2018高中數(shù)學 第3章 不等式 第四節(jié) 基本不等式1 基本不等式的證明學案 蘇教版必修5.doc

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基本不等式的證明一、考點突破知識點課標要求題型說明基本不等式的證明1.掌握基本不等式 （a0，b0）；2.能用基本不等式證明簡單不等式（指只用一次基本不等式，即可解決的問題）選擇題填空題基本不等式的證明中要注意多次運用公式等號能否同時取到，這一章節(jié)也是不等式的難點。二、重難點提示重點：理解掌握基本不等式，并能利用基本不等式證明不等式。難點：理解基本不等式等號成立的條件?？键c一：基本不等式如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當ab時取“”），我們把不等式稱為基本不等式?！疽c詮釋】 對于正數(shù)a，b，我們把稱為a，b的算術平均數(shù)，稱為a，b的幾何平均數(shù)，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。 對于“=”的理解應為若，則且若，則，也就是說當時，。 注意與成立的條件是不同的，前者是，后者是?？键c二：基本不等式的其他形式基本不等式的四種形式 ；（）； （）； （）； （）。【要點詮釋】兩種形式的前提是，兩種形式的前提是；四種形式等號成立的條件都是?？键c三：利用基本不等式證明不等式（1）注意均值不等式的前提條件；（2）通過加減項的方法配湊成使用算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理的形式；（3）注意“1”的代換；（4）靈活變換基本不等式的形式并注意其變形式的運用。如；（5）合理配組，反復應用不等式。基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點?！倦S堂練習】若0a1,0b1，且ab，則ab,2，2ab，a2b2中最大的一個是_。思路分析：（1）利用特殊值法判斷；（2）利用基本不等式判斷大小。答案：方法一：取，則。顯然ab最大。方法二：因為0a1,0b1，ab，所以ab2，a2b22ab，所以四個數(shù)中最大的數(shù)應從ab，a2b2中選擇而a2b2（ab）a（a1）b（b1），又因為0a1,0b1，所以a（a1）0，b（b1）0，所以a2b2（ab）0，即a2b2ab，所以ab最大。技巧點撥：特殊值法是解決客觀題的一種簡單實用的方法；基本不等式是比較大小的一種途徑。例題1 （基本不等式的簡單證明）已知abc，求證：。思路分析：不等式左側分式含a，b，c三個字母，右側只有a，c，把ac用abbc表達，然后利用配湊法、基本不等式，把分式縮為整式。 答案：abc，ab0，bc0，acabbc0，所證不等式等價于 （ac）4。又 （ac） 技巧點撥：在解題過程中，把數(shù)值或代數(shù)式拆成兩項或多項，或是恒等地配湊成適當?shù)臄?shù)或式子是數(shù)學表達式變形過程中比較常用的方法，也是一種解題技巧。例題2 （多次利用基本不等式證明簡單不等式）已知a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：abc。思路分析：分析不等式結構利用基本不等式同向不等式相加分析等號是否成立。答案： a0，b0，c0， ab2，bc2，ca2，2（abc）2（），即abc，由于a，b，c為不全相等的正實數(shù)，故等號不成立。abc。技巧點撥： 本題證明過程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性或可乘性得出所證的不等式，要注意基本不等式的使用條件，對“當且僅當時取等號”這句話要搞清楚。例題3 （含條件的不等式的證明）已知a，b，cR，且abc1，求證：9。思路分析：利用“1”的代換，把中的1用abc代換，然后利用分數(shù)性質(zhì)和基本不等式解決。答案：abc1，32229。當且僅當abc時，取等號。技巧點撥：使用基本不等式證明問題時，要注意條件是否滿足，同時注意等號能否取到，問題中若出現(xiàn)“1”要注意“1”的整體代換，多次使用基本不等式，要注意等號能否同時成立?！就卣褂柧殹恳坏谰C合不等式的證明【滿分訓練】 設實數(shù)x，y滿足yx20，且0a1，求證：loga（axay）loga2。思路分析：通過代換減少變量，利用基本不等式和一元二次函數(shù)的最值解決。答案：ax0，ay0，axay2，又0a1，loga（axay）loga2logaaxyloga2 （xy）loga2。因為yx20，loga（axay） （xx2）loga2 （x）2loga2loga2，又上式中等號不能同時取到，所以原不等式得證。技巧點撥：注意：在利用基本不等式和一元二次不等式時，求最值中等號不能同時取到。