2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練15 離散型隨機(jī)變量的方差 新人教A版選修2-3.doc

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課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十五) 離散型隨機(jī)變量的方差 (時(shí)間45分鐘) 題型對點(diǎn)練(時(shí)間20分鐘) 題組一　求離散型隨機(jī)變量的方差 1．已知X的分布列為 X 1 2 3 4 P 則D(X)的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　∵E(X)＝1＋2＋3＋4＝，∴D(X)＝2＋2＋2＋2＝. [答案]　C 2．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值與方差分別為(　　) A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝，D(X)＝ C．E(X)＝0，D(X)＝ D．E(X)＝，D(X)＝1. [解析]　由題意知，隨機(jī)變量X的分布列為 X －1 1 P ∴E(X)＝(－1)＋1＝0，D(X)＝(－1－0)2＋(1－0)2＝1. [答案]　A 3．有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字之和為X，求D(X)． [解]　由題知X＝6,9,12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝. ∴X的分布列為 X 6 9 12 P ∴E(X)＝6＋9＋12＝7.8. D(X)＝(6－7.8)2＋(9－7.8)2＋(12－7.8)2＝3.36. 題組二　離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì) 4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ m n P a 若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于(　　) A．0 B．2 C．1 D. [解析]　由題意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以當(dāng)n＝2時(shí)，D(ξ)取最小值為0. [答案]　A 5．已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是(　　) A．6,2.4 B．2,2.4 C．2,5.6 D．6,5.6 [解析]　若兩個(gè)隨機(jī)變量Y，X滿足一次關(guān)系式Y(jié)＝aX＋b(a，b為常數(shù))，當(dāng)已知E(X)，D(X)時(shí)，則有E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)．由已知隨機(jī)變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－100.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝100.60.4＝2.4. [答案]　B 6．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x10，y>0，隨機(jī)變量X的方差D(X)＝，則x＋y＝________. X 1 2 3 P x y x [解析]　由題意，得2x＋y＝1. E(X)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2， D(X)＝＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x， 即2x＝，解得x＝. ∴y＝1－2＝， ∴x＋y＝＋＝. [答案]　 5．一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分，某學(xué)生選對任一題的概率為0.6，則此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中成績的均值與方差分別為________． [解析]　設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中選對答案的題目的個(gè)數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)(成績)為Y，則Y＝4X.由題意知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝250.6＝15，D(X)＝250.60.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42D(X)＝166＝96，所以該學(xué)生在這次測驗(yàn)中成績的均值與方差分別是60與96. [答案]　60,96 三、解答題 6．設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽取一個(gè)，并且取出不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù)． (1)求X的分布列、均值及方差； (2)求Y的分布列、均值及方差． [解]　(1)X的可能值為0,1,2. 若X＝0，表示沒有取出次品， 其概率為P(X＝0)＝＝， 同理，有P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0＋1＋2＝. D(X)＝2＋2＋2＝. (2)Y的可能值為1,2,3，顯然X＋Y＝3. P(Y＝1)＝P(X＝2)＝， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝， P(Y＝3)＝P(X＝0)＝. ∴Y的分布列為 Y 1 2 3 P ∴Y＝－X＋3， ∴E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝3－＝， ∴D(Y)＝(－1)2D(X)＝. 7．設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球、b個(gè)黃球、c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出1個(gè)紅球得1分，取出1個(gè)黃球得2分，取出1個(gè)藍(lán)球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每個(gè)球取到的機(jī)會均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列． (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E(η)＝，D(η)＝，求a∶b∶c. [解]　(1)根據(jù)題意，得ξ的所有可能取值為2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)根據(jù)題意，知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以E(η)＝＋＋＝， D(η)＝2＋2＋2＝， 化簡 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.