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綜合檢測(cè)
時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．設(shè)全集I＝{x|－3
0.
答案：D
3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是( )
A．y＝ B．y＝e－x
C．y＝－x2＋1 D．y＝lg |x|
解析：偶函數(shù)的有C、D兩項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，y＝lg |x|單調(diào)遞增，故選C.
答案：C
4．設(shè)x0是方程ln x＋x＝4的解，則x0屬于區(qū)間( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：設(shè)f(x)＝ln x＋x－4，則有f(1)＝ln 1＋1－4＝－3<0.f(2)＝ln 2＋2－4＝
ln 2－2<1－2＝－1<0，f(3)＝ln 3＋3－4＝ln 3－1>1－1＝0.
∴x0∈(2,3)．
答案：C
5．3log34－27－lg 0.01＋ln e3＝( )
A．14 B．0
C．1 D．6
解析：原式＝4－－lg 0.01＋3＝7－－lg 10－2＝9－9＝0.
答案：B
6．若y＝log3x的反函數(shù)是y＝g(x)，則g(－1)＝( )
A．3 B．－3
C. D．－
解析：由題設(shè)可知g(x)＝3x，∴g(－1)＝3－1＝.
答案：C
7．若實(shí)數(shù)x，y滿足|x|－ln＝0，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致是( )
解析：由|x|＝ln，則y＝.
答案：B
8．已知f(x)＝logx，g(x)＝2x－1，則函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．不確定
解析：在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象(圖略)，從而判斷兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
答案：B
9．函數(shù)f(x)＝－的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，
當(dāng)x>1時(shí)f(x)<0，當(dāng)x<1時(shí)f(x)>0，所以函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，故選A.
答案：A
10．某新品牌電視投放市場(chǎng)后第1個(gè)月銷(xiāo)售100臺(tái)，第2個(gè)月銷(xiāo)售200臺(tái)，第3個(gè)月銷(xiāo)售400臺(tái)，第4個(gè)月銷(xiāo)售700臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷(xiāo)量y與投放市場(chǎng)月數(shù)x之間的關(guān)系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝502x D．y＝100log2x＋100
解析：代入驗(yàn)證即可．
答案：B
11．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上滿足f(－6)>1，f(6)<1，則方程f(x)＝1在[－6,6]內(nèi)的解的個(gè)數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：設(shè)g(x)＝f(x)－1，則由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一個(gè)零點(diǎn)．
由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
易知當(dāng)a>0時(shí)g(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)a<0時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，
即函數(shù)g(x)為單調(diào)函數(shù)，故g(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)．
因此方程f(x)＝1僅有一個(gè)根．故選A.
答案：A
12．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單價(jià)：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為( )
A．45.666萬(wàn)元 B．45.6萬(wàn)元
C．45.56萬(wàn)元 D．45.51萬(wàn)元
解析：設(shè)在甲地銷(xiāo)售x輛，在乙地則銷(xiāo)售(15－x)輛，
∴總利潤(rùn)S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)
∴當(dāng)x＝10時(shí)，S有最大值45.6萬(wàn)元．
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x－3，
則f(－2)＝________.
解析：∵f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(－2)＝f(2)＝22－3＝1.
答案：1
14．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一個(gè)元素，則a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：集合A有為?和A中只有一個(gè)元素兩種情況，
a＝0時(shí)，A＝{}滿足題意，
a≠0時(shí)，則由Δ＝9－8a≤0得a≥.
答案：a≥或a＝0
15．用二分法求方程ln x＝在[1,2]上的近似解時(shí)，取中點(diǎn)c＝1.5，則下一個(gè)有根區(qū)間為_(kāi)_______．
解析：令f(x)＝ln x－，則f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e>0，
f(1.5)＝f()＝ln－＝ln－ln e
e＝>，∴l(xiāng)n e>ln，即f(1.5)<0.
