2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 三 相似三角形的判定及性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修4-1.docx

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三　相似三角形的判定及性質(zhì) [學(xué)習(xí)目標(biāo)] 1.理解相似三角形的定義. 2.理解預(yù)備定理的本質(zhì). 3.會(huì)證明判定定理1，2，3，理解這些定理的內(nèi)容，能應(yīng)用這些定理證明相關(guān)的幾何問題. 4.掌握直角三角形相似的判定定理，會(huì)應(yīng)用定理證明相關(guān)的幾何問題. [知識(shí)鏈接] 1.在初中我們學(xué)習(xí)過相似三角形，想一想，相似三角形及相似比是如何定義的？ 提示　對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)). 2.判斷下列各命題的正確性，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“” (1)兩個(gè)等邊三角形相似(√) (2)兩個(gè)直角三角形相似() (3)兩個(gè)等腰直角三角形相似(√) (4)有一個(gè)角為50的兩個(gè)等腰三角形相似() (5)有一個(gè)角為100的兩個(gè)等腰三角形相似(√) [預(yù)習(xí)導(dǎo)引] 1.相似三角形 (1)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫作相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比值叫作相似比(或相似系數(shù)). (2)記法：兩個(gè)三角形相似，用符號(hào)“∽”表示，例如△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′. 2.相似三角形的判定 定理 內(nèi)容 簡(jiǎn)述 作用 預(yù) 備 定 理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 判定兩個(gè)三角形相似 判 定 定 理 1 對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似 判定兩個(gè)三角形相似 判 定 定 理 2 對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似 判定兩個(gè)三角形相似 引理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例那么這條直線平行于三角形的第三邊 判定兩條直線平行 判 定 定 理 3 對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似 判定兩個(gè)三角形相似 3.直角三角形相似的判定定理 (1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似. (2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似. (3)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似. 4.相似三角形的性質(zhì)定理 (1)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比. (2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比. (3)相似三角形面積的比等于相似比的平方. 5.兩個(gè)相似三角形外接(內(nèi)切)圓的直徑比、周長(zhǎng)比、面積比與相似比的關(guān)系 相似三角形外接(內(nèi)切)圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接(內(nèi)切)圓的面積比等于相似比的平方. 6.相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)比較 全等三角形 相似三角形 對(duì)應(yīng)邊相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)中線相等 對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比 對(duì)應(yīng)角平分線相等 對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比 對(duì)應(yīng)高相等 對(duì)應(yīng)高的比等于相似比 周長(zhǎng)相等 周長(zhǎng)比等于相似比 面積相等 面積比等于相似比的平方 外接(內(nèi)切)圓的直徑相等 外接(內(nèi)切)圓的直徑比等于相似比 外接(內(nèi)切)圓的周長(zhǎng)相等 外接(內(nèi)切)圓的周長(zhǎng)比等于相似比 外接(內(nèi)切)圓的面積相等 外接(內(nèi)切)圓的面積比等于相似比的平方 要點(diǎn)一　相似三角形的判定 例1　如圖所示，∠ABC＝∠D＝90，AC＝a，BC＝b，當(dāng)BD與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ABC與△CDB相似？ 解　(1)∵∠ABC＝∠CDB＝90， ∴當(dāng)＝時(shí)，△ABC∽△CDB. 即＝， ∴BD＝時(shí)，△ABC∽△CDB. (2)∵∠ABC＝∠BDC＝90， ∴當(dāng)＝時(shí)，△ABC∽△BDC， 即＝， ∴BD＝時(shí)，△ABC∽△BDC. 綜上，當(dāng)BD＝或BD＝時(shí)，△ABC與△CDB相似. 規(guī)律方法　解決此類問題，重點(diǎn)應(yīng)放在“對(duì)應(yīng)關(guān)系”上，根據(jù)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”進(jìn)行合理的討論是解題的關(guān)鍵. 跟蹤演練1　如圖所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足AB2＝DBCE. (1)求證：△ADB∽△EAC； (2)若∠BAC＝40，求∠DAE的度數(shù). (1)證明　∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ECA. 又∵AB2＝DBCE，∴＝＝， ∴＝，∴△ADB∽△EAC. (2)解　∵AB＝AC，∠BAC＝40，∴∠ABC＝70. 又∵△ADB∽△EAC，∴∠D＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝∠DAB＋∠BAC＋∠D＝∠ABC＋∠BAC＝70＋40＝110. 