（通用版）2019版高考數學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題十四 坐標系與參數方程講義 理（普通生含解析）（選修4－4）.doc

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重點增分專題十四 坐標系與參數方程 [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 極坐標與直角坐標的互化、曲線方程的求解 參數方程與直角坐標方程的互化、參數方程的應用 參數方程與普通方程的互化、參數方程的應用 2017 參數方程與普通方程的互化、點到直線的距離 直角坐標與極坐標的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題 直線的參數方程與極坐標方程、動點軌跡方程的求法 2016 參數方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用 極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用、直線與圓的位置關系 參數方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數的最值 (1)坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數方程、極坐標方程與曲線的綜合應用． (2)全國課標卷對此部分內容的考查以解答題形式出現，難度中等，備考此部分內容時應注意轉化思想的應用． 保分考點練后講評 1.(2018全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2. 由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 2.在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為(x－)2＋(y－2)2＝4，直線C2的方程為y＝x，以O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．求曲線C1和直線C2的極坐標方程． 解：∵曲線C1的普通方程為(x－)2＋(y－2)2＝4， 即x2＋y2－2x－4y＋3＝0， ∴曲線C1的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直線C2的方程為y＝x， ∴直線C2的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)． 3.(2017全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM||OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解：(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM||OP|＝16，得C2的極坐標方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB＞0)， 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面積 S＝|OA|ρBsin∠AOB＝4cos αsinα－＝2. 當α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [解題方略] 1．直角坐標與極坐標方程的互化 (1)直角坐標方程化極坐標方程時，可以直接將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可． (2)極坐標方程化直角坐標方程時，一般需要構造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子兩邊同乘以ρ，兩角和與差的正弦、余弦展開等． 2．求解與極坐標有關的問題的主要方法 (1)直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想結合使用； (2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標. 保分考點練后講評 1.在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ－cos θ＝0，M.以極點O為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系．斜率為－1的直線l過點M，且與曲線C交于A，B兩點．求曲線C和直線l的參數方程． 解：由ρsin2θ－cos θ＝0得ρ2sin2θ＝ρcos θ， ∴y2＝x，故曲線C的直角坐標方程為y2＝x. 故曲線C的參數方程為(t為參數)， 由題意，M的直角坐標為(0,1)， 則直線l的參數方程為(t為參數)， 即(t為參數)． 2.(2018全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(θ為參數)，直線l的參數方程為(t為參數)． (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率． 解：(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1.當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan αx＋2－tan α， 當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內， 所以①有兩個解，設為t1，t2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－， 故2cos α＋sin α＝0， 于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. [解題方略] 參數方程化為普通方程消去參數的方法 (1)代入消參法：將參數解出來代入另一個方程消去參數，直線的參數方程通常用代入消參法． (2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去參數，圓的參數方程和橢圓的參數方程都是運用三角恒等式法． (3)常見消參數的關系式： ①t＝1； ②2－2＝4； ③2＋2＝1. 極坐標與參數方程的綜合應用 [分點研究] 題型一　直線的參數方程中參數幾何意義的應用 [例1]　(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,1)，其參數方程為(t為參數，a∈R)．