∴下一個(gè)有根區(qū)間為(1.5,2)．
答案：(1.5,2)
16. 給出下列四個(gè)命題：
①a>0且a≠1時(shí)函數(shù)y＝logaax與函數(shù)y＝alogax表示同一個(gè)函數(shù)．
②奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)．
③函數(shù)y＝3(x－1)2的圖象可由y＝3x2的圖象向右平移1個(gè)單位得到．
④若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2]，則函數(shù)f(2x)定義域?yàn)閇0,4]．
其中正確命題的序號(hào)是________(填上所有正確命題的序號(hào))
解析：①兩函數(shù)定義域不同，y＝logaax定義域?yàn)镽，y＝alogax定義域(0，＋∞)．
②如果函數(shù)在x＝0處沒(méi)有定義，圖象就不過(guò)原點(diǎn)，如y＝.
③正確．
④f(x)定義域[0,2]∴f(2x)定義域0≤2x≤2即0≤x≤1，
∴f(2x)定義域?yàn)閇0,1]．
答案：③
三、解答題(本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿分12分)已知A＝{x|x2＋2x－8＝0}，
B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}，
C＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}．
若A∩C＝?，B∩C≠?，求a的值．
解析：A＝{2，－4}，B＝{2,3}，
由A∩C＝?知2?C，－4?C，
又由B∩C≠?知3∈C，
∴32－3a＋a2－19＝0解得a＝－2或a＝5，
當(dāng)a＝－2時(shí)，C＝{3，－5}，滿足A∩C＝?，
當(dāng)a＝5時(shí)，C＝{3,2}，A∩C＝{2}≠?，(舍去)，
∴a＝－2.
18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R)
(1)當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一個(gè)根，求f(x)的表達(dá)式．
(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解析：(1)因?yàn)閒(－1)＝0，所以a－b＋1＝0
因?yàn)榉匠蘤(x)＝0有且只有一個(gè)根，
∴Δ＝b2－4a＝0，
∴b2－4(b－1)＝0，
即b＝2，a＝1，
∴f(x)＝(x＋1)2.
(2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
＝x2－(k－2)x＋1
＝(x－)2＋1－
∴當(dāng)≥2或≤－2時(shí)
即k≥6或k≤－2時(shí)，g(x)是單調(diào)函數(shù)．
19．(本小題滿分12分)已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，
且對(duì)任意x，y∈(0，＋∞)，都有f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)＋f≤2.
解析：(1)∵f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，且對(duì)任意x，y∈(0，＋∞)，都有f ＝f(x)－f(y)，
∴f(1)＝f()＝f(1)－f(1)＝0.
(2)若f(6)＝1，
則f(x＋3)＋f ≤2＝1＋1＝f(6)＋f(6)，
∴f(x＋3)－f(6)≤f (6)－f ，
即f ≤f(6x)，
∴0＜≤6x，
解得x≥.
∴原不等式的解集為{x|x≥}．
20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且f()＝.
(1)求實(shí)數(shù)m，n的值；
(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)；
(3)解關(guān)于t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.
解析：(1)∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
∴n＝0.
又∵f＝＝，
∴m＝1.
(2)由(1)得，f(x)＝.
設(shè)－10,1＋x>0,1＋x>0，
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)．
(3)∵f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，
由f(t－1)＋f(t)<0，得f(t)<－f(t－1)＝f(1－t)．
又∵f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)，
∴
解得010)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，血液中含藥量為第二、三次的和，
即－(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4.
解得t3＝13.5小時(shí)，故第四次服藥應(yīng)在20：30.
22．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇－1,1]，若對(duì)于任意的x，y∈[－1,1]，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0時(shí)，有f(x)>0，
(1)證明： f(x)為奇函數(shù)；
(2)證明：f(x)在[－1,1]上是增加的．
(3)設(shè)f(1)＝1，若f(x)0，
∴f(x)在[－1,1]上是增加的．
(3)f(x)在[－1,1]上是增加的，f(x)max＝f(1)＝1，使f(x)1，即m－2am＋1>0，
令g(a)＝m－2am＋1＝－2am＋m＋1，
要使g(a)>0時(shí)，a∈[－1,1]恒成立，
則即
∴－
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