高考數(shù)學一輪復習 第五章 數(shù)列課件 湘教版.ppt

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第五章數(shù)列 5 1數(shù)列的概念與簡單表示5 2等差數(shù)列及其前n項和5 3等比數(shù)列及其前n項和5 4數(shù)列求和5 5數(shù)列模型的應用5 6數(shù)列綜合性問題 5 1數(shù)列的概念與簡單表示 1 數(shù)列的概念按照排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列 一般用表示 一定順序 2 數(shù)列的分類 有限 無限 正整數(shù)集N 或N 的有限子集 1 2 3 n 函數(shù)值 解析法 圖象法 列表法 序號n 由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項 1 由所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時 需仔細觀察分析 抓住以下幾方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相鄰項的變化特征 3 拆項后的特征 4 各項符號特征等 并對此進行歸納 聯(lián)想 2 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法 它蘊含著 從特殊到一般 的思想 由不完全歸納得出的結果是不可靠的 要注意代值檢驗 對于正負符號變化 可用 1 n或 1 n 1來調整 3 觀察 分析問題的特點是最重要的 觀察要有目的 觀察出項與項數(shù)之間的關系 規(guī)律 利用我們熟知的一些基本數(shù)列 如自然數(shù)列 奇偶數(shù)列等 轉換而使問題得到解決 由遞推公式求數(shù)列通項公式 變式訓練 2 已知下面數(shù)列 an 的遞推關系和前n項和Sn 求 an 的通項公式 1 Sn 3n b 2 a1 1 an 1 3an 2 求an 解析 1 a1 S1 3 b 當n 2時 an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 當b 1時 a1適合此等式 當b 1時 a1不適合此等式 當b 1時 an 2 3n 1 當b 1時 an 3 b n 1 2 3n 1 n 2 數(shù)列的性質研究 1 數(shù)列的概念及簡單表示數(shù)列中的數(shù)是有序的 要注意辨析數(shù)列的項和數(shù)集中元素的異同 數(shù)列的簡單表示要類比函數(shù)的表示方法來理解 數(shù)列 an 可以看成是以正整數(shù)集N 或N 的有限子集 1 2 3 n 為定義域的函數(shù)an f n 當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數(shù)值 2 由數(shù)列的前幾項歸納出其通項公式據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時 需仔細觀察分析 抓住其幾方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相鄰項的變化特征 3 拆項后的特征 4 各項符號特征和絕對值特征 并對此進行歸納 化歸 聯(lián)想 通過對近三年高考試題的統(tǒng)計分析可以看出 本節(jié)主要考查數(shù)列的項 項數(shù) 求通項公式 an與Sn的關系 由數(shù)列的遞推關系求通項時 通常將其變形成等差數(shù)列 等比數(shù)列或與函數(shù)的周期性等有關的問題 2013 全國新課標 卷 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知S10 0 S15 25 則nSn的最小值為 規(guī)范解答 由題意及等差數(shù)列的性質 知a1 a10 0 a1 a15 兩式相減 得a15 a10 5d 所以d a1 3 所以nSn n na1 d 令f x x 0 則f x x 3x 20 由函數(shù)的單調性 可知函數(shù)f x 在x 時取得最小值 檢驗n 6時 6S6 48 而n 7時 7S7 49 故nSn的最小值為 49 閱后報告 本題求出的nSn的表達式可以看作是一個定義在正整數(shù)集N 上的三次函數(shù) 因此可以采用導數(shù)法求解 3 2014 全國新課標 卷 數(shù)列 an 滿足an 1 a8 2 則a1 解析 由題易知a8 2 得a7 a7 得a6 1 a6 1 得a5 2 于是可知數(shù)列 an 具有周期性 且周期為3 所以a1 a7 答案 課時作業(yè) 5 2等差數(shù)列及其前n項和 2 同一個常數(shù) 公差 A 2 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 7 a3 a6 16 an 31 則n為 A 13B 14C 15D 16 解析 由已知可得a4 a5 7 a5 a3 a6 16 