2019-2020年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-2-1空間向量與平行關(guān)系 3-2-2空間向量與垂直關(guān)系 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-2-1空間向量與平行關(guān)系 3-2-2空間向量與垂直關(guān)系 教案 （一）教學目標 1.知識與技能：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，能用向量方法判斷有關(guān)直線和平面平行關(guān)系的立體幾何問題． 2.過程與方法：通過用向量方法解決立體幾何中的平行問題的過程，體會向量運算的幾何意義． 3.情感、態(tài)度與價值觀：引導學生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中的受挫感和成功感，培養(yǎng)合作意識和創(chuàng)新精神，同時感受數(shù)學的形式美與簡潔美，從而激發(fā)學習興趣． （二）教學重點與難點 重點：用向量方法判斷有關(guān)直線和平面平行關(guān)系問題． 難點：空間直角坐標系的正確建立，空間向量的運算及其坐標表示；用向量語言證明立體幾何中有關(guān)平行關(guān)系的問題． （三）教學過程 活動一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 （5分鐘） 問題1：在空間中，用空間向量解決立體幾何的步驟？　　 問題2：空間中的角度有多少種？用空間向量如何解決？ 今天我們將在前面學習的基礎(chǔ)上，進一步學習空間向量來表示并進行解決一些平行的應用． 點題：今天我們學習“用空間向量方法求平行問題” 活動二：師生交流、進入新知 問題3：回憶立體幾何中有那些平行關(guān)系？如何用直線的方向向量與平面的法向量來判斷？ ∥a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2) l∥α?au＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 α∥β?u∥v?(a3，b3，c3)＝k(a4，b4，c4) 例1：如圖3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點，求證：AB1∥平面DBC1. 【思路探究】　→→ 【自主解答】　以A為坐標原點建立空間直角坐標系． 設(shè)正三棱柱的底面邊長為a(a>0)，側(cè)棱長為b(b>0)， 則A(0,0,0)，B(a，，0)，B1(a，，b)，C1(0，a，b)，D(0，，0)， ∴＝(a，，b)，＝(－a,0,0)，＝(0，，b)． 設(shè)平面DBC1的一個法向量為n＝(x，y，z)， 則∴ 不妨令y＝2b，則n＝(0,2b，－a)．由于n＝ab－ab＝0，因此⊥n. 又AB1?平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 例2：(12分)如圖3－2－6，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90，BF＝FC，H為BC的中點． 求證：FH∥平面EDB. 圖3－2－6 【思路點撥】　先通過推理證明FH⊥平面ABCD，建立空間直角坐標系，再設(shè)證明、、共面． 【規(guī)范解答】　∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC. 又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.2分 又BF＝FC，H為BC的中點，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC. 以H為坐標原點，為x軸正方向，為z軸正方向． 建立如圖所示的空間直角坐標系． 設(shè)BH＝1，則B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,0,1).6分 ∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2，0)， 設(shè)＝λ＋μ＝λ(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分 ∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)， ∴，解得 ∴＝－∴向量，，共面． 又HF不在平面EDB內(nèi)，∴HF∥平面EDB. 活動三：歸納整理、提高認識 1．在空間中，平行有幾種情況？　　 2．如何用空間向量求各種平行關(guān)系？　 3.2.2空間向量與垂直關(guān)系 （一）教學目標 1.知識與技能：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，能用向量方法判斷有關(guān)直線和平面垂直關(guān)系的立體幾何問題． 2.過程與方法：通過用向量方法解決立體幾何中的垂直問題的過程，體會向量運算的幾何意義．通過本節(jié)教學使學生理解體會用向量方法解決立體幾何問題的思想及過程． 3.情感、態(tài)度與價值觀：引導學生用聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中的受挫感和成功感，培養(yǎng)合作意識和創(chuàng)新精神，同時感受數(shù)學的形式美與簡潔美，從而激發(fā)學習興趣． （二）教學重點與難點 重點：用向量方法判斷有關(guān)直線和平面垂直關(guān)系問題． 難點：空間直角坐標系的正確建立，空間向量的運算及其坐標表示；用向量語言證明立體幾何中有關(guān)垂直關(guān)系的問題． （三）教學過程 活動一：創(chuàng)設(shè)情景、引入課題 問題1：回憶立體幾何中有那些平行關(guān)系？如何用直線的方向向量與平面的法向量來判斷？ 問題2：上一節(jié)課中我們討論了幾種平行關(guān)系？用空間向量如何解決？ 今天我們將在前面學習的基礎(chǔ)上，進一步學習空間向量來表示并進行解決一些垂直的應用． 點題：今天我們學習“用空間向量方法求垂直問題” 活動二：師生交流、進入新知 問題3：回憶立體幾何中有那些垂直關(guān)系？如何用直線的方向向量與平面的法向量來判斷？ l⊥m?ab＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a3，b3，c3)(k∈R)． α⊥β?u⊥v?uv＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 圖3－2－10 例1：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝CC1. 求證：AB1⊥MN. 解答：法一　設(shè)＝a，＝b，＝c，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，ac＝bc＝0，＝a＋c，＝(a＋b)， ＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c， ∴＝(a＋c)(－a＋b＋c)＝－＋cos 60＋0－0＋0＋＝0. ∴⊥，∴AB1⊥MN. 法二　設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1. 以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．由已知得 A(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0,1)， ∵M為BC中點，∴M(，，0)．∴＝(－，，)，＝(1,0,1)， ∴＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN. 例2：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點，求證：EF⊥平面B1AC. 【解答】　法一　設(shè)＝a，＝c，＝b，則＝＋＝(＋) ＝(＋)＝(－a＋b＋c)∵＝＋＝a＋b， ∴＝(－a＋b＋c)(a＋b)＝(b2－a2＋ca＋cb)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0， ∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC. 法二　設(shè)正方體的棱長為2，建系如圖 則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)． ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而＝(－1，－1,1)(0,2,2)＝(－1)0＋(－1)2＋12＝0， ＝(－1，－1,1)(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC. 例3：如圖3－2－12，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【解答】　由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直，以B為原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，則＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－2,0，)．設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1＝(x，y，z)， 則? 令x＝1，得y＝1，∴n1＝(1,1,0)．設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2＝(x，y，z)， 則? 令z＝4，得x＝1，y＝－1. ∴n2＝(1，－1,4)．∵n1n2＝11＋1(－1)＋04＝0， ∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 用空間向量求各種垂直關(guān)系的步驟： 1．用空間向量解決立體幾何中的垂直問題，主要運用直線的方向向量與平面的法向量，同時也需要借助空間中已有的位置關(guān)系及關(guān)于垂直的定理． 2．應用向量證明垂直問題的基本步驟： (1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標系，也可以不建系，選取適當?shù)幕?，用空間向量表示問題中涉及的點、直線和平面； (2)通過向量運算研究垂直問題； (3)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題． 活動三：歸納整理、提高認識 1．在空間中，垂直有幾種情況？　　 2．如何用空間向量求各種垂直關(guān)系？