高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 第十二篇 幾何證明選講 第2節(jié) 圓與直線、圓與四邊形課件 文 北師大版.ppt

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第2節(jié)圓與直線 圓與四邊形 1 會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理 圓的切線判定定理與性質(zhì)定理 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來(lái) 知識(shí)梳理 1 圓周角定理 弦切角定理 1 圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的的一半 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半 2 圓周角定理的推論推論1 同弧或等弧所對(duì)的相等 在同圓或等圓中 相等的 所對(duì)的弧也相等 推論2 半圓 或直徑 所對(duì)的圓周角是 90 的圓周角所對(duì)的弧是 3 弦切角定理弦切角等于它所夾弧所對(duì)的 弦切角的度數(shù)等于它所夾弧的度數(shù)的一半 圓心角 圓周角 圓周角 直角 半圓 圓周角 2 圓內(nèi)接四邊形的判定定理和性質(zhì)定理 互補(bǔ) 內(nèi)對(duì)角 互補(bǔ) 內(nèi)對(duì)角 3 圓的切線 外端 垂直于 垂直于 切點(diǎn) 圓心 4 直線與圓位置關(guān)系的有關(guān)定理 比例中項(xiàng) 積 積 切線長(zhǎng) 基礎(chǔ)自測(cè) 1 給出下列命題 圓心角等于圓周角的2倍 相等的圓周角所對(duì)的弧也相等 等腰梯形一定有外接圓 弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù) 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中 A B C D m n p q 則有m p n q 其中錯(cuò)誤的是 A B C D 解析 錯(cuò)誤 若弧不一樣 則圓心角與圓周角的關(guān)系不確定 錯(cuò)誤 只有在同圓或等圓中 相等的圓周角所對(duì)的弧才相等 正確 可以推出等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ) 所以有外接圓 錯(cuò)誤 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角 所夾的弧的度數(shù)等于該弧所對(duì)圓心角的度數(shù) 所以弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角度數(shù)的2倍 正確 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角互補(bǔ) B A C 4 2015高考重慶卷 如圖 圓O的弦AB CD相交于點(diǎn)E 過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P 若PA 6 AE 9 PC 3 CE ED 2 1 則BE 答案 2 5 2015高考廣東卷 如圖 已知AB是圓O的直徑 AB 4 EC是圓O的切線 切點(diǎn)為C BC 1 過(guò)圓心O作BC的平行線 分別交EC和AC于點(diǎn)D和點(diǎn)P 則OD 答案 8 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 圓周角 圓心角 弦切角和圓的切線問(wèn)題 考點(diǎn)一 反思?xì)w納 1 證明直線是圓的切線可運(yùn)用切線的判定定理 2 涉及圓的切線問(wèn)題時(shí)常常利用弦切角定理實(shí)現(xiàn)弦切角與圓周角的相互轉(zhuǎn)化 利用圓周角 圓心角定理及其推論實(shí)現(xiàn)圓周角 圓心角及所對(duì)弧的度數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化 四點(diǎn)共圓問(wèn)題 考點(diǎn)二 例2 如圖 CD為 ABC外接圓的切線 AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D E F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn) 且BC AE DC AF B E F C四點(diǎn)共圓 1 證明 CA是 ABC外接圓的直徑 2 若DB BE EA 求過(guò)B E F C四點(diǎn)的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值 反思?xì)w納圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是圓中探求角的相等或互補(bǔ)關(guān)系的常用定理 使用時(shí)要注意觀察圖形 要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對(duì)角的位置 