以O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數a的值． [解]　(1)∵曲線C1的參數方程為(t為參數，a∈R)， ∴曲線C1的普通方程為x－y－a＋1＝0. ∵曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 又ρcos θ＝x，ρ2＝x2＋y2， ∴x2＋4x－x2－y2＝0， 即曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x. (2)設A，B兩點所對應的參數分別為t1，t2， 由得t2－2t＋2－8a＝0. Δ＝(－2)2－4(2－8a)>0，即a>0， ∴ 根據參數方程中參數的幾何意義可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|， ∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2， ∴當t1＝2t2時，有 解得a＝>0，符合題意， 當t1＝－2t2時，有 解得a＝>0，符合題意． 綜上所述，a＝或a＝. [變式1]　本例(2)的條件變?yōu)閨PA||PB|＝6.求實數a的值． 解：由本例解析知|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－8a|＝6， 解得a＝1或－.又∵a>0， ∴a＝1. [變式2]　若本例曲線C1變?yōu)檫^點P(0，－1)，其參數方程為(t為參數)，其他條件不變，求|PA|＋|PB|. 解：曲線C1的參數方程化為代入曲線C2的方程y2＝4x得t2－6t＋2＝0. 設A，B對應的參數分別為t1，t2，則 ∴t1>0，t2>0. ∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝6. [解題方略] 利用直線的參數方程中參數的幾何意義求解問題 經過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程為(t為參數)．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數為t0，則以下結論在解題中經常用到： (1)t0＝； (2)|PM|＝|t0|＝； (3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA||PB|＝|t1t2|. 題型二　極坐標方程中極徑幾何意義的應用 [例2]　在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(φ為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求圓C的極坐標方程； (2)直線l的極坐標方程是2ρsin＝3，射線OM：θ＝與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長． [解]　(1)由圓C的參數方程為(φ為參數)， 可得圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 由極坐標方程與直角坐標方程的互化公式可得， 圓C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (2)由得P， 由得Q， 結合圖可得|PQ|＝|OQ|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2. [解題方略]　極徑的幾何意義及其應用 (1)幾何意義：極徑ρ表示極坐標平面內點M到極點O的距離． (2)應用：一般應用于過極點的直線與曲線相交，所得的弦長問題，需要用極徑表示出弦長，結合根與系數的關系解題． [多練強化] 1．(2019屆高三湖北八校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程； (2)設P為曲線C1上的動點，求點P到C2的距離的最大值，并求此時點P的坐標． 解：(1)曲線C1的普通方程為＋y2＝1， 由ρsin＝，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲線C2的直角坐標方程為x＋y－2＝0. (2)設點P的坐標為(cos α，sin α)， 則點P到C2的距離為＝， 當sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)， α＝－＋2kπ(k∈Z)時，所求距離最大，最大值為2， 此時點P的坐標為. 2．(2018南昌模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為(t為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C的極坐標方程； (2)若直線l1，l2的極坐標方程分別為θ1＝(ρ1∈R)，θ2＝(ρ2∈R)，設直線l1，l2與曲線C的交點分別為O，M和O，N，求△OMN的面積． 解：(1)由參數方程得普通方程為x2＋(y－2)2＝4， 把代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin θ. (2)由直線l1：θ1＝(ρ1∈R)與曲線C的交點為O，M，得|OM|＝4sin＝2. 由直線l2：θ2＝(ρ2∈R)與曲線C的交點為O，N，得|ON|＝4sin ＝2. 易知∠MON＝， 所以S△OMN＝|OM||ON| ＝22＝2. 1．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈. (1)求半圓C的參數方程； (2)若半圓C與圓D：(x－5)2＋(y－)2＝m(m是常數，m＞0)相切，試求切點的直角坐標． 解：(1)半圓C的普通方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)， 則半圓C的參數方程為(t為參數，0≤t≤π)． (2)C，D的圓心坐標分別為(2,0)，(5，)， 于是直線CD的斜率k＝＝. 由于切點必在兩個圓心的連線上， 故切點對應的參數t滿足tan t＝，t＝， 所以切點的直角坐標為，即(2＋，1)． 2．(2018貴陽摸底考試)曲線C的參數方程為(φ為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos＝. (1)寫出C的普通方程，并用(α為直線的傾斜角，t為參數)的形式寫出直線l的一個參數方程； (2)l與C是否相交？若相交，求出兩交點的距離，若不相交，請說明理由． 解：(1)C的普通方程為＋y2＝1， 由ρcos＝得x－y－2＝0， 則直線l的傾斜角為， 又直線l過點(2,0)， 得直線l的一個參數方程為(t為參數)． (2)將l的參數方程代入C的普通方程得 5t2＋4t＝0，解得t1＝0，t2＝－， 顯然l與C有兩個交點， 分別記為A，B，且|AB|＝|t1－t2|＝. 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos＝3. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程． (2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時點P的直角坐標． 解：(1)曲線C1的參數方程為(α為參數)，普通方程為x2＋＝1， 曲線C2的極坐標方程為ρcos＝3， 即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐標方程為x＋y－6＝0. (2)設P(cos α，sin α)，則|PQ|的最小值為P到x＋y－6＝0距離， 即＝， 當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，|PQ|取得最小值2， 此時P. 4．(2018貴陽適應性考試)在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(α為參數)，在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為 ρcos＝－1. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程； (2)過點M(－1,0)且與直線l平行的直線l1交曲線C于A，B兩點，求點M到A，B兩點的距離之和． 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1， 由ρcos＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0. (2)直線l1的參數方程為(t為參數)，將其代入＋y2＝1中，化簡得2t2－t－2＝0， 設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－1， 所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝. 5．(2018福州四校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(α為參數)，直線C2的方程為y＝x.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程； (2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點，求＋. 解：(1)由曲線C1的參數方程為(α為參數)，得曲線C1的普通方程為(x－2)2＋(y－2)2＝1， 則C1的極坐標方程為ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0， 由于直線C2過原點，且傾斜角為，故其極坐標方程為θ＝(ρ∈R)(tan θ＝)． (2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0， 設A，B對應的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7， ∴＋＝＝＝. 6．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cos θ，曲線C2的參數方程為(t為參數，0≤α＜π)，射線θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－與曲線C1交于(不包括極點O)三點A，B，C. (1)求證：|OB|＋|OC|＝|OA|； (2)當φ＝時，B，C兩點在曲線C2上，求m與α的值． 解：(1)證明：設點A，B，C的極坐標分別為(ρ1，φ)，，， 因為點A，B，C在曲線C1上， 所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cos，ρ3＝4cos， 所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cos＋4cos＝4cos φ＝ρ1， 故|OB|＋|OC|＝|OA|. (2)由曲線C2的方程知曲線C2是經過定點(m,0)且傾斜角為α的直線． 當φ＝時，B，C兩點的極坐標分別為2，，2，－， 化為直角坐標為B(1，)，C(3，－)， 所以tan α＝＝－，又0≤α＜π，所以α＝. 故曲線C2的方程為y＝－(x－2)，易知曲線C2恒過點(2,0)，即m＝2. 7．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數)，其中0≤α＜π，在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1：ρ＝4cos θ.直線l與曲線C1相切． (1)將曲線C1的極坐標方程化為直角坐標方程，并求α的值． (2)已知點Q(2,0)，直線l與曲線C2：x2＋＝1交于A，B兩點，求△ABQ的面積． 解：(1)曲線C1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化為直角坐標方程為x2＋y2＝4x，即C1：(x－2)2＋y2＝4，可得圓心(2,0)，半徑r＝2， 直線l的參數方程為(t為參數)，其中0≤α＜π，由題意l與C1相切，可得普通方程為y－＝k(x－1)，k＝tan α，0≤α＜π且α≠， 因為直線l與曲線C1相切，所以＝2， 所以k＝，所以α＝. (2)直線l的方程為y＝x＋， 代入曲線C2：x2＋＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以|AB|＝＝， Q到直線的距離d＝＝2， 所以△ABQ的面積S＝2＝. 8．已知直線L的參數方程為(t為參數)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝. (1)求直線L的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程； (2)過曲線C上任意一點P作與直線L夾角為的直線l，設直線l與直線L的交點為A，求|PA|的最大值． 解：(1)由(t為參數)，得L的普通方程為2x＋y－6＝0， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得直線L的極坐標方程為2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0， 由曲線C的極坐標方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋＝1. (2)由(1)，知直線L的普通方程為2x＋y－6＝0， 設曲線C上任意一點P(cos α，2sin α)， 則點P到直線L的距離d＝. 由題意得|PA|＝＝， 所以當sin＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為.