2019年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題八 選考系列 8.1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí).doc

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8.1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 【課時(shí)作業(yè)】 A級(jí) 1．已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程． 解析：　(1)ρ＝2?ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因?yàn)棣?－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程為x＋y＝1.化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. 2．(2018西安市八校聯(lián)考)以平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝4cos θ. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|. 解析：　(1)由ρsin2θ＝4cos θ，可得ρ2sin2θ＝4ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)將直線l的參數(shù)方程代入y2＝4x，整理得4t2＋8t－7＝0， ∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－， ∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝. 3．(2018合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)．x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ－2cos θ＝0. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若曲線C1上有一動(dòng)點(diǎn)M，曲線C2上有一動(dòng)點(diǎn)N，求|MN|的最小值． 解析：　(1)由ρ－2cos θ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0. ∵ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，∴x2＋y2－2x＝0. 即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1. 設(shè)曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)M(3cos θ，2sin θ)， 由動(dòng)點(diǎn)N在圓C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1. ∵|MC2|＝＝， ∴當(dāng)cos θ＝時(shí)，|MC2|min＝， ∴|MN|min＝|MC2|min－1＝－1. 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線C2的方程為y＝x，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求＋. 解析：　(1)曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－4x－4y＋7＝0，極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0， 直線C2的方程為y＝x，極坐標(biāo)方程為θ＝. (2)直線C2與曲線C1聯(lián)立，可得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝， 所以＋＝＝. 5．(2018全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解析：　(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)，<α<)． 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 . 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝. (1)求C的普通方程和l的傾斜角； (2)設(shè)點(diǎn)P(0,2)，l和C交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|. 解析：　(1)由消去參數(shù)α，得＋y2＝1， 即C的普通方程為＋y2＝1. 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 將代入(*)，化簡(jiǎn)得y＝x＋2， 所以直線l的傾斜角為. (2)由(1)知，點(diǎn)P(0,2)在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))， 代入＋y2＝1并化簡(jiǎn)，得5t2＋18t＋27＝0， Δ＝(18)2－4527＝108>0， 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝. B級(jí) 1．(2018全國(guó)卷Ⅰ)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． 解析：　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設(shè)知，C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)k＝－時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)． 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k＝0時(shí)，l1與C2沒(méi)有公共點(diǎn)； 當(dāng)k＝時(shí)，l2與C2沒(méi)有公共點(diǎn)． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ＝2.矩形ABCD內(nèi)接于曲線C1，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和.將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半，得到曲線C2. (1)寫出C，D的直角坐標(biāo)及曲線C2的參數(shù)方程； (2)設(shè)M為C2上任意一點(diǎn)，求|MA|2＋|MB|2＋|MC|2＋|MD|2的取值范圍． 解析：　(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，矩形ABCD內(nèi)接于曲線C1，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和，利用對(duì)稱性可得C，D.將C，D兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別化為直角坐標(biāo)為C(－，－1)，D(，－1)． 曲線C1的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，將其化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. 設(shè)曲線C2上的任意一點(diǎn)P(x，y)，曲線C1上的任意一點(diǎn)P′(x′，y′)，則可得 將其代入曲線C1的直角坐標(biāo)方程，得x2＋(2y)2＝4， ∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋4y2＝4. 故曲線C2的參數(shù)方程為 (2)由題意，知A(，1)，B(－，1)． 設(shè)M(2cos θ，sin θ)，則|MA|2＋|MB|2＋|MC|2＋|MD|2＝(2cos θ－)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋)2＋(sin θ－1)2＋(2cos θ＋)2＋(sin θ＋1)2＋(2cos θ－)2＋(sin θ＋1)2＝12cos2θ＋20∈[20,32]． 即取值范圍為[20,32]．