高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè) 第九章 高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題課件 理 新人教A版.ppt

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數(shù)學(xué)A 理 高考專題突破五高考中的圓錐曲線問題 第九章平面解析幾何 考點(diǎn)自測(cè) 高考題型突破 練出高分 B A B 圓 x 2 2 y2 4的圓心為C 2 0 半徑為r 2 解析 題型一圓錐曲線中的范圍 最值問題 1 求曲線C的方程及t的值 拋物線C的方程為y2 x 又點(diǎn)M t 1 在曲線C上 t 1 思維點(diǎn)撥 用點(diǎn)差法求kAB 用m表示出 AB 利用基本不等式求最值 解由 1 知 點(diǎn)M 1 1 從而n m 即點(diǎn)Q m m 依題意 直線AB的斜率存在 且不為0 設(shè)直線AB的斜率為k k 0 且A x1 y1 B x2 y2 故k 2m 1 即x 2my 2m2 m 0 4m 4m2 0 y1 y2 2m y1y2 2m2 m 思維升華圓錐曲線中最值問題的解決方法一般分兩種 一是幾何法 特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值 二是代數(shù)法 常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題 然后利用基本不等式 函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值 解設(shè)M x y 在 MAB中 AB 2 AMB 2 因此點(diǎn)M的軌跡是以A B為焦點(diǎn)的橢圓 點(diǎn)M在x軸上也符合題意 a 2 c 1 2 求 APQ面積的最大值 解設(shè)直線PQ的方程為x my 1 顯然方程 的 0 設(shè)P x1 y1 Q x2 y2 所以 APQ面積的最大值為3 此時(shí)直線PQ的方程為x 1 題型二圓錐曲線中的定點(diǎn) 定值問題 1 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足 PF 2 PB 2 4 求點(diǎn)P的軌跡 解設(shè)P x y 由題意知F 2 0 B 3 0 A 3 0 則 PF 2 x 2 2 y2 PB 2 x 3 2 y2 由 PF 2 PB 2 4 得 x 2 2 y2 x 3 2 y2 4 3 設(shè)t 9 求證 直線MN必過x軸上的一定點(diǎn) 其坐標(biāo)與m無關(guān) 證明如圖所示 點(diǎn)T的坐標(biāo)為 9 m 3 設(shè)t 9 求證 直線MN必過x軸上的一定點(diǎn) 其坐標(biāo)與m無關(guān) 3 設(shè)t 9 求證 直線MN必過x軸上的一定點(diǎn) 其坐標(biāo)與m無關(guān) 令y 0 解得x 1 所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn) 1 0 3 設(shè)t 9 求證 直線MN必過x軸上的一定點(diǎn) 其坐標(biāo)與m無關(guān) 思維升華求定點(diǎn)及定值問題常見的方法有兩種 1 從特殊入手 求出定值 再證明這個(gè)值與變量無關(guān) 2 直接推理 計(jì)算 并在計(jì)算推理的過程中消去變量 從而得到定值 2 如圖所示 A B D是橢圓C的頂點(diǎn) P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn) 直線DP交x軸于點(diǎn)N 直線AD交BP于點(diǎn)M 設(shè)BP的斜率為k MN的斜率為m 證明 2m k為定值 例3 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 題型三圓錐曲線中的探索性問題 思維點(diǎn)撥 解析 設(shè)S x y 為曲線 上的任意一點(diǎn) 利用拋物線的定義 判斷S滿足拋物線的定義 即可求曲線 的方程 思維點(diǎn)撥 解析 例3 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 題型三圓錐曲線中的探索性問題 解方法一設(shè)S x y 為曲線 上任意一點(diǎn) 思維點(diǎn)撥 解析 例3 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 題型三圓錐曲線中的探索性問題 依題意 點(diǎn)S到F 0 1 的距離與它到直線y 1的距離相等 所以曲線 是以點(diǎn)F 0 1 為焦點(diǎn) 直線y 1為準(zhǔn)線的拋物線 所以曲線 的方程為x2 4y 思維點(diǎn)撥 解析 例3 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 題型三圓錐曲線中的探索性問題 方法二設(shè)S x y 為曲線 上任意一點(diǎn) 思維點(diǎn)撥 解析 例3 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 題型三圓錐曲線中的探索性問題 思維點(diǎn)撥 解析 例3 2014 福建 已知曲線 上的點(diǎn)到點(diǎn)F 0 1 的距離比它到直線y 3的距離小2 1 求曲線 的方程 題型三圓錐曲線中的探索性問題 化簡(jiǎn) 得曲線 的方程為x2 4y 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 通過拋物線方程利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線方程 求出A M的坐標(biāo) N的坐標(biāo) 