其性質(zhì)定理是溝通角的相等關(guān)系的重要依據(jù) 解題時(shí)要注意相關(guān)角的定理的靈活應(yīng)用 即時(shí)訓(xùn)練 2015高考湖南卷 如圖 在 O中 相交于點(diǎn)E的兩弦AB CD的中點(diǎn)分別是M N 直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F 證明 1 MEN NOM 180 2 FE FN FM FO 證明 1 因?yàn)镸 N分別是弦AB CD的中點(diǎn) 所以O(shè)M AB ON CD 即 OME 90 ENO 90 因此 OME ENO 180 又四邊形的內(nèi)角和等于360 故 MEN NOM 180 2 由 1 知O M E N四點(diǎn)共圓 故由割線定理即得FE FN FM FO 與圓有關(guān)的比例線段 考點(diǎn)三 例3 2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖 P是 O外一點(diǎn) PA是切線 A為切點(diǎn) 割線PBC與 O相交于點(diǎn)B C PC 2PA D為PC的中點(diǎn) AD的延長(zhǎng)線交 O于點(diǎn)E 證明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 證明 2 由切割線定理得PA2 PB PC 因?yàn)镻A PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 反思?xì)w納證明與圓有關(guān)的比例線段 常用到三角形相似 相交弦定理 割線定理以及切割線定理等 同時(shí)要注意圓的有關(guān)性質(zhì) 直角三角形中的射影定理 角平分線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用 即時(shí)訓(xùn)練 2016貴陽(yáng)一測(cè) AB是 O的一條切線 切點(diǎn)為B 過(guò) O外一點(diǎn)C作直線CE交 O于G E 連接AE交 O于D 連接CD交 O于F 連接AC FG 已知AC AB 1 證明 AD AE AC2 2 證明 FG AC 證明 1 因?yàn)锳B是 O的一條切線 AE為割線 所以AB2 AD AE 又因?yàn)锳B AC 所以AC2 AD AE 備選例題 例1 2016赤峰模擬 如圖所示 圓O的直徑為BD 過(guò)圓上一點(diǎn)A作圓O的切線AE 過(guò)點(diǎn)D作DE AE于點(diǎn)E 延長(zhǎng)ED與圓O交于點(diǎn)C 1 證明 DA平分 BDE 1 證明 因?yàn)锳E是 O的切線 所以 DAE ABD 因?yàn)锽D是 O的直徑 所以 BAD 90 所以 ABD ADB 90 又 ADE DAE 90 所以 ADB ADE 所以DA平分 BDE 2 若AB 4 AE 2 求CD的長(zhǎng) 2 求證 BF FG 例3 2016烏魯木齊一診 過(guò)以AB為直徑的圓上C點(diǎn)作直線交圓于E點(diǎn) 交AB延長(zhǎng)線于D點(diǎn) 過(guò)C點(diǎn)作圓的切線交AD于F點(diǎn) 交AE延長(zhǎng)線于G點(diǎn) 且GA GF 1 求證CA CD 證明 1 因?yàn)镚F是圓的切線 所以 GCE GAC 又因?yàn)?GCE DCF 所以 DCF GAC 因?yàn)镚A GF 所以 GAF AFG 又 GAF GAC CAF AFG D DCF 所以 CAF D 所以CA CD 2 設(shè)H為AD的中點(diǎn) 求證BH BA BF BD 解題規(guī)范夯實(shí)把經(jīng)典問(wèn)題的解決程序化 與圓有關(guān)的比例線段 典例 2016保定一模 如圖所示 已知 O1與 O2相交于A B兩點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)A作 O1的切線交 O2于點(diǎn)C 過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線 分別交 O1 O2于點(diǎn)D E DE與AC相交于點(diǎn)P 1 求證 AD EC 2 若AD是 O2的切線 且PA 6 PC 2 BD 9 求AD的長(zhǎng) 滿分展示 1 證明 連接AB 1分因?yàn)锳C是 O1的切線 所以 BAC D 3分又因?yàn)?BAC E 所以 D E 所以AD EC 5分 2 解 因?yàn)镻A是 O1的切線 PD是 O1的割線 所以PA2 PB PD 所以62 PB PB 9 所以PB 3 7分在 O2中 由相交弦定理得PA PC BP PE 所以PE 4 8分因?yàn)锳D是 O2的切線 DE是 O2的割線 所以AD2 DB DE 9 16 所以AD 12 10分 答題模板 第一步 作輔助線 連接AB 第二步 由弦切角定理得 BAC D 第三步 由圓周角定理得 BAC E 第四步 等量代換得 D E 從而證出AD EC 第五步 由切割線定理求出PB的長(zhǎng) 第六步 由相交弦定理求出PE的長(zhǎng) 第七步 再由切割線定理求出AD的長(zhǎng)