2018高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第一節(jié) 空間幾何體2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球?qū)W案 蘇教版必修2.doc

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圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說明 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球 1. 直觀了解柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征； 2. 了解復(fù)雜幾何體的組成情況，學(xué)會(huì)分析并掌握它們是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組合而成。 選擇題 填空題 引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的物體入手，利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，多角度、多層次地揭示空間圖形的本質(zhì)。按照從整體到局部、由具體到抽象的原則，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而通過空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。 二、重難點(diǎn)提示 圓柱、圓錐、圓臺(tái)及球的幾何結(jié)構(gòu)特征和簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征。 考點(diǎn)一：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球 （1）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及相關(guān)概念、表示 定義 圖形 表示 圓 柱 將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓柱 記作：圓柱OO′ 圓 錐 將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐 記作：圓錐SO 圓 臺(tái) 將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓臺(tái) 記作：圓臺(tái)OO′ 球 將半圓面繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫球 記作：球O 【要點(diǎn)詮釋】 ① 幾何體與曲面的區(qū)別：幾何體是“實(shí)心”的。例如圓柱的表面是指圓柱的上下底面及側(cè)面組成的曲面，它是“空心的”，不包括內(nèi)部。 ② 在圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面上不沿著母線是畫不出直線段的。 ③ 球體與球面是不同的，球體是幾何體，球面是曲線，但二者也有聯(lián)系，球面是球體的表面。 （2）圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的簡(jiǎn)單畫法 畫圓柱、圓臺(tái)一般先畫一個(gè)底面，再畫兩條母線（過軸截面），最后畫另一個(gè)底面，如圖（1）、（3）；畫圓錐可以先畫母線（作為軸截面），再補(bǔ)上底面比較方便。如圖（2）；畫球一般先畫一個(gè)圓及其一條直徑（虛線），然后再以直徑為長(zhǎng)軸作一個(gè)橢圓，如圖（4）。 （1） （2） （3） （4） （3）圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì) ① 平行與底面的截面是圓； ② 過軸的截面（簡(jiǎn)稱軸截面），分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形； ③ 用平行于底面的平面去截圓錐，截面圓與底面圓半徑之比等于所截的小圓錐的母線與原圓錐的母線之比。 （4）圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的截面 ① 平行于底面的截面 A. 平行于圓柱底面的截面是與底面大小不同的圓面； B. 平行于圓錐底面的截面都是圓面； C. 平行于圓臺(tái)底面的截面都是圓面。 ② 軸截面 A. 圓柱中，過軸的截面（軸截面）是全等的矩形； B. 圓錐中，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形； C. 圓臺(tái)中，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰梯形。 ③ 球的截面 A. 用一個(gè)平面去截球，截面是圓面。其中，過球心的平面截得的叫大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小圓。 B. 截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面。 考點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)面、旋轉(zhuǎn)體、組合體 （1）旋轉(zhuǎn)面與旋轉(zhuǎn)體 一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面。封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體。 【要點(diǎn)詮釋】旋轉(zhuǎn)面與旋轉(zhuǎn)體的圖示 （2）組合體 由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體。其構(gòu)成形式有兩種基本形式：一種是簡(jiǎn)單幾何體拼接形成的；另一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而形成的。 【核心突破】 1. 圓柱、圓臺(tái)、圓錐的關(guān)系如圖所示： 2. 處理臺(tái)體問題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想，處理組合體問題常采用分割思想。 3. 重視圓柱、圓臺(tái)、圓錐的軸截面在解決與旋轉(zhuǎn)體相關(guān)量（如母線長(zhǎng)等）中的特殊作用，體會(huì)空間幾何問題平面化的思想。 【隨堂練習(xí)】（山東濟(jì)南模擬）一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)接圓柱，則圓柱的軸截面的面積最大值為 。 答案：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為，底面圓半徑為，由已知得 ∵ 當(dāng)時(shí)，最大值為6。 