得a5 16 7 9 故公差d a5 a4 9 7 2 同時解得a1 1 由1 n 1 2 31 解得n 16 答案 D 3 2014 荊州高三調研 公差不為零的等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a4是a3與a7的等比中項 且S10 60 則S20 A 80B 160C 320D 640 4 2014 武漢高三聯(lián)考 已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 an 的前n項和為Sn 則使得Sn達到最大的n是 解析 a1 a3 a5 105 a3 35 a2 a4 a6 99 a4 33 則 an 的公差d 33 35 2 a1 a3 2d 39 Sn n2 40n 因此當Sn取得最大值時 n 20 答案 20 等差數(shù)列的判斷與證明 等差數(shù)列的基本運算 等差數(shù)列的性質及應用 變式訓練 3 在數(shù)列 an 中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 證明數(shù)列是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項 3 若 an 對任意n 2的整數(shù)恒成立 求實數(shù) 的取值范圍 解析 1 證明 將3anan 1 an an 1 0 n 2 整理得 3 n 2 所以數(shù)列為以1為首項 3為公差的等差數(shù)列 2 由 1 可得 1 3 n 1 3n 2 所以an 13n 2 3 若 an 對n 2的整數(shù)恒成立 即 3n 2 3n 1 對n 2的整數(shù)恒成立 整理得 3n 1 3n 2 3 n 1 規(guī)范解答 1 由題意得 a1 5a3 2a2 2 2 由a1 10 an 為公差為d的等差數(shù)列得 d2 3d 4 0 解得d 1或d 4 所以an n 11 n N 或an 4n 6 n N 2 設數(shù)列 an 的前n項和為Sn 因為d 0 由 1 得d 1 an n 11 所以當n 11時 a1 a2 a3 an Sn n2 n 當n 12時 a1 a2 a3 an Sn 2S11 n2 n 110 綜上所述 a1 a2 a3 an n2 n n 11 n2 n 110 n 12 閱后報告 1 不能盲目認為 a1 a2 an 是等差數(shù)列 要分段研究 2 當n 11時 是求Sn 而不是求S11 3 討論n 11和n 12后 要有總結結論 1 2014 遼寧卷 設等差數(shù)列 an 的公差為d 若數(shù)列 為遞減數(shù)列 則 A d 0B d 0C a1d 0D a1d 0 解析 令bn 2a1an 因為數(shù)列 為遞減數(shù)列 所以 1 所以a1d 0 答案 D 2 2014 北京卷 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a100 a7 a10 a8 a90 a9 0 n 8時 數(shù)列 an 的前n項和最大 答案 8 3 2014 湖北卷 已知等差數(shù)列 an 滿足 a1 2 且a1 a2 a5成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 記Sn為數(shù)列 an 的前n項和 是否存在正整數(shù)n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 說明理由 解析 1 設數(shù)列 an 的公差為d 依題意得 2 2 d 2 4d成等比數(shù)列 故有 2 d 2 2 2 4d 化簡得d2 4d 0 解得d 0或d 4 當d 0時 an 2 當d 4時 an 2 n 1 4 4n 2 從而得數(shù)列 an 的通項公式為an 2或an 4n 2 課時作業(yè) 5 3等比數(shù)列及其前n項和 第2項 前一項 同一個 公比 q 等比數(shù)列 ab 等比 3 設等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若S6 S3 1 2 則S9 S3 A 1 2B 2 3C 3 4D 1 3 解析 由等比數(shù)列的性質知S3 S6 S3 S9 S6仍成等比數(shù)列 于是 S6 S3 2 S3 S9 S6 將S6 1 2S3代入得S9 S3 3 4 答案 C 等比數(shù)列的判定與證明 3 假設存在 則m n 2s am 1 an 1 as 1 2 因為an 所以化簡 得3m 3n 2 3s 因為3m 3n 2 3s 當且僅當m n時等號成立 又m s n互不相等 所以3m 3n 2 3s不成立 所以不存在滿足條件的m n s 等比數(shù)列的基本運算 等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 所求問題可迎刃而解 解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關公式 并靈活運用 在運算過程中 