2019年高考數學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題19 利用函數模型解決實際問題.doc

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專題19 利用函數模型解決實際問題 【熱點聚焦與擴展】 在近幾年的高考試卷中，以基本函數為背景的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢．注重在知識的交匯點命題，與三角函數、解三角形、不等式、導數、解析幾何、概率統(tǒng)計、數列等相結合，綜合考查函數方程思想及數學應用意識，考查轉化與化歸思想、分類討論思想及數形結合思想的理解運用；考查分析與解決問題的能力、應用意識及創(chuàng)新能力. 1、使用函數模型解決實際問題 （1）題目特點：敘述中體現兩個變量之間的關系（涉及的量也許有多個，但均能夠用兩個核心變量進行表示）.以其中一個為自變量，則另一個變量可視為自變量的函數，進而搭建出函數模型，再根據導數，均值不等式等工具求出最值 （2）需用到的數學工具與知識點： ① 分段函數：當自變量的不同取值導致解析式不同時，可通過建立分段函數來體現兩個變量之間的關系，在題目中若有多種情況，且不同的情況對應不同的計算方式，則通常要用分段函數進行表示. ② 導數：在求最值的過程中，若函數解析式不是常見的函數（二次函數，對勾函數等），則可利用導數分析其單調性，進而求得最值 ③ 均值不等式：在部分解析式中（可構造和為定值或積為定值）可通過均值不等式迅速的找到最值. ④ 分式函數的值域問題：可通過分離常數對分式進行變形，并利用換元將其轉化為熟悉的函數求解 （3）常見的數量關系： ① 面積問題：可通過尋底找高進行求解，例如： 平行四邊形面積底高 梯形面積（上底下底）高 三角形面積底高 ② 商業(yè)問題： 總價單價數量 利潤營業(yè)額成本貨物單價數量成本 ③ 利息問題： 利息本金利率 本息總和本金利息本金利率本金 （4）在解決實際問題時要注意變量的取值范圍應與實際情況相符，例如：涉及到個數時，變量應取正整數.涉及到錢，速度等問題，變量的取值應該為正數. 2、使用線性規(guī)劃模型解決實際問題 （1）題目特點：敘述中也有兩個核心變量，但條件多為涉及兩核心變量的不等關系，且所求是關于兩個核心變量的表達式，這類問題通常使用線性規(guī)劃模型來解決問題 （2）與函數模型的不同之處 ① 函數模型：體現兩核心變量之間的等量關系，根據一個變量的范圍求另一個變量的范圍（或最值） ② 線性規(guī)劃模型：體現關于兩變量的不等關系，從而可列出不等式組，要解決的是含兩個變量的表達式的最值. （3）解題步驟：根據題目敘述確定未知變量（通常選擇兩個核心變量，其余變量用這兩個進行表示），并列出約束條件和目標函數，然后利用數形結合的方式進行解決 （4）注意事項：在實際問題中，變量的取值有可能為整數，若最優(yōu)解不是整數，則可在最優(yōu)解附近尋找?guī)讓φc，代入到目標函數中并比較大小 3、使用三角函數模型解決實際問題 （1）題目特點：題目以幾何圖形（主要是三角形）作為基礎，條件多與邊角相關 （2）需要用到的數學工具與知識點： ① 正弦定理：設三邊所對的角分別為，則有 ② 余弦定理（以和對角為例）， ③ 三角函數表達式的化簡與變形 ④ 函數的值域 （3）解題技巧與注意事項： ① 在求邊角問題時，應把所求的邊或角放在合適的三角形中 ② 在直角三角形里，已知一條邊，則其它邊可用該邊與內角的三角函數值進行表示 ③ 在圖形中要注意變量的取值范圍 【經典例題】 例1．【2018屆上海市松江、閔行區(qū)高三下學期（二模）】某公司利用線上、實體店線下銷售產品，產品在上市天內全部售完.據統(tǒng)計，線上日銷售量、線下日銷售量（單位：件）與上市時間 天的關系滿足： ，產品每件的銷售利潤為(單位：元)（日銷售量線上日銷售量線下日銷售量）. （1）設該公司產品的日銷售利潤為，寫出的函數解析式； （2）產品上市的哪幾天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元？ 【答案】(1)(2)第5天至第15天該公司日銷售利潤不低于元. 【解析】試題分析： （1）由題意分類討論，分別求得銷售量，然后與相應的利潤相乘可得利潤函數的解析式為 （2）結合(1)中的利潤函數分類討論求解二次不等式可得第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元. 綜上可得： （2）當時，由，解得； 當時，由，解得； 當時，由，無解. 故第5天至第15天給該公司帶來的日銷售利潤不低于元. 點睛：(1)很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數模型. (2)求函數最值常利用基本不等式法、導數法、函數的單調性等方法．在求分段函數的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值． 例2.【2018年江蘇省高考沖刺預測卷一】秸稈還田是當今世界上普通重視的一項培肥地力的增產措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產作用.某農機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機，每年用于收割可以收入6萬元（已減去所用柴油費）；該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農機戶付費維修保養(yǎng)，所付費用（元）與使用年數的關系為：（，且），已知第二年付費1800元，第五年付費6000元.} （Ⅰ）試求出該農機戶用于維修保養(yǎng)的費用（元）與使用年數的函數關系； （Ⅱ）這臺收割機使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-維修保養(yǎng)費用-購買機械費用） 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14. 