2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題31 橢圓及其性質(zhì) 理.doc
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專題31 橢圓及其性質(zhì) 一、考綱要求: 1.了解橢圓的實際背景,了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. 2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率). 3.理解數(shù)形結(jié)合思想. 4.了解橢圓的簡單應(yīng)用. 二、概念掌握和解題上注意點: 1.橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面:一是判定平面內(nèi)動點的軌跡是否為橢圓;二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等. 2.橢圓的定義式必須滿足2a>|F1F2|. 3.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法有定義法與待定系數(shù)法,但基本方法是待定系數(shù)法,具體過程是先定位,再定量,即首先確定焦點所在的位置,然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組,若焦點位置不確定,可把橢圓方程設(shè)為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式. 4.求橢圓離心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解. 5.利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路 求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時,要結(jié)合圖形進行分析,當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系.建立關(guān)于a、b、c的方程或不等式. 6.直線與橢圓的位置關(guān)系的解題策略 (1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單. (2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2), 則|AB|==(k為直線斜率). 三、高考考題題例分析 例1.(2018課標(biāo)卷I)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標(biāo)為(2,0). (1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:∠OMA=∠OMB. 【答案】(1)y=﹣x+,y=x﹣, (2)見解析 證明:(2)當(dāng)l與x軸重合時,∠OMA=∠OMB=0, 當(dāng)l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,∴∠OMA=∠OMB, 當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x﹣1),k≠0, A(x1,y1),B(x2,y2),則x1<,x2<, 直線MA,MB的斜率之和為kMA,kMB之和為kMA+kMB=+, 由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得kMA+kMB=, 將y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0, ∴x1+x2=,x1x2=, ∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k)=0 從而kMA+kMB=0, 故MA,MB的傾斜角互補, ∴∠OMA=∠OMB, 綜上∠OMA=∠OMB. 例7.(2017全國卷Ⅰ)設(shè)A,B是橢圓C:+=1長軸的兩個端點.若C上存在點M滿足∠AMB=120,則m的取值范圍是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞) 【答案】A 【解析】法一:設(shè)焦點在x軸上,點M(x,y). 過點M作x軸的垂線,交x軸于點N, 則N(x,0). 故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN) ==. 又tan∠AMB=tan 120=-, 且由+=1可得x2=3-, 則==-. 解得|y|=. 又0<|y|≤,即0<≤,結(jié)合0<m<3解得0<m≤1. 對于焦點在y軸上的情況,同理亦可得m≥9. 則m的取值范圍是(0,1]∪[9,+∞). 故選A. 例8.(2017課標(biāo)卷I)已知橢圓C:(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點. 【答案】(1) (2)見解析 試題解析:(1)由于,兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過,兩點. 又由知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上. 因此,解得. 故C的方程為. 由題設(shè)可知. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=. 而 . 由題設(shè),故. 即. 解得. 當(dāng)且僅當(dāng)時,,欲使l:,即, 所以l過定點(2,) 例9.(2017課標(biāo)卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 例10.(2017課標(biāo)卷II)設(shè)O為坐標(biāo)原點,動點M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點P滿足。 (1) 求點P的軌跡方程; (2)設(shè)點Q在直線上,且。證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 試題解析:(1)設(shè),設(shè),。 由得。 因為在C上,所以。 因此點P的軌跡方程為。 (2)由題意知。設(shè),則 , 。 由得,又由(1)知,故 。 所以,即。又過點P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點P且垂直于OQ的直線過C的左焦點F。 橢圓及其性質(zhì)練習(xí)題 一、選擇題 1.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于,則C的方程是( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【答案】D 【解析】橢圓的焦點在x軸上,c=1. 又離心率為=, 故a=2,b2=a2-c2=4-1=3, 故橢圓的方程為+=1. 2.橢圓C:+=1的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓C于A、B兩點,則△F1AB的周長為 ( ) A.12 B.16 C.20 D.24 【答案】C 3.直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖,|OB|為橢圓中心到l的距離,則|OA||OF|=|AF||OB|,即bc=a,所以e==. 19.已知橢圓E的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上,若橢圓右焦點到橢圓E的中心的距離是. (1)求橢圓E的方程; (2)設(shè)直線l:y=kx+1(k≠0)與該橢圓交于不同的兩點B,C,若坐標(biāo)原點O到直線l的距離為,求△BOC的面積. 【答案】(1) +y2=1. (2) . (2)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),將直線方程與橢圓聯(lián)立整理得(3k2+1)x2+6kx=0, 由原點O到直線l的距離為=,得k2=, 又|BC|= ==2, ∴S△BOC=|BC|=, ∴△BOC的面積為. 20.已知曲線C的方程是mx2+ny2=1(m>0,n>0),且曲線過A,B兩點,O為坐標(biāo)原點. (1)求曲線C的方程; (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)是曲線C上兩點,向量p=(x1,y1),q=(x2,y2),且pq=0,若直線MN過點,求直線MN的斜率. 【答案】(1) y2+4x2=1. (2) . 21.已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O,離心率等于,以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l:y=kx+m與y軸交于點P,與橢圓E相交于A,B兩個點. (1)求橢圓E的方程; (2)若=3,求m2的取值范圍. 【答案】(1) x2+=1 (2) (1,4). (2)根據(jù)已知得P(0,m),設(shè)A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由得, (k2+4)x2+2mkx+m2-4=0. 由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0, 且x1+x2=,x1x2=. 由=3得x1=-3x2. ∴3(x1+x2)2+4x1x2=12x-12x=0. ∴+=0,即m2k2+m2-k2-4=0. 當(dāng)m2=1時,m2k2+m2-k2-4=0不成立, ∴k2=. ∵k2-m2+4>0,∴-m2+4>0, 即>0.∴1<m2<4. ∴m2的取值范圍是(1,4). 22.對于橢圓,有如下性質(zhì):若點是橢圓上的點,則橢圓在該點處的切線方程為.利用此結(jié)論解答下列問題.點是橢圓上的點,并且橢圓在點處的切線斜率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若動點在直線上,經(jīng)過點的直線,與橢圓相切,切點分別為,.求證:直線必經(jīng)過一定點. 【答案】(1) (2)直線必經(jīng)過一定點 (2)設(shè),,, 則切線,切線. ∵都經(jīng)過點, ∴,. 即直線的方程為. 又, ∴直線必經(jīng)過一定點.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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