還應善于運用整體代換思想簡化運算過程 變式訓練 2 已知首項為的等比數(shù)列 an 不是遞減數(shù)列 其前n項和為Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 設Tn Sn n N 求數(shù)列 Tn 的最大項的值與最小項的值 解析 1 設等比數(shù)列 an 的公比為q 因為S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 于是q2 a5a3 又 an 不是遞減數(shù)列且a1 所以q 故等比數(shù)列 an 的通項公式為an n 1 1 n 1 2 由 1 得Sn 1 1 n為奇數(shù) 1 n為偶數(shù) 當n為奇數(shù)時 Sn隨n的增大而減小 所以1Sn S2 綜上 對于n N 總有 Sn 所以數(shù)列 Tn 最大項的值為 最小項的值為 2013 湖北卷 已知等比數(shù)列 an 滿足 a2 a3 10 a1a2a3 125 1 求數(shù)列 an 的通項公式 2 是否存在正整數(shù)m 使得 1 若存在 求m的最小值 若不存在 說明理由 規(guī)范解答 1 設等比數(shù)列 an 的公比為q 則由已知可得a31q3 125 解得a1 a1q a1q2 10 q 3或a1 5 q 1 故an 3n 1或an 5 1 n 1 2 若an 3n 1 則 則是首項為 公比為的等比數(shù)列 從而 1 若an 5 1 n 1 則 1 n 1 故1an是首項為 15 公比為 1的等比數(shù)列 從而 n 2k 1 k N 0 n 2k k N 故 1 綜上 對任何正整數(shù)m 總有 1 故不存在正整數(shù)m 使得 1成立 閱后報告 等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題 解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用 尤其需要注意的是 在使用等比數(shù)列的前n項和公式時 應該要分類討論 有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程 3 2014 全國新課標 卷 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 3an 1 1 證明是等比數(shù)列 并求 an 的通項公式 2 證明 解析 1 由an 1 3an 1得an 1 3 an 又a1 所以an 是首項為 公比為3的等比數(shù)列 所以an 因此數(shù)列 an 的通項公式為an 2 證明 由 1 知 因為當n 1時 3n 1 2 3n 1 所以 即 于是 1 13n 32 所以 課時作業(yè) 5 4數(shù)列求和 解析 f x mxm 1 a 2x 1 m 2 a 1 f x x2 x f n n2 n Sn 答案 分組轉化求和 2014 湖州質檢 在等比數(shù)列 an 中 已知a1 3 公比q 1 等差數(shù)列 bn 滿足b1 a1 b4 a2 b13 a3 1 求數(shù)列 an 與 bn 的通項公式 2 記cn 1 nbn an 求數(shù)列 cn 的前n項和Sn 解析 1 設等比數(shù)列 an 的公比為q 等差數(shù)列 bn 的公差為d 由已知 得a2 3q a3 3q2 b1 3 b4 3 3d b13 3 12d 故3q 3 3d q 1 d 3q2 3 12dq2 1 4dq 3或1 舍去 所以d 2 所以an 3n bn 2n 1 2 由題意 得cn 1 nbn an 1 n 2n 1 3n Sn c1 c2 cn 3 5 7 9 1 n 1 2n 1 1 n 2n 1 3 32 3n 當n為偶數(shù)時 Sn n 當n為奇數(shù)時 Sn n 1 2n 1 所以Sn n為偶數(shù) n為奇數(shù) 錯位相減法求和 2014 武漢高三調研 已知正項數(shù)列 an 其前n項和Sn滿足6Sn a2n 3an 2 且a1 a2 a6是等比數(shù)列 bn 的前三項 1 求數(shù)列 an 與 bn 的通項公式 2 記Tn a1bn a2bn 1 anb1 n N 證明 3Tn 1 2bn 1 an 1 n N 裂項相消法求和 閱后報告 1 一般地 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項和時 可采用錯位相減法求和 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫出 Sn 與 qSn 的表達式時應特別注意將兩式 錯項對齊 以便下一步準確寫出 Sn qSn 的表達式 1 2013 全國新課標 卷 設首項為1 公比為的等比數(shù)列 an 的前n項和為Sn 則 A Sn 2an 1B Sn 3an 2C Sn 4 3anD Sn 3 2an 2 2013 遼寧卷 已知等比數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 Sn是 an 的前n項和 若a1 