以MN為直徑作圓C 求出圓心坐標(biāo) 半徑是常數(shù) 即可證明當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度不變 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 解當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng)時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度不變 證明如下 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 所以點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng)時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度不變 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 1 探索性問題通常采用 肯定順推法 將不確定性問題明朗化 其步驟為假設(shè)滿足條件的元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 用待定系數(shù)法設(shè)出 例3 2 曲線 在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A 直線y 3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M N 以MN為直徑作圓C 過點(diǎn)A作圓C的切線 切點(diǎn)為B 試探究 當(dāng)點(diǎn)P在曲線 上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合 時(shí) 線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化 證明你的結(jié)論 思維點(diǎn)撥 解析 思維升華 列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組 若方程組有實(shí)數(shù)解 則元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 存在 否則 元素 點(diǎn) 直線 曲線或參數(shù) 不存在 2 反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問題常用的方法 跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓C1 拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上 C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O 從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn) 將其坐標(biāo)記錄于下表中 1 求C1 C2的標(biāo)準(zhǔn)方程 易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 4x 解容易驗(yàn)證當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí) 不滿足題意 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí) 設(shè)其方程為y k x 1 與C1的交點(diǎn)為M x1 y1 N x2 y2 解得k 2 所以存在直線l滿足條件 且直線l的方程為2x y 2 0或2x y 2 0 題型四直線 圓及圓錐曲線的交匯問題 思維點(diǎn)撥根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)易求出a b的值 從而寫出橢圓的方程 1 求橢圓C1的方程 1 求橢圓C1的方程 2 求 ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程 思維點(diǎn)撥要求 ABD的面積 需要求出AB PD的長(zhǎng) AB是圓的弦 考慮用圓的知識(shí)來求 PD應(yīng)當(dāng)考慮用橢圓的相關(guān)知識(shí)來求 求出AB PD的長(zhǎng)后 表示出 ABD的面積 再根據(jù)式子的形式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪?2 求 ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 D x0 y0 由題意知直線l1的斜率存在 不妨設(shè)其為k 則直線l1的方程為y kx 1 又圓C2 x2 y2 4 2 求 ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程 又l2 l1 故直線l2的方程為x ky k 0 2 求 ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程 2 求 ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程 2 求 ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程 思維升華對(duì)直線 圓及圓錐曲線的交匯問題 要認(rèn)真審題 學(xué)會(huì)將問題拆分成基本問題 然后綜合利用數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 方程的思想等來解決問題 這樣可以漸漸增強(qiáng)自己解決綜合問題的能力 