2018-2019學年高中數(shù)學 考點30 平面與平面垂直的性質庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點30 平面與平面垂直的性質 要點闡述 面與平面垂直的性質定理 文字語言 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直 符號語言 ?a⊥β 圖形語言 作用 ①面面垂直?線面垂直 ②作面的垂線 典型例題 【例】如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________． 【答案】 【解析】取CD的中點G，連接MG，NG． 因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG=2，NG=． 因為平面ABCD⊥平面DCEF， 所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN==． 小試牛刀 1．下列命題中錯誤的是(　　) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β 【答案】D 【解析】由平面與平面垂直的有關性質可以判斷出D項錯誤． 2．已知直線和平面滿足，，，則（　?。? A． B．或 C． D．或 【答案】D 3．已知直線m，n，平面α，β，且m⊥α，n?β，給出下列命題： ①若α∥β，則m⊥n； ②若α⊥β，則m∥n； ③若m⊥n，則α∥β； ④若m∥n，則α⊥β． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 4．設平面α⊥平面β，在平面α內的一條直線a垂直于平面β內的一條直線b，則（　?。? A．直線a必垂直于平面β B．直線b必垂直于平面α C．直線a不一定垂直于平面β D．過a的平面與過b的平面垂直 【答案】C 【解析】當b=α∩β時，必有a⊥β，當b不是α與β的交線時，直線a不一定垂直于平面β． 5．已知α，β是兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同的直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：________． 【答案】②③④?①(或①③④?② 【解析】由α⊥β，n⊥β，m⊥α，可以推出m⊥n；由m⊥n，n⊥β，m⊥α，可以推出α⊥β． 6．如圖，三棱錐PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90，平面PAC⊥平面ABC．求證：平面PAB⊥平面PBC． 【解析】∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， ∴PA⊥平面ABC．又BC?平面ABC， ∴PA⊥BC． 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB， PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB． 又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC． 考題速遞 1．已知兩個平面垂直，則下列命題中正確命題的個數(shù)是(　　) ①一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線； ②一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面內的無數(shù)條直線； ③一個平面內的任意一條直線必垂直于另一個平面； ④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則該垂線必垂直于另一個平面． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 2．若m，n，l是三條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．若m?β，α⊥β，則m⊥α B．若α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β C．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥β D．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ 【答案】C 【解析】對于A，m與α可以平行，也可以斜交；對于B，α與β也可以相交；C顯然正確；對于D，β與γ也可以平行．故選C． 3．已知平面和直線，則下列命題正確的是（　?。? A．，，則 B．，，則 C．，，，則 D．，，，則 【答案】B 【解析】如圖所示． 4．如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長為的菱形，側面為正三角形，其所在的平面垂直于底面． （1）求證：； （2）若為邊的中點，能否在棱上找到一點，使平面平面，并證明你的結論． 【答案】（1）見解析；（2）為的中點，證明見解析 【解析】（1）設為的中點，連接， ∵為正三角形， ∴． 在菱形中，，為的中點， ∴． 又， ∴平面． ∵平面，∴． 數(shù)學文化 砌墻時,用系有鉛錘的線來檢查墻是否和地面垂直，依據(jù)的是面面垂直的判定定理．