2018年秋高中數學 課時分層作業(yè)19 空間向量與垂直關系 新人教A版選修2-1.doc

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課時分層作業(yè)(十九) 空間向量與垂直關系 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k＝(　　) A．4　　 　B．－4　　 　C．5　　 　D．－5 D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴ab＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.] 2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數x，y，z分別為(　　) A．，－，4 B．，－，4 C．，－2,4 D．4，，－15 B　[∵⊥，∴＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4， 又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥， 則解得] 3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，則以下等式中可能不成立的是(　　) 【導學號：46342170】 A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ D　[由題意知PA⊥平面ABCD，所以PA與平面上的線AB，CD都垂直，A，B正確；又因為菱形的對角線互相垂直，可推得對角線BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C選項正確．] 4．已知點A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，點D滿足條件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，則點D的坐標為(　　) A．(1,1,1) B．(－1，－1，－1)或 C． D．(1,1,1)或 D　[設D(x，y，z)，則＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)， ＝(－1，1,0)， ＝(0，－1,1)． 又DB⊥AC?－x＋z＝0?、?， DC⊥AB?－x＋y＝0?、?， AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2?、?， 聯立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以點D的坐標為(1,1,1)或.故選D．] 5.如圖3214所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，則(　　) 圖3214 A．EF至多與A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF與BD1相交 D．EF與BD1異面 B　[建立分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標系(圖略)，不妨設正方體的棱長為1，則＝(1,0,1)， ＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)， E，F， ＝，∴＝0，＝0， ∴EF⊥A1D，EF⊥AC．] 二、填空題 6．已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．給出下列結論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一個法向量．其中正確的是________(填序號)． ①②③　[＝2(－1)＋(－1)2＋(－4)(－1)＝－2－2＋4＝0，則⊥，則AB⊥AP.＝4(－1)＋22＋0＝0，則⊥，則AP⊥AD．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一個法向量．] 7．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對. 【導學號：46342171】 0　[∵ab＝(0,1,1)(1,1,0)＝1≠0，ac＝(0,1,1)(1,0,1)＝1≠0，bc＝(1,1,0)(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意兩個都不垂直，即α，β，γ中任意兩個都不垂直．] 8．已知空間三點A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直線AB上存在一點M，滿足CM⊥AB，則點M的坐標為________． 　[設M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由題意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴點M的坐標為.] 三、解答題 9.如圖3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．求證：AM⊥平面BDF. 圖3215 [證明]　以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M. 所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)． 設n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 則n⊥，n⊥， 所以? 取y＝1，得x＝1，z＝－. 則n＝(1,1，－)． 因為＝. 所以n＝－ ，得n與共線． 所以AM⊥平面BDF. 10．如圖3216所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD． 圖3216 求證：平面DEA⊥平面ECA． [證明]　建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，不妨設CA＝2， 則CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)． 所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)． 分別設平面CEA與平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 則即 解得 即 解得 不妨取n1＝(1，－，0)， n2＝(，1,2)， 因為n1n2＝0，所以n1⊥n2. 所以平面DEA⊥平面ECA． [能力提升練] 1．兩平面α，β的法向量分別為μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，則y＋z的值是(　　) A．－3　 B．6　　　C．－6　　　D．－12 B　[∵μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)分別為α，β的法向量且α⊥β， ∴μ⊥v， 即μv＝0， －6＋y＋z＝0 ∴y＋z＝6.] 2.如圖3217，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點．若點Q在線段B1P上，則下列結論正確的是(　　) 圖3217 A．當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面A1BD B．當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥平面A1BD C．在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ與平面A1BD垂直 D　[以A1為原點，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則取z＝－2，則x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一個法向量為n＝(2,1，－2)．假設DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，則＝＋＝，因為也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)與＝共線，于是有＝＝＝成立，但此方程關于λ無解．故不存在DQ與平面A1BD垂直，故選D．] 3.如圖3218，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分別為PB，AD中點，則直線EF與平面PBC的位置關系是________. 【導學號：46342173】 圖3218 垂直　[以D為原點，DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則E，F，∴＝，平面PBC的一個法向量n＝(0,1,1)，∵＝－n， ∴∥n， ∴EF⊥平面PBC．] 4．設A是空間任意一點，n是空間任意一個非零向量，則適合條件n＝0的點M的軌跡是________． 過點A且與向量n垂直的平面　[∵n＝0，∴⊥n或＝0，∴點M在過點A且與向量n垂直的平面上．] 5．如圖3219，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90，側面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD． 圖3219 (1)求證：CD⊥平面PAC； (2)側棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由． [解]　因為∠PAD＝90，所以PA⊥AD．又因為側面PAD⊥底面ABCD，且側面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因為∠BAD＝90，所以AB，AD，AP兩兩垂直．分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系． 設AD＝2，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)． (1)證明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)， 可得＝0，＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD． 又因為AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC． (2)設側棱PA的中點是E，則E，＝. 設平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，則因為＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，則y＝1，z＝2，所以平面PCD的一個法向量為n＝(1,1,2)． 所以n＝(1,1,2)＝0，所以n⊥. 因為BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD． 綜上所述，當E為PA的中點時，BE∥平面PCD．