2 已知直線l y kx與橢圓C分別交于兩點(diǎn)A B 與圓M分別交于兩點(diǎn)G H 其中點(diǎn)G在線段AB上 且 AG BH 求k的值 顯然 若點(diǎn)H也在線段AB上 則由對(duì)稱性知 直線y kx就是y軸 矛盾 因?yàn)?AG BH 所以 AB GH 整理得4k4 3k2 1 0 解得k2 1 即k 1 2 3 4 5 6 1 解由題意 拋物線焦點(diǎn)為 1 0 設(shè)l x ty 1 代入拋物線y2 4x 消去x得y2 4ty 4 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則y1 y2 4t y1y2 4 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 解設(shè)l x ty b 代入拋物線y2 4x 消去x得y2 4ty 4b 0 設(shè)A x1 y1 B x2 y2 則y1 y2 4t y1y2 4b 2 3 4 5 6 1 令b2 4b 4 b2 4b 4 0 b 2 直線l過定點(diǎn) 2 0 2 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A 2 3 且點(diǎn)F 2 0 為其右焦點(diǎn) 1 求橢圓C的方程 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 2 是否存在平行于OA的直線l 使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn) 且直線OA與l的距離等于4 若存在 求出直線l的方程 若不存在 說明理由 3 4 5 6 1 2 因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn) 3 4 5 6 1 2 2 4 5 6 1 3 2 4 5 6 1 3 解 1 v 4 雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上 設(shè)F c 0 則c2 4 v v 1 3 由橢圓C與雙曲線共焦點(diǎn) 知a2 b2 3 設(shè)直線l的方程為x ty a 代入y2 2x 可得y2 2ty 2a 0 設(shè)P x1 y1 Q x2 y2 則y1 y2 2t y1y2 2a 2 4 5 6 1 3 OP OQ x1x2 y1y2 a2 2a 0 a 2 b 1 2 4 5 6 1 3 2 在橢圓C上 是否存在點(diǎn)R m n 使得直線l mx ny 1與圓O x2 y2 1相交于不同的兩點(diǎn)M N 且 OMN的面積最大 若存在 求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的 OMN的面積 若不存在 請(qǐng)說明理由 2 4 5 6 1 3 m2 n2 2 又 m2 4n2 4 2 4 5 6 1 3 2 3 5 6 1 4 a2 2 b2 1 2 3 5 6 1 4 2 記橢圓的上頂點(diǎn)為M 直線l交橢圓于P Q兩點(diǎn) 問 是否存在直線l 使點(diǎn)F恰為 PQM的垂心 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請(qǐng)說明理由 解假設(shè)存在直線l交橢圓于P Q兩點(diǎn) 且F恰為 PQM的垂心 設(shè)P x1 y1 Q x2 y2 2 3 5 6 1 4 2 3 5 6 1 4 M 0 1 F 1 0 直線l的斜率k 1 于是設(shè)直線l為y x m 2 3 5 6 1 4 x1 x2 1 x2 m x1 m 1 0 2 3 5 6 1 4 即2x1x2 x1 x2 m 1 m2 m 0 故存在直線l 使點(diǎn)F恰為 PQM的垂心 5 已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O 一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為 0 2 它的兩個(gè)短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形 直線l與y軸交于點(diǎn)P 0 m 與橢圓C交于異于橢圓頂點(diǎn)的兩點(diǎn)A B 且 1 求橢圓的方程 2 3 4 6 1 5 2 3 4 6 1 5 2 求m的取值范圍 解設(shè)A x1 y1 B x2 y2 由題意 知直線l的斜率存在 設(shè)其方程為y kx m 與橢圓方程聯(lián)立 2 3 4 6 1 5 2mk 2 4 2 k2 m2 4 0 2 3 4 6 1 5 所以 x1 2x2 2 3 4 6 1 5 整理 得 9m2 4 k2 8 2m2 又9m2 4 0時(shí)等式不成立 2 3 4 6 1 5 6 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 已知雙曲線C1 2x2 y2 1 1 過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線 求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 2 設(shè)斜率為1的直線l交C1于P Q兩點(diǎn) 若l與圓x2 y2 1相切 求證 OP OQ 證明設(shè)直線PQ的方程是y x b 2 3 4 5 1 6 又y1y2 x1 b x2 b 故OP OQ 2 3 4 5 1 6 3 設(shè)橢圓C2 4x2 y2 1 若M N分別是C1 C2上的動(dòng)點(diǎn) 且OM ON 求證 O到直線MN的距離是定值 2 3 4 5 1 6 2 3 4 5 1 6 設(shè)O到直線MN的距離為d 因?yàn)?OM 2 ON 2 d2 OM 2 ON 2 2 3 4 5 1 6