2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 6.3.1 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例課件 理.ppt

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6 3統(tǒng)計(jì)與概率大題 1 統(tǒng)計(jì)圖表 1 在頻率分布直方圖中 各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率 各小矩形的高 各小矩形面積之和等于1 2 莖葉圖 當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時(shí) 用中間的數(shù)字表示十位數(shù) 兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù) 當(dāng)數(shù)據(jù)是三位數(shù) 前兩位相對(duì)比較集中時(shí) 常以前兩位為莖 第三位 個(gè)位 為葉 其余類推 2 樣本的數(shù)字特征 1 眾數(shù) 是指出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù) 體現(xiàn)在頻率分布直方圖中 是指高度最高的小矩形的寬的中點(diǎn)的橫坐標(biāo) 2 中位數(shù)是指從左往右小矩形的面積之和為0 5處的橫坐標(biāo) 5 平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平 標(biāo)準(zhǔn)差 方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小 標(biāo)準(zhǔn)差 方差越大 數(shù)據(jù)的離散程度越大 越不穩(wěn)定 3 變量間的相關(guān)關(guān)系 1 如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從整體上看大致分布在一條直線的附近 那么我們說(shuō)變量x和y具有線性相關(guān)關(guān)系 2 線性回歸方程 若變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系 有n個(gè)樣本數(shù)據(jù) 正相關(guān) 當(dāng)r 0時(shí) 表示兩個(gè)變量負(fù)相關(guān) r 越接近1 表明兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng) 當(dāng) r 接近0時(shí) 表明兩個(gè)變量幾乎不存在相關(guān)性 4 獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)于取值分別是 x1 x2 和 y1 y2 的分類變量X和Y 其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是 5 概率的基本性質(zhì)及常見概率的計(jì)算 1 隨機(jī)事件的概率 0 P A 1 必然事件的概率是1 不可能事件的概率是0 2 若事件A B互斥 則P A B P A P B 3 若事件A B對(duì)立 則P A B P A P B 1 4 兩種常見的概率模型 古典概型的特點(diǎn) 有限性 等可能性 6 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 P AB P A P B 7 超幾何分布中的概率 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中 任取n件 其中恰有X件次品 則P X k k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N 6 二項(xiàng)分布一般地 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 事件A發(fā)生的次數(shù)為X 設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p 則P X k pkqn k 其中0 p 1 p q 1 k 0 1 2 n 稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記作X B n p 且E X np D X np 1 p 7 離散型隨機(jī)變量的分布列 期望 方差 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1 x2 xi xn X取每一個(gè)值xi i 1 2 n 的概率P X xi pi 則稱下表 為離散型隨機(jī)變量X的分布列 2 E X x1p1 x2p2 xipi xnpn為X的均值或數(shù)學(xué)期望 3 D X x1 E X 2 p1 x2 E X 2 p2 xi E X 2 pi xn E X 2 pn叫做隨機(jī)變量X的方差 4 均值與方差的性質(zhì) E aX b aE X b E E E D aX b a2D X 6 3 1統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 考向一 考向二 考向三 相關(guān)關(guān)系的判斷及回歸分析例1 2018全國(guó) 理18 下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y 單位 億元 的折線圖 考向一 考向二 考向三 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型 根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù) 時(shí)間變量t的值依次為1 2 17 建立模型 30 4 13 5t 根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù) 時(shí)間變量t的值依次為1 2 7 建立模型 y 99 17 5t 1 分別利用這兩個(gè)模型 求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值 2 你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠 并說(shuō)明理由 考向一 考向二 考向三 解 1 利用模型 該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 2 利用模型 得到的預(yù)測(cè)值更可靠 理由如下 考向一 考向二 考向三 i 從折線圖可以看出 2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y 30 4 13 5t上下 這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì) 2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加 2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近 這說(shuō)明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì) 利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型 99 17 5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì) 因此利用模型 得到的預(yù)測(cè)值更可靠 考向一 考向二 考向三 解題心得在求兩變量相關(guān)系數(shù)和兩變量的回歸方程時(shí) 由于r和的公式比較復(fù)雜 求它的值計(jì)算量比較大 為了計(jì)算準(zhǔn)確 可將這個(gè)量分成幾個(gè)部分分別計(jì)算 這樣等同于分散難點(diǎn) 各個(gè)攻破 提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度 ii 從計(jì)算結(jié)果看 相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元 由模型 得到的預(yù)測(cè)值226 1億元的增幅明顯偏低 而利用模型 得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理 說(shuō)明利用模型 得到的預(yù)測(cè)值更可靠 以上給出了2種理由 答出其中任意一種或其他合理理由均可得分 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1下表是某校高三一次月考5個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué) 物理的平均成績(jī) 1 一般來(lái)說(shuō) 學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù) 求兩個(gè)變量x y的線性回歸方程 2 從以上5個(gè)班級(jí)中任選兩個(gè)參加某項(xiàng)活動(dòng) 設(shè)選出的兩個(gè)班級(jí)中數(shù)學(xué)平均分在115分以上的個(gè)數(shù)為X 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 考向一 考向二 考向三 考向一 考向二 考向三 獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題例2海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新 舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比 收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱 測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量 單位 kg 其頻率分布直方圖如下 舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法 考向一 考向二 考向三 1 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立 記A表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg 估計(jì)A的概率 2 填寫下面列聯(lián)表 并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99 的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān) 3 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖 求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值 精確到0 01 考向一 考向二 考向三 解 1 記B表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg C表示事件 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg 由題意知P A P BC P B P C 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為 0 012 0 014 0 024 0 