要點(diǎn)二　直角三角形的判定 例2　如圖所示，矩形ABCD中，AB∶BC＝5∶6，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，且EC＝BC，F(xiàn)C＝CD. 求證：△AFD∽△FEC. 證明　設(shè)EC＝x，則BC＝AD＝6x，AB＝DC＝5x，∴FC＝3x，F(xiàn)D＝2x， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝，又∵∠D＝∠C＝90， ∴△AFD∽△FEC. 規(guī)律方法　直角三角形相似的判定方法很多，既可根據(jù)一般三角形相似的判定方法，又有其獨(dú)特的判定方法，在求證、識(shí)別的過程中可由已知條件結(jié)合圖形特征，確定合適的方法. 跟蹤演練2　如圖所示，直線EF交AB，AC于點(diǎn)F，E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，AC⊥BC，且ABCD＝DEAC. 求證：AECE＝DEEF. 證明　∵ABCD＝DEAC， ∴＝. ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠DCE＝90， ∴Rt△ACB∽R(shí)t△DCE， ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC， ∴△AEF∽△DEC， ∴＝，∴AECE＝DEEF. 要點(diǎn)三　相似三角形的性質(zhì) 例3　如圖所示，在△ABC和△DBE中，＝＝＝. (1)若△ABC與△DBE的周長(zhǎng)之差為10 cm，求△ABC的周長(zhǎng)； (2)若△ABC與△DBE的面積之和為170 cm2，求△DBE的面積. 解　(1)∵＝＝， ∴△ABC∽△DBE. ∴＝＝. 設(shè)△ABC的周長(zhǎng)為5xcm， 則△DBE的周長(zhǎng)為3xcm， 依題意，得5x－3x＝10，解得x＝5. ∴△ABC的周長(zhǎng)為25 cm. (2)∵△ABC∽△DBE， ∴＝＝＝. 設(shè)S△ABC＝25ycm2， 則S△DBE＝9ycm2， 依題意，得25y＋9y＝170，解得y＝5. ∴△DBE的面積為45 cm2. 規(guī)律方法　在利用相似三角形的性質(zhì)建立比例式時(shí)，一定要注意比的順序，才能得出正確的結(jié)果. 跟蹤演練3　如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶S△ABC＝4∶9. 求：(1)AE∶EC； (2)S△ADE∶S△CDE. 解　(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC. ＝＝，∴＝，＝. (2)如圖所示，作DF⊥AC于F， 則S△ADE＝DFAE，S△CDE＝DFEC， ∴＝＝＝. 1.相似三角形判定定理的作用 (1)可以用來判定兩個(gè)三角形相似； (2)間接證明角相等，線段長(zhǎng)成比例； (3)為計(jì)算線段的長(zhǎng)度及角的大小創(chuàng)造條件. 2.三角形相似的判定定理的一些常見推論 推論1：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似； 推論2：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似； 推論3：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似. 推論4：如果一個(gè)三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似. 3.相似三角形的性質(zhì)定理的內(nèi)容歸納起來主要有兩個(gè)方面：一是相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(高、中線、角平分線以及周長(zhǎng))的比等于相似比；二是相似三角形面積的比等于相似比的平方，運(yùn)用性質(zhì)定理，拓寬思路，可以探討得到：兩個(gè)相似三角形中的所有對(duì)應(yīng)圖形(所有對(duì)應(yīng)線段如等分線段，等分角線以及外接圓與內(nèi)切圓的直徑、周長(zhǎng)、面積等)與相似比都有一定的關(guān)系. 1.如圖，在△ABC中，DE∥BC，點(diǎn)F是BC上的一點(diǎn)，AF交DE于點(diǎn)G，則與△ADG相似的是(　　) A.△AEG　　　　　 B.△ABF C.△AFC D.△ABC 解析　在△ABF中，DG∥BF，則△ADG∽△ABF. 答案　B 2.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E，則圖中與Rt△ADE相似的三角形個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　圖中Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBE均與Rt△ADE相似. 答案　D 3.(2016深圳調(diào)考)如圖所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90，AC＝a，BC＝b.則BD＝________(用a，b表示). 解析　由題意可得△ABC∽△CDB，∴＝，∴BD＝＝. 答案　 4.(2016天津南開中學(xué)檢測(cè))如圖所示，已知點(diǎn)D是△ABC中AB上的一點(diǎn)，DE∥BC且交AC于點(diǎn)E，EF∥AB且交BC于點(diǎn)F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，求四邊形BFED的面積. 解　∵AB∥EF，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC， ∴△ADE∽△EFC. 又S△ADE∶S△EFC＝1∶4， ∴AE∶EC＝1∶2， ∴AE∶AC＝1∶3. ∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9. ∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9. ∴S四邊形BFED＝S△ABC－S△ADE－S△EFC＝9－1－4＝4. 一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝APAB；④ABCP＝APCB.其中，能判定△APC與△ACB相似的條件是(　　) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 解析　如圖，∵∠A＝∠A，∴①∠ACP＝∠B，②∠APC＝∠ACB時(shí)，都滿足三角形相似的條件； 當(dāng)AC2＝APAB時(shí)， 即＝，∴③也滿足相似條件；④中兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的夾角不是∠A，故不相似. 