2018年秋高中數(shù)學 專題強化訓練2 推理與證明 新人教A版選修1 -2-.doc

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專題強化訓練(二) 推理與證明 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．“因為指數(shù)函數(shù)y＝ax是增函數(shù)(大前提)，而y＝是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)y＝是增函數(shù)(結論)”，以上推理的錯誤的原因是(　　) A．大前提錯誤導致結論錯 B．小前提錯誤導致結論錯 C．推理形式錯誤導致結論錯 D．大前提和小前提錯誤導致結論錯 A　[推理形式沒有錯誤，而大前提“y＝ax是增函數(shù)”是不正確的，當0＜a＜1時，y＝ax是減函數(shù)；當a＞1時，y＝ax是增函數(shù)．故選A.] 2．用反證法證明命題“＋是無理數(shù)”時，假設正確的是(　　) 【導學號：48662097】 A．假設是有理數(shù) B．假設是有理數(shù) C．假設或是有理數(shù) D．假設＋是有理數(shù) D　[應對結論進行否定，則＋不是無理數(shù)，即＋是有理數(shù)．] 3．在平面直角坐標系內，方程＋＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間直角坐標系內，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為(　　) A．＋＋＝1　 B．＋＋＝1 C．＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1 A　[類比到空間應選A.另外也可將點(a,0,0)代入驗證．] 4．下面四個推理不是合情推理的是(　　) A．由圓的性質類比推出球的有關性質 B．由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和都是180，歸納出所有三角形的內角和都是180 C．某次考試張軍的成績是100分，由此推出全班同學的成績都是100分 D．蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物，所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的 C　[逐項分析可知，A項屬于類比推理，B項和D項屬于歸納推理，而C項中各個學生的成績不能類比，不是合情推理．] 5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定(　　) 【導學號：48662098】 A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正負都可能 A　[f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)， 由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)． 可得f(a)＋f(b)>0. 同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0. 所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故選A.] 二、填空題 6. 從1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，概括出第n個式子為________． 1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)　[式子左邊是項數(shù)的平方和且正、負相間，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以用(－1)n－1調節(jié)，左子右邊是前n個正整數(shù)的和，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，用(－1)n＋1調節(jié)．] 7．在平面上，我們用一直線去截正方形的一個角，那么截下一個直角三角形，按如圖所標邊長，由勾股定理有c2＝a2＋b2.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖22截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1、S2、S3表示三個側面面積，S表示截面面積，那么類比得到的結論是________． 圖22 S2＝S＋S＋S　[類比如下：正方形?正方體；截下直角三角形?截下三側面兩兩垂直的三棱錐；直角三角形斜邊平方?三棱錐底面面積的平方；直角三角形兩直角邊平方和?三棱錐三個側面面積的平方和，結論S2＝S＋S＋S.(這個結論是正確的，證明略)] 8．觀察下列等式：＝1－，＋＝1－，＋＋＝1－，……，由以上等式推測到一個一般的結論：對于n∈N*，＋＋…＋＝________. 【導學號：48662099】 1－　[由已知中的等式：＝1－ ＋＝1－， ＋＋＝1－，…， 所以對于n∈N*，＋＋…＋＝1－.] 三、解答題 9. 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求證a，b中至少有一個是非負數(shù)． [證明]　假設a，b中沒有一個是非負數(shù)，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0. 又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，這與假設所得結論矛盾，故假設不成立， 所以，a，b中至少有一個是非負數(shù)． 10．已知a＋b＋c＝abc，求證：＋＋＝. 【導學號：48662100】 [證明]　欲證原式，即證：a(1－b2)(1－c2)＋b(1－a2)(－c2)＋c(1－a2)(1－b2)＝4abc. 左邊全部展開，得 左＝abc(ab＋bc＋ca)－ab2－ac2－ba2－bc2－ca2－cb2＋a＋b＋c， 利用abc＝a＋b＋c，得： 上式＝4abc＝右邊． 故原等式成立． [能力提升練] 1．已知p＝a＋(a>2)，q＝2－a2＋4a－2 (a>2)，則(　　) A．p>q B．p2)， ∴p>q.] 2．對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m＋n＝(　　) 【導學號：48662101】 A．10 B．11 C．12 D．13 B　[∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝6＝36， ∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n3的分解中最小的數(shù)是21， ∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.] 3．觀察①sin2 10＋cos2 40＋sin 10cos 40＝；②sin2 6＋cos2 36＋sin 6cos 36＝.由兩式的結構特點可提出一個猜想的等式為________． sin2α＋cos2(30＋α)＋sin αcos(30＋α)＝　[觀察40－10＝30，36－6＝30， 由此猜想： sin2 α＋cos2(30＋α)＋sin αcos(30＋α)＝. 可以證明此結論是正確的，證明如下： sin2 α＋cos2(30＋α)＋sin αcos(30＋α)＝＋＋[sin (30＋2α)－sin 30]＝1＋[cos (60＋2α)－cos 2α]＋sin(30＋2α)－＝1＋[－2sin (30＋2α)sin 30]＋sin (30＋2α)－＝－sin(30＋2α)＋sin(30＋2α)＝.] 4．給出下列不等式： ①a＞b＞0，且a2＋＝1，則ab＞a2b2；②a，b∈R，且ab＜0，則≤－2；③a＞b＞0，m＞0，則＞；④≥4(x≠0)． 其中正確不等式的序號為________. 【導學號：48662102】 ①②④　[①a>b>0，∴a≠. ∴a2＋＝1＞2＝ab. ∴1－ab>0.∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0.∴ab>a2b2.①正確． ②＋2＝. ∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2.②正確； ③－＝. ∵a>b>0，m>0，∴b(b＋m)>0，b－a<0. ∴<0.∴＜.③不正確． ④＝|x|＋≥4.④正確．] 5．在圓x2＋y2＝r2(r>0)中，AB為直徑，C為圓上異于A、B的任意一點，則有kACkBC＝－1.你能用類比的方法得出橢圓＋＝1(a>b>0)中有什么樣的結論？并加以證明. 【導學號：48662103】 [解]　類比得到的結論是： 在橢圓＋＝1(a>b>0)中，A、B分別是橢圓長軸的左右端點，點C(x，y)是橢圓上不同于A、B的任意一點，則kACkBC＝－. 證明如下：設A(x0，y0)為橢圓上的任意一點，則A關于中心的對稱點B的坐標為B(－x0，－y0)，點P(x，y)為橢圓上異于A，B兩點的任意一點，則kAPkBP＝＝. 由于A、B、P三點在橢圓上，∴ 兩式相減得，＋＝0， ∴＝－，即kAPkBP＝－. 故在橢圓＋＝1(a>b>0)中，長軸兩個端點為A、B，C為異于A、B的橢圓上的任意一點，則有kACkBC＝－.