2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 第一章 小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案.doc
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第一章 解三角形--小結(jié)與復(fù)習(xí) 一、教學(xué)目標(biāo): 知識(shí)與技能: 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)解三角形的基本問題; 過程與方法: 通過對(duì)典型問題的解決,提高知識(shí)的綜合運(yùn)用能力,加深對(duì)正、余弦定理的理解; 情感、態(tài)度與價(jià)值觀: 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值;同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 二.重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn):運(yùn)用正、余弦定理解決解三角形問題 難點(diǎn):對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力 三、教材與學(xué)情分析 首先通過對(duì)知識(shí)的梳理,達(dá)到知識(shí)的系統(tǒng)化。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過程,根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系,鋪開例題,設(shè)計(jì)變式,幫助學(xué)生掌握解法,引導(dǎo)學(xué)生分析問題,提高解題能力。 四、教學(xué)方法 問題引導(dǎo),主動(dòng)探究,啟發(fā)式教學(xué). 五、教學(xué)過程 (一)知識(shí)梳理: 1: 正弦定理和余弦定理 (1)用正弦定理: ①知兩角及一邊解三角形; ②知兩邊及其中一邊所對(duì)的角解三角形(要討論解的個(gè)數(shù)). (2)用余弦定理: ①知三邊求三角; ②知道兩邊及這兩邊的夾角解三角形. 2:應(yīng)用舉例 ①距離問題, ②高度問題, ③ 角度問題, ④計(jì)算問題. (二)典例解析 題型一. 利用正、余弦定理解三角形 例1.在△ABC中,∠BAC=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長. [解] 設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC,B,C所對(duì)邊的長分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90, 所以a=3.又由正弦定理得sin B===,由題設(shè)知0<B<, 所以cos B===. 在△ABD中,因?yàn)锳D=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B, 故由正弦定理得AD====. [規(guī)律方法] 1.正弦定理是一個(gè)連比等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的. 2.(1)運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角,求該三角形的其它邊角的問題時(shí),首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解,注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用. [變式訓(xùn)練1](1)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊, 且(b-c)(sin B+sin C)= (a-c)sin A,則角B的大小為( ) A.30 B.45 C.60 D.120 (2)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=________. (1)A (2) [(1)由正弦定理==及(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A得(b-c)(b+c)=(a-c)a, 即b2-c2=a2-ac,∴a2+c2-b2=ac.又∵cos B=,∴cos B=,∴B=30. (2)在△ABC中,∵cos A=,cos C=,∴sin A=,sin C=, ∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.又∵=,∴b===.] 2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 第一章 小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案 例2.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,滿足acos A=bcos B,則△ABC的形狀為( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 [因?yàn)閍cos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以△ABC為等腰三角形或直角三角形,故選D. [規(guī)律方法] 1.判定三角形形狀的途徑:(1)化邊為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系.(2)化角為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁. 2.無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式;要移項(xiàng)提取公因式,否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能. [變式訓(xùn)練2] 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若2sin Acos B=sin C, 那么△ABC一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等邊三角形 [法一:由已知得2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,即sin(A-B)=0, 因?yàn)椋校糀-B<π,所以A=B. 法二:由正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a=c?a2=b2?a=b.] 題型三. 與三角形面積有關(guān)的問題 例3.已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)設(shè)B=90,且a=,求△ABC的面積. [解] (1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cos B==. (2)由(1)知b2=2ac. 因?yàn)锽=90,由勾股定理得a2+c2=b2, 故a2+c2=2ac,進(jìn)而可得c=a=.所以△ABC的面積為=1. [規(guī)律方法] 三角形面積公式的應(yīng)用方法: (1)對(duì)于面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式. (2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化. [變式訓(xùn)練3] △ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面積為,求△ABC的周長. [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C,故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=,所以C= (2)由已知得absin C=.又C=,所以ab=6 由已知及余弦定理得a2+b2-2abcos C=7,故a2+b2=13,從而(a+b)2=25. 所以△ABC的周長為5+ 題型四. 解三角形應(yīng)用問題 例4. 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=______m. 100 [由題意,在△ABC中,∠BAC=30,∠ABC=180-75=105,故∠ACB=45. 又AB=600 m,故由正弦定理得=,解得BC=300 m. 在Rt△BCD中,CD=BCtan 30=300=100(m).] 例5.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45方向、距離A處(-1)海里的B處有一艘走私船;在A處北偏西75方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船.同時(shí),走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多長時(shí)間? [解] 設(shè)緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船,則有CD=10t,BD=10t. 在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=120. 根據(jù)余弦定理,可得BC==, 由正弦定理,得sin∠ABC=sin∠BAC==,∴∠ABC=45, 因此BC與正北方向垂直.于是∠CBD=120.在△BCD中,由正弦定理,得 sin∠BCD===,∴∠BCD=30,又=, 即=,得t=.∴當(dāng)緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船,最少要花小時(shí). [規(guī)律方法] 應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題需要下列三步: (1)根據(jù)題意,畫出示意圖,并標(biāo)出條件; (2)將所求問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中(如本例借助方位角構(gòu)建三角形),通過合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解; (3)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義,得出正確答案. [變式訓(xùn)練4] 江岸邊有一炮臺(tái)高30 m,江中有兩條船,船與炮臺(tái)底部在同一水平面上,由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角,則兩條船相距________m. 10 [如圖,OM=AOtan 45=30(m), ON=AOtan 30=30=10(m), 在△MON中,由余弦定理得, MN===10(m).] [變式訓(xùn)練5] 如圖,從某電視塔CO的正東方向的A處,測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0,在電視塔的南偏西60的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5,AB間的距離為35米,則這個(gè)電視塔的高度為________米. 5 可知∠CAO=60,∠AOB=150,∠OBC=45,AB=35米. 設(shè)OC=x米,則OA=x米,OB=x米.在△ABO中,由余弦定理, 得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos ∠AOB,即352=+x2-x2cos 150, 整理得x=5,所以此電視塔的高度是5米.] [變式訓(xùn)練6] 如圖,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值. [解] 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120,由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800?BC=20. 由正弦定理,得=?sin∠ACB=sin∠BAC=. 由∠BAC=120,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=. 由θ=∠ACB+30,得cos θ=cos(∠ACB+30)=-sin∠ACB sin 30=. 六、課堂小結(jié) 1.在解三角形時(shí),應(yīng)熟練運(yùn)用內(nèi)角和定理:A+B+C=π,++=中互補(bǔ)和互余的情況,結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù). 2.判定三角形的形狀,主要有兩種途徑:(1)化邊為角;(2)化角為邊,并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換. 3.解三角形應(yīng)用題的兩種情形 (1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解. (2)已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個(gè)三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解. 七、課后作業(yè) 1.課時(shí)練與測(cè) 八、教學(xué)反思- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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