答案　D 2.如圖所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位線，△ABC與△AFG的相似比是3∶2，則△AED與△AFG的相似比是(　　) A.3∶4 B.4∶3 C.8∶9 D.9∶8 解析　因?yàn)椤鰽BC與△AFG的相似比是3∶2，故AB∶AF＝3∶2，又△ABC與△AED的相似比是2∶1，即AB∶AE＝2∶1，故△AED與△AFG的相似比k＝AE∶AF＝＝＝.故選A. 答案　A 3.在△ABC中，D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，△ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，則DE∶BC的值為(　　) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 解析　如圖，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝2∶(6＋2)＝1∶4，∴DE∶BC＝1∶2. 答案　B 4.(2016黃岡調(diào)考)如圖，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，△AEF的面積為6， 則△ADF的面積為________. 解析　∵AE∥DC，AE∶EB＝1∶2， ∴△AEF∽△CDF，且相似比＝＝＝＝，又△AEF的邊EF上的高與△ADF的邊DF上的高相等， ∴＝＝. 又S△AEF＝6，∴S△ADF＝18. 答案　18 5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，對(duì)角線BD⊥DC，AD＝3，BC＝7，則BD2＝________. 解析　∵∠ADC＋∠BCD＝180，∠BDC＝90， ∴∠ADB＋∠BCD＝90. 而∠ADB＋∠ABD＝90， ∴∠ABD＝∠BCD. 又∠BAD＝∠BDC＝90， ∴Rt△ABD∽R(shí)t△DCB. ∴＝. ∴BD2＝ADBC＝37＝21. 答案　21 6.如圖所示，在?ABCD中E，F(xiàn)分別在AD與CB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫出圖中所有的相似三角形. 解　∵AB∥CD， ∴△EDH∽△EAG，△CHM∽△AGM，△FBG∽△FCH. 又∵AD∥BC， ∴△AEM∽△CFM，△EDH∽△FCH，△AEG∽△BFG，△ABC∽△CDA. ∴圖中的相似三角形有△AEM∽△CFM，△AGM∽△CHM，△EDH∽△EAG∽△FBG∽△FCH， △ABC∽△CDA. 二、能力提升 7.在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，DC＝AC，在AB上取一點(diǎn)E，得到△ADE，若△ADE與△ABC相似，則DE的長(zhǎng)為(　　) A.6 B.8 C.6或8 D.14 解析　當(dāng)△ADE∽△ACB時(shí)，則＝，∴DE＝＝6，當(dāng)△ADE∽△ABC時(shí)，則＝，∴DE＝＝8. 答案　C 8.如圖，BD⊥AE，∠C＝90，AB＝4，BC＝2，AD＝3.則DE＝________，CE＝________. 解析　在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A是公共角， ∴△ACE∽△ADB，∴＝. ∴AE＝＝＝＝8. 則DE＝AE－AD＝8－3＝5. 在Rt△ACE中，CE＝＝＝2. 答案　5　2 9.如圖所示，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________. 解析　∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD＝90，∴△AEB∽△ACD，從而得＝，＝，解得AE＝2，故BE＝＝4. 答案　4 10.如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，有BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn). 求證：△ADQ∽△QCP. 證明　在正方形ABCD中， ∵Q是CD的中點(diǎn)，∴＝2. ∵＝3，∴＝4. 又BC＝2DQ，∴＝2. 在△ADQ和△QCP中， ＝＝2，∠C＝∠D＝90， ∴△ADQ∽△QCP. 11.如圖所示，△ABC為正三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點(diǎn)(不在頂點(diǎn))，∠BDE＝60. (1)求證：△DEC∽△BDA； (2)若正三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，當(dāng)D點(diǎn)在什么位置時(shí)，可使BE最短，此時(shí)BE長(zhǎng)是多少？ (1)證明　∵∠BDE＝60， ∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝60＋∠CDE. 又∠BDC是△ABD的一個(gè)外角，且∠A＝60， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝60＋∠ABD， ∴∠CDE＝∠ABD. 又∵∠A＝∠C＝60， ∴△DEC∽△BDA. (2)解　設(shè)DC＝x，BE＝y(tǒng)， 則EC＝6－y，AD＝6－x. 由(1)可得＝，整理得＝， 即y＝x2－x＋6(0AE). (1)△AEF與△ECF是否相似，若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請(qǐng)說明理由. (2)設(shè)＝k，是否存在這樣的k值，使得△AEF與△BCF相似，若存在，證明你的結(jié)論，并求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 解　(1)相似.在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90. ∵EF⊥EC，A，D，E共線，∴∠AEF＋∠DEC＝90. 又∵∠DEC＋∠DCE＝90， ∴∠AEF＝∠DCE.∴△AEF∽△DCE. ∴＝.∵AE＝DE，∴＝. 又∵∠A＝∠FEC＝90，∴△AEF∽△ECF. (2)存在.由于∠AEF＝90－∠AFE<180－∠CFE－∠AFE＝∠BFC， ∴只能是△AEF∽△BCF. ∠AEF＝∠BCF. 由(1)知△AEF∽△DCE∽△ECF， ∴∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠BCF， 又∵∠DCE＋∠ECF＋∠BCF＝90， ∴∠DCE＝30， ∴＝＝＝，即k＝. 反過來，當(dāng)k＝時(shí)，＝，∠DCE＝30，∠AEF＝∠DCE＝30，∠ECF＝∠AEF＝30， ∴∠BCF＝90－30－30＝30＝∠AEF. ∴△AEF∽△BCF.