. (如圖122所示) 圖122 思考：李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認為李堯的家在學校的哪個方向？ 提示：東南方向． [基礎自測] 1．思考辨析 (1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊．( ) (2)兩個不可到達的點之間的距離無法求得．( ) (3)東偏北45的方向就是東北方向．( ) (4)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面．( ) [答案] (1) (2) (3)√ (4)√ 提示：已知三角形中至少知道一條邊才能解三角形，故(1)錯．兩個不可到達的點之間的距離可以用解三角形的方法求出，故(2)錯． 2．如圖123，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應選用數(shù)據(jù)( ) 【導學號：91432044】 圖123 A．α，a，b B．α，β，a C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b C [選擇a，b，γ可直接利用余弦定理AB＝求解．] 3．小強站在地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強觀測山頂?shù)难鼋菫? ) A．α＋β B．α－β C．β－α D．α C [如圖所示，設小強觀測山頂?shù)难鼋菫棣茫瑒tβ－γ＝α，因此γ＝β－α，故選C項．] 4．某人先向正東方向走了x km，然后他向右轉(zhuǎn)150，向新的方向走了3 km，結果他離出發(fā)點恰好為 km，那么x的值為( ) 【導學號：91432045】 A. B．2 C．2或 D．3 C [如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30， 即x2－3x＋6＝0，解之得x＝2或.] [合 作 探 究攻 重 難] 測量距離問題 海上A，B兩個小島相距10 海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是( ) 【導學號：91432046】 A．10 海里 B.海里 C．5海里 D．5海里 D [根據(jù)題意，可得右圖．在△ABC中，A＝60，B＝75，AB＝10，∴C＝45.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．] [規(guī)律方法] 三角形中與距離有關的問題的求解策略： ((1)解決與距離有關的問題，若所求的線段在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據(jù)條件選擇適當?shù)娜切危倮谜?、余弦定理求? ((2)解決與距離有關的問題的關鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正、余弦定理來解決. [跟蹤訓練] 1．如圖124所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30，∠CBA＝75，AB＝120 m，則河的寬度為________ m. 圖124 60 [由題意知，∠ACB＝180－30－75＝75，∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BD⊥AC于D，∴河寬＝BD＝120sin 30＝60(m)．] 測量高度問題 (1)如圖125，從山頂望地面上C，D兩點，測得它們的俯角分別為45和30，已知CD＝100米，點C位于BD上，則山高AB等于( ) 圖125 A．100米 B．50米 C．50米 D．50(＋1)米 (2)在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0，塔基的俯角為45，那么這座塔吊的高是( ) 【導學號：91432047】 A．20 m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 思路探究：(1)解決本題關鍵是求AB時確定在哪一個三角形中求解，該三角形是否可解． (2)解決本題關鍵是畫出示意圖． (1)D (2)B [(1)設山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝h，∴h－h(huán)＝100，即h＝50(＋1)． (2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20 m，BC＝AD＝20 m. 在△DCE中，∠EDC＝60，∠DCE＝90，CD＝20 m，∴EC＝CDtan 60＝20 m，∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.選B.] [規(guī)律方法] 解決測量高度問題的一般步驟： (1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖. (2)分析三角形：分析與問題有關的三角形. (3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用. [跟蹤訓練] 2.某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)．如圖126所示，豎直放置的標桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，請據(jù)此算出H的值． 圖126 [解] 由AB＝，BD＝， AD＝及AB＋BD＝AD， 得＋＝， 解得H＝＝＝124. 因此電視塔的高度H是124 m. 與立體幾何有關的測量問題 [探究問題] 1．已知A，B是海平面上的兩個點，相距800 m，在A點測得山頂C的仰角為45，∠BAD＝120，又在B點測得∠ABD＝45，其中D是點C到水平面的垂足．試畫出符合題意的示意圖． 提示：用線段CD表示山，用△DAB表示海平面．結合題中相應的距離及角度，畫出立體圖形，如圖所示． 2．在探究1中若要求山高CD怎樣求解？ 提示：由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的長，然后在Rt△ACD中求出CD. 如圖127，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D，測得CD＝200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45和30，且∠CBD＝30，求塔高AB. 【導學號：91432048】 圖127 思路探究：利用方程的思想，設AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解． [解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45，若設AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30，則BD＝h. 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos∠CBD， 即2002＝h2＋(h)2－2hh， 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)， 即塔高AB＝200米． 母題探究：(變條件)若將例題中的條件“CD＝200米，在C點和D點測得塔頂A的仰角分別是45和30，且∠CBD＝30”改為“CD＝800米，在D點測得塔頂A的仰角為45，∠CDB＝120，又在C點測得∠DCB＝45.”求塔高AB. [解] 在△BCD中，∠CBD＝180－120－45＝15， CD＝800 m，∠BCD＝45， 由正弦定理，＝， BD＝＝ ＝800(＋1)m， 又∠ADB＝45，AB＝BD. ∴AB＝800(＋1)m. 即山的高度為800(＋1) m. [規(guī)律方法] 測量高度問題的兩個關注點 (1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. (2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結合，全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思路. [當 堂 達 標固 雙 基] 1．甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20 m高的旗桿，甲觀測的仰角為50，乙觀測的仰角為40，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有( ) 【導學號：91432049】 A．d1>d2 B．d1
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