【解析】試題分析：根據第二年付費元，第五年付費元可得關于的方程組，解出即可得到 則依題意，， ， 當且僅當，即時取等號. 所以這臺收割機使用14年，可使年均收益最大. 例3．【2018屆廣東省六校（廣州二中，深圳實驗，珠海一中，中山紀念，東莞中學，惠州一中）高三下第三次聯(lián)考】某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品，然后以每份10元的價格出售.如果當天賣不完，剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理. (Ⅰ)若小店一天購進16份，求當天的利潤（單位：元）關于當天需求量（單位：份，）的函數解析式； (Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 頻數 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. (i)小店一天購進16份這種食品，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列及數學期望； (ii)以小店當天利潤的期望值為決策依據，你認為一天應購進食品16份還是17份？ 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案見解析；(ii)17份. 的大小可得選擇的結論． X 62 71 80 P 0．1 0．2 0．7 ∴元． （ii）若小店一天購進17份食品，表示當天的利潤(單位：元)，那么的分布列為 Y 58 67 76 85 P 0．1 0．2 0．16 0．54 ∴的數學期望為元． 由以上的計算結果可以看出， 即購進17份食品時的平均利潤大于購進16份時的平均利潤． ∴所以小店應選擇一天購進17份． 例4．【2018屆江蘇省無錫市高三上期末】如圖，點為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點，與平行，設. （1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減??； （2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的2倍.當取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由. 【答案】（1）見解析;（2）. ，求出，分兩區(qū)間 討論的單調性，以證明為極小值點. 試題解析： （1）由題意，，所以， 又， 所以觀光專線的總長度 ，， 因為當時，， 所以在上單調遞減， 當時，，當時，. 所以，當時，最小. 答：當時，觀光專線的修建總成本最低. 【點睛】在一定條件下“成本最低”、“用料最省”、“面積最大”、“效率最高“等問題，在生產、生活中經常遇到，在數學上這類問題往往歸結為求函數的最值問題.除了常見的求最值的方法外，還可用求導法求函數的最值，但無論采取何種方法都必須在函數的定義域內進行. 例5.如圖所示，甲船以每小時的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于處時，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距 ．當甲船航行 到達處時，乙船航行到甲船的北偏西 方向的處，此時兩船相距 ，問乙船每小時航行多少？ 【答案】. 【解析】試題分析：連接，先得是等邊三角形，求出，在中使用余弦定理求出的長，除以航行時間得出速度． 試題解析：如圖，連結,由題意知, .所以. 又， 答：乙船每小時航行 . 例6.【2018屆江蘇省南通、徐州、揚州等六市高三二?！繉⒁昏F塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100dm2的矩形薄鐵皮（如圖），并沿虛線l1，l2裁剪成A，B，C三個矩形（B，C全等），用來制成一個柱體．現有兩種方案： 方案①：以為母線，將A作為圓柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面； 方案②：以為側棱，將A作為正四棱柱的側面展開圖，并從B，C中各裁剪出一個正方形（各邊分別與或垂直）作為正四棱柱的兩個底面． （1）設B，C都是正方形，且其內切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面，求底面半徑； （2）設的長為dm，則當為多少時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大？ 【答案】(1) ；(2) . 【解析】試題分析：（1）設所得圓柱的半徑為，根據矩形薄鐵皮的面積為100，即可求得的值； 試題解析：（1）設所得圓柱的半徑為，則， 解得． （2）設所得正四棱柱的底面邊長為dm，則即 方法一： 所得正四棱柱的體積 記函數則在上單調遞增，在上單調遞減. ∴當時， ． ∴當， 時， dm3． （2）當為時，能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大． 例7.【2018屆江蘇省南通市高三上第一次調研】如圖，某小區(qū)中央廣場由兩部分組成，一部分是邊長為的正方形，另一部分是以為直徑的半圓，其圓心為.規(guī)劃修建的條直道， ， 將廣場分割為個區(qū)域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為綠化區(qū)域（圖中陰影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ為休閑區(qū)域，其中點在半圓弧上， 分別與， 相交于點， .（道路寬度忽略不計） （1）若經過圓心，求點到的距離； （2）設， . ①試用表示的長度； ②當為何值時，綠化區(qū)域面積之和最大. 【答案】（1）（2）①最小值為②當時，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大 半圓的方程為 ， 由得. 