思路分析：畫出圓錐與圓柱的軸截面，利用軸截面尋找各量間的關(guān)系。 技巧點(diǎn)撥：與幾何體有關(guān)的最值問題，可列出其函數(shù)解析式，用函數(shù)思想求解。 例題1 （旋轉(zhuǎn)體的概念）下列敘述錯(cuò)誤的有__________。（填序號(hào)） ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)； ③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓； ④用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)。 思路分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特征判斷各命題的對(duì)錯(cuò)。 答案：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為兩個(gè)同底的圓錐連在一起的幾何體，如圖（1），故①錯(cuò)；以直角梯形垂直于底邊的一腰為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺(tái)，以直角梯形的不垂直于底的腰為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為一個(gè)圓臺(tái)一側(cè)挖去一個(gè)同上底的圓錐，另一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同下底的圓錐，如圖（2），故②錯(cuò)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面，而不是圓，故③錯(cuò)；用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故④錯(cuò)。 故應(yīng)填：①②③④。 技巧點(diǎn)撥： 1. 準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的生成過程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵。要注意定義中的關(guān)鍵字眼，對(duì)于似是而非的問題，可以通過動(dòng)手操作來解決。 2. 旋轉(zhuǎn)體的形狀關(guān)鍵是看平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得，同一個(gè)平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不同。 例題2 （旋轉(zhuǎn)體的形成與分解） 如圖所示，畫出下列圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體，并說出這些幾何體是由哪些旋轉(zhuǎn)體組合而成的。 思路分析：過圖（1）（2）中的頂點(diǎn)D、C分別向旋轉(zhuǎn)軸引垂線，即可得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。 答案：如圖所示，（1）是由圓錐、圓柱組合而成的，（2）是由圓柱中間挖去一個(gè)圓錐組合而成的。 技巧點(diǎn)撥：對(duì)于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對(duì)原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指睿话惴指畛删匦?、梯形、三角形或圓（半圓或四分之一圓周）等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過程進(jìn)行分析。 例題3 （有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的計(jì)算） 一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2。求： （1）圓臺(tái)的高；（2）截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)。 思路分析：畫出軸截面，依據(jù)相似三角形求解。 答案：（1）如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于M，延長(zhǎng)BA、CD交于S。由已知得上底面半徑O1A＝2 cm，下底面半徑OB＝5 cm，且腰長(zhǎng)AB＝12 cm， ∴圓臺(tái)的高AM＝（cm）。 （2）設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為l cm，則由△SAO1∽△SBO，得， 解得l＝20。即截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長(zhǎng)為20 cm。 技巧點(diǎn)撥： 1. 本題在求解過程中，通過軸截面實(shí)現(xiàn)了空間運(yùn)算平面幾何化的思想，其優(yōu)點(diǎn)是軸截面較直觀地反映了圓臺(tái)的母線長(zhǎng)、高及上、下底面半徑間的關(guān)系。 2. 解有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算問題時(shí)常常利用它們的軸截面。 有關(guān)組合體問題 觀察圖中的組合體，分析它們是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，并說出主要結(jié)構(gòu)特征。（面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)） 思路分析：識(shí)圖→分割或填補(bǔ)→變成簡(jiǎn)單幾何體的組合→下結(jié)論→回答相關(guān)問題 答案：圖（1）是由一個(gè)四棱柱在它的上、下底面上向內(nèi)挖去一個(gè)三棱柱組成的組合體，它有9個(gè)面，14個(gè)頂點(diǎn)，21條棱，具有四棱柱和三棱柱的結(jié)構(gòu)特征。 圖（2）是由一個(gè)四棱柱和一個(gè)底面與四棱柱上底面重合的四棱錐組合而成的組合體，它有9個(gè)面，9個(gè)頂點(diǎn)，16條棱，具有四棱柱和四棱錐的結(jié)構(gòu)特征。 圖（3）是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)下底與三棱柱上底重合的三棱臺(tái)組成的組合體，它有9個(gè)頂點(diǎn)，8個(gè)面，15條棱，具有三棱柱和三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征。 技巧點(diǎn)撥：組合體是由簡(jiǎn)單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成。要仔細(xì)觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺(tái)、球的特征，先分割，后認(rèn)證。