a3是方程x2 5x 4 0的兩個根 則S6 解析 因為a1 a3是方程x2 5x 4 0的兩個根 且數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 所以a1 1 a3 4 q 2 所以S6 1 26 1 2 63 答案 63 解析 1 因為S1 a1 S2 2a1 2 2a1 2 S4 4a1 2 4a1 12 由題意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 2 由題意可知 bn 1 n 1 1 n 1 1 n 1 當n為偶數(shù)時 Tn 1 1 當n為奇數(shù)時 Tn 1 1 所以Tn n為奇數(shù) n為偶數(shù) 或Tn 課時作業(yè) 5 5數(shù)列模型的應用 1 數(shù)列在實際生活中有著廣泛的應用 其解題的基本步驟 可用圖表示如下 2 氣象學院用3 2萬元買了一臺天文觀測儀 已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用 第n天的維修保養(yǎng)費為元 n N 使用它直至報廢最合算 所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的平均耗資最少 為止 一共使用了 A 600天B 800天C 1000天D 1200天 解析 由第n天的維修保養(yǎng)費為元 n N 可知每天的維修保養(yǎng)費構成以 5為首項 為公差的等差數(shù)列 設一共使用了n天 則使用n天的平均耗資為當且僅當時取得最小值 此時n 800 答案 B 4 2014 成都一模 現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿 自上而下每節(jié)的長度依次構成等差數(shù)列 最上面一節(jié)長為10cm 最下面的三節(jié)長度之和為114cm 第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項 則n 解析 設每節(jié)竹竿的長度對應的數(shù)列為 an 公差為d d 0 由題意知a1 10 an an 1 an 2 114 a26 a1an 由an an 1 an 2 114 得3an 1 114 解得an 1 38 a1 5d 2 a1 an 1 d 即 10 5d 2 10 38 d 解得d 2 所以an 1 a1 n 2 d 38 即10 2 n 2 38 解得n 16 答案 16 等差數(shù)列模型的應用 解等差數(shù)列應用題 首先要認真審題 深刻理解問題的實際背景 理清蘊含在語言中的數(shù)學關系 把應用問題抽象為數(shù)學中的等差數(shù)列問題 使關系明朗化 標準化 然后用等差數(shù)列知識求解 這其中體現(xiàn)了把實際問題數(shù)學化的能力 也就是所謂的數(shù)學建模能力 祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來 在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園 臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受 綠色通道 的申請 受理 審批一站式服務 某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠 第一年各種經(jīng)費12萬美元 以后每年增加4萬美元 每年銷售蔬菜收入50萬美元 設f n 表示前n年的純收入 f n 前n年的總收入 前n年的總支出 投資額 1 從第幾年開始該臺商獲利 2 若干年后 該臺商為開發(fā)新項目 有兩種處理方案 年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠 純利潤總和最大時 以16萬美元出售該廠 問哪種方案最合算 解析 由題意知 每年的經(jīng)費是以12為首項 4為公差的等差數(shù)列 則f n 50n 72 2n2 40n 72 1 獲取純利潤就是要求f n 0 故有 2n2 40n 72 0 解得2 n 18 又n N 可知從第三年開始獲利 2 平均利潤為 40 16 當且僅當n 6時取等號 故此方案獲利 2 62 40 6 72 48 144 萬美元 此時n 6 f n 2n2 40n 72 2 n 10 2 128 當n 10時 f n max 128 故此方案共獲利128 16 144 萬美元 比較兩種方案 第 種方案只需6年 第 種方案需要10年 故選擇第 種方案更合算 等比數(shù)列模型的應用 某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍 并且每年年底固定給股東們分紅500萬元 該企業(yè)2011年年底分紅后的資金為1000萬元 1 求該企業(yè)2015年年底分紅后的資金 2 求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32500萬元 解析 設an為 2011 