034 0 040 5 0 62 故P B 的估計(jì)值為0 62 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為 0 068 0 046 0 010 0 008 5 0 66 故P C 的估計(jì)值為0 66 因此 事件A的概率估計(jì)值為0 62 0 66 0 4092 考向一 考向二 考向三 2 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 由于15 705 6 635 故有99 的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān) 考向一 考向二 考向三 3 因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中 箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖面積為 0 004 0 020 0 044 5 0 340 5 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為 解題心得有關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題解題步驟 1 作出2 2列聯(lián)表 2 計(jì)算隨機(jī)變量K2的值 3 查臨界值 檢驗(yàn)作答 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 2018全國(guó) 理18 某工廠為提高生產(chǎn)效率 開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng) 提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式 為比較兩種生產(chǎn)方式的效率 選取40名工人 將他們隨機(jī)分成兩組 每組20人 第一組工人用第一種生產(chǎn)方式 第二組工人用第二種生產(chǎn)方式 根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間 單位 min 繪制了如下莖葉圖 1 根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高 并說(shuō)明理由 考向一 考向二 考向三 2 求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m 并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表 3 根據(jù) 2 中的列聯(lián)表 能否有99 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 考向一 考向二 考向三 解 1 第二種生產(chǎn)方式的效率更高 理由如下 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人中 有75 的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘 用第二種生產(chǎn)方式的工人中 有75 的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85 5分鐘 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73 5分鐘 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 考向一 考向二 考向三 由莖葉圖可知 用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多 關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布 用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多 關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布 又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同 故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少 因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高 以上給出了4種理由 考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分 考向一 考向二 考向三 列聯(lián)表如下 所以有99 的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異 考向一 考向二 考向三 依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求事件發(fā)生的概率例3某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度 從A B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶 得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下 A地區(qū) 6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū) 7383625191465373648293486581745654766579 1 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖 并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度 不要求計(jì)算出具體值 給出結(jié)論即可 考向一 考向二 考向三 2 根據(jù)用戶滿意度評(píng)分 將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí) 記事件C A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)高于B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí) 假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立 根據(jù)所給數(shù)據(jù) 以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率 求C的概率 考向一 考向二 考向三 解 1 兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下 通過(guò)莖葉圖可以看出 A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值 A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中 B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散 考向一 考向二 考向三 2 記CA1表示事件 A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意或非常滿意 CA2表示事件 A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為非常滿意 CB1表示事件 B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意 CB2表示事件 B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為滿意 則CA1與CB1獨(dú)立 CA2與CB2獨(dú)立 CB1與CB2互斥 C CB1CA1 CB2CA2 P C P CB1CA1 CB2CA2 P CB1CA1 P CB2CA2 P CB1 P CA1 P CB2 P CA2 考向一 考向二 考向三 解題心得1 直接法 正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成 將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的事件或一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題 然后用相應(yīng)概率公式求解 2 間接法 當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多 反面情況比較少 則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解 即 正難則反 對(duì)于 至少 至多 等問題往往也用這種方法求解 考向一 考向二 考向三 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3A B C三個(gè)班共有100名學(xué)生 為調(diào)查他們的體育鍛煉情況 通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間 數(shù)據(jù)如下表 單位 小時(shí) 1 試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù) 2 從A班和C班抽出的學(xué)生中 各隨機(jī)選取一人 A班選出的人記為甲 C班選出的人記為乙 假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立 求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率 考向一 考向二 考向三 3 再?gòu)腁 B C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生 他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7 9 8 25 單位 小時(shí) 這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為 1 表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 0 試判斷 0和 1的大小 結(jié)論不要求證明 解 1 由題意知 抽出的20名學(xué)生中 來(lái)自C班的學(xué)生有8名 根據(jù)分層抽樣方法 C班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為100 40 2 設(shè)事件Ai為 甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個(gè)人 i 1 2 5 事件Cj為 乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個(gè)人 j 1 2 8 考向一 考向二 考向三 設(shè)事件E為 該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng) 由題意知 E A1C1 A1C2 A2C1 A2C2 A2C3 A3C1 A3C2 A3C3 A4C1 A4C2 A4C3 A5C1 A5C2 A5C3 A5C4 因此P E P A1C1 P A1C2 P A2C1 P A2C2 P A2C3 P A3C1 P A3C2 P A3C3 P A4C1 P A4C2 P A4C3 P A5C1 P A5C2 P A5C3 P A5C4 3 1 0