所以，點到的距離為. （2）①由題意，得. 直線的方程為 ， 令，得 . 直線的方程為， 令，得 . 所以 . 設，則， . . 當且僅當，即時“”成立. 所以，休閑區(qū)域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面積的最小值為. 答：當時，綠化區(qū)域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面積之和最大. 例8.【2018屆山東省棗莊市第八中學東校區(qū)高三1月月考】現有一塊大型的廣告宣傳版面，其形狀是右圖所示的直角梯形.某廠家因產品宣傳的需要，擬投資規(guī)劃出一塊區(qū)域（圖中陰影部分）為產品做廣告，形狀為直角梯形（點在曲線段上，點在線段上）.已知， ，其中曲線段是以為頂點， 為對稱軸的拋物線的一部分. （1）建立適當的平面直角坐標系，分別求出曲線段與線段的方程； （2）求該廠家廣告區(qū)域的最大面積. 【答案】(1) ， ；(2)最大值是 則， ， ， ， 曲線段的方程為： ； 線段的方程為： ； （2）設點，則需，即, 令，得， . ∴在上是增函數，在上是減函數. ∴. ∴廠家廣告區(qū)域的面積最大值是. 點睛:本題利用已知函數模型解決實際問題，關鍵是合理建系設出點坐標即可表示出面積的表達式，利用導數研究單調性即可求出最值. 例9. 時下網校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經成為學生們課外學習的一種趨勢，假設某網校的套題每日的銷售量y（單位：千套）與銷售價格:（單位：元/套）滿足的關系式，其中為常數．已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套． （1）求的值； （2）假設網校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元（只考慮銷售出的套數），試確定銷售價格的值，使網校每日銷售套題所獲得的利潤最大．（保留1位小數） 【答案】（1）10；（2）約為3.3. 【解析】解：（1）將代入關系式可得： （2）思路：依題意可得售出一套，所得利潤為元，所以總的利潤 ，其中，利用導數判定的單調性，進而可求得最大值點 在取得最大值，即 例10.如圖，在海岸線一側有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段，該曲線段是函數的圖像，圖像的最高點為，邊界的中間部分為長1千米的直線段，且∥，游樂場的后一部分邊界是以為圓心的一段圓弧 （1）求曲線的函數表達式 （2）曲線段上的入口距海岸線最近距離為千米，現準備從入口，修一條筆直的景觀路到，求景觀路的長度 （3）如圖，在扇形區(qū)域內建一個平行四邊形休閑區(qū)，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑上，另外一個頂點在圓弧上，且，求平行 四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時的值 【答案】（1）；（2）；（3）時，的最大值為 . 【解析】解：（1）由可知， 對于， （2）由已知可得 或 解得：或，由可得： （3）由圖可知， 時，的最大值為 【精選精練】 1．【2018年北京市門頭溝一模】某電力公司在工程招標中是根據技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的，按照綜合得分的高低進行綜合排序，綜合排序高者中標。分值權重表如下： 總分 技術 商務 報價 100% 50% 10% 40% 技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質、資信等實力來決定的。報價表則相對靈活，報價標的評分方法是：基準價的基準分是68分，若報價每高于基準價1%，則在基準分的基礎上扣0.8分，最低得分48分；若報價每低于基準價1%，則在基準分的基礎上加0.8分，最高得分為80分。若報價低于基準價15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基礎上扣0.8分。在某次招標中，若基準價為1000（萬元）。甲、乙兩公司綜合得分如下表： 公司 技術 商務 報價 甲 80分 90分 分 乙 70分 100分 分 甲公司報價為1100（萬元），乙公司的報價為800（萬元）則甲，乙公司的綜合得分，分別是 A. 73，75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4 【答案】A 點睛：對及時定義的題目，關鍵是讀懂題意，正確根據新定義化簡或求值，注意與區(qū)別原有定義的區(qū)別. 2．【2018屆山西省孝義市高三下學期一模】問題“今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？”源自南北朝張邱建所著的《張邱建算經》，該問題的答案是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】A 【解析】由已知可得該女子三十日每日織布數組成一個等差數列，設為，且，則，故選A. 3．【衡水金卷調研卷（五）】河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一，現為世界文化遺產，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數量構成一個數列，則的值為（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】最下層的“浮雕像”的數量為，依題有：公比，解得，則， ，從而，故選C. 4．【2018屆青海省西寧市高三下學期（一模）】我國古代數學名著《九章算術均輸》中記載了這樣一個問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位）.這個問題中，等差數列的通項公式為（ ） A. （） B. （） C. （） D. ，（ ） 【答案】D 5．【2019屆高考全程訓練】某研究所計劃利用“神舟十一號”飛船進行新產品搭載實驗，計劃搭載新產品，要根據該產品的研制成本、產品質量、搭載實驗費用和預計產生收益來決定具體安排，通過調查，搭載每件產品有關數據如表： 因素 產品 產品 備注 研制成本、搭載費用之和/萬元 20 30 計劃最大投資 金額300萬元產品質量/千克 10 5 最大搭載 質量110千克預計收益/萬元 80 60 —— 則使總預計收益達到最大時， 兩種產品的搭載件數分別為(　　) A. 9,4 B. 8,5 C. 9,5 D. 8,4 【答案】A 由解得,故M(9,4)． 所以目標函數的最大值為zmax＝809＋604＝960，此時搭載產品A有9件，產品B有4件． 故選A. 點睛：線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫標準函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得. 6．【2018屆廣東省廣州市廣州大學附屬中學、鐵一中學、廣州外國語中學高三上學期期中】如圖，是半徑為，的扇形，是弧上的點，是扇形的內棱矩形，經，若，且當時，四邊形的面積取得最大，則的值為（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意，則，，，則 點睛：此類題目是三角函數問題中的典型題目，可謂相當經典.解答本題，關鍵在于能利用三角函數的定義，三角函數的基本關系式，三角函數的恒等變換，得到三角函數的解析式，進一步討論函數的性質，本題易錯點在于一是圖象的變換與解析式的對應，二是忽視設定角的范圍，難度不大，能較好的考查考生的基本運算求解能力及復雜式子的變形能力等. 7．【2018屆山東K12聯(lián)盟高三開年迎春考試】公元五世紀張丘建所著《張丘建算經》卷中第1題為：今有戶出銀一斤八兩一十二銖，今以家有貧富不等，今戶別作差品，通融出之，最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩，問戶幾何？題目的意思是：每戶應交稅銀1斤8兩12銖，若考慮貧富的差別，家最貧者交8兩，戶別差為3兩，則戶數為__________．（1斤兩，1兩銖） 【答案】12 【解析】將本題轉化為數學問題：等差數列中，首項，公差，1斤8兩12銖=24.5兩，設戶數為n，則，所以。 8．要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米200元,側面造價是每平方米100元,則該容器的最低總造價是________元. 【答案】1600 【解析】設長方體的底面的長為xm，則寬為m，總造價為y元，則，當且僅當，即x=2時，等號成立， 故答案為1600元 9．【2018屆（衡水金卷調研卷）五】我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知為田幾何.”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為里， 里， 里，假設里按米計算，則該三角形沙田外接圓的半徑為___________米. 【答案】 【解析】 10．十九大指出中國的電動汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實施一項將重塑全球汽車行業(yè)的計劃.年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產設備，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產（百輛），需另投入成本萬元，且.由市場調研知，每輛車售價萬元，且全年內生產的車輛當年能全部銷售完. （1）求出2018年的利潤（萬元）關于年產量（百輛）的函數關系式；（利潤=銷售額-成本） （2）2018年產量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤. 【答案】（1）；（2）當時，即年生產百輛時，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為萬元. 【解析】試題分析：（1）利用給定的公式“利潤=銷售額-成本”計算利潤，因為成本函數是分段函數，故需要分類計算得到利潤函數為.（2）當時，，這是二次函數，其最大值為；當時，，最大值為，因此年生產百輛時，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為萬元. （2）當時，， ∴當時，； 當時， ， 當且僅當，即時，； ∴當時，即年生產百輛時，該企業(yè)獲得利潤最大，且最大利潤為萬元. 11．【2018屆上海市虹口區(qū)高三上學期期末】如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個長為2，寬為1的矩形，矩形兩邊， 緊靠兩條互相垂直的路上．現要過點修一條直線的路，這條路不能穿過古建筑群，且與另兩條路交于點和． （1）設（），將的面積表示為的函數； （2）求的面積（）的最小值． 【答案】（1）;（2）4． （2）設 當且僅當即時， 取得最小值4． 12．【2017課標3，文18】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。 （1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； （2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出的所有可能值，并估計大于零的概率． 【答案】（1）；（2） （2）的可能值列表如下： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 300 900 900 900 低于：； ：； 不低于： ∴大于0的概率為.