n 年年底分紅后的資金 其中n N 則a1 2 1000 500 1500 a2 2 1500 500 2500 an 2an 1 500 n 2 an 500 2 an 1 500 n 2 即數(shù)列 an 500 是首項為a1 500 1000 公比為2的等比數(shù)列 an 500 1000 2n 1 an 1000 2n 1 500 1 a4 1000 24 1 500 8500 該企業(yè)2015年年底分紅后的資金為8500萬元 2 由an 32500 即2n 1 32 得n 6 該企業(yè)從2018年開始年底分紅后的資金超過32500萬元 遞推數(shù)列模型的應用 某企業(yè)為加大對新產(chǎn)品的推銷力度 決定從今年起每年投入100萬元進行廣告宣傳 以增加新產(chǎn)品的銷售收入 已知今年的銷售收入為250萬元 經(jīng)市場調查 預測第n年與第n 1年銷售收入an與an 1 單位 萬元 滿足關系式 an an 1 100 1 設今年為第1年 求第n年的銷售收入an 2 依上述預測 該企業(yè)前幾年的銷售收入總和Sn最大 解析 1 由題意可知an an 1 100 n 2 an 1 an 2 100 a3 a2 100 a2 a1 100 a1 250 以上各式相加得 an 500 100 n 1 500 100 n 1 500 100 n 1 2 要求銷售收入總和Sn的最大值 即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和 an 500 100 n 1 要使an 0 即500 100 n 1 0 也就是 1 令bn 則bn bn 1 顯然 當n 3時 bn bn 1 而b51 a5 0 a6 0 該企業(yè)前5年的銷售收入總和最大 2012 湖南卷 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn) 該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元 將其投入生產(chǎn) 到當年年底資金增長了50 預計以后每年資金年增長率與第一年的相同 公司要求企業(yè)從第一年開始 每年年底上繳資金d萬元 并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn) 設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元 1 用d表示a1 a2 并寫出an 1與an的關系式 2 若公司希望經(jīng)過m m 3 年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元 試確定企業(yè)每年上繳資金d的值 用m表示 閱后報告 用數(shù)列知識解相關的實際問題 關鍵是列出相關信息 合理建立數(shù)學模型 數(shù)列模型 判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型 求解時 要明確目標 即搞清是求和 求通項 還是解遞推關系問題 所求結論對應的是解方程問題 解不等式問題 還是最值問題 然后經(jīng)過數(shù)學推理與計算得出的結果 放回到實際問題中進行檢驗 最終得出結論 課時作業(yè) 5 6數(shù)列綜合性問題 1 2014 濟南模擬 數(shù)列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 則數(shù)列 an 的前12項和等于 A 76B 78C 80D 82 解析 由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 結果相加可得S12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 答案 B 2 在如圖所示的表格中 如果每格填上一個數(shù)后 每一行成等差數(shù)列 每一列成等比數(shù)列 那么x y z的值為 A 1B 2C 3D 4 等差 等比數(shù)列的綜合 1 等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的重點 特別是等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項公式 前n項和公式以及等差中項 等比中項問題是歷年命題的熱點 2 利用等比數(shù)列前n項和公式時注意公比q的取值 同時對于兩種數(shù)列的性質 要熟悉它們的推導過程 利用好性質 可降低題目的難度 解題時有時還需利用條件聯(lián)立方程求解 數(shù)列與解析幾何 不等式的綜合應用 解析 1 由題意得 1 a2 2 a1 a3 1 即 1 a1 2 a1 a1 1 解得a1 an 設 bn 的公差為d 又T1 b2 即8 8 d T2 2 b3 16 d 2 8 2d 解得 或 1 d 8d 0 舍去 2 由 1 知Sn 1 Sn 又Tn 4n2 4n 1 1 由 可知 Sn 遞推數(shù)列 已知數(shù)列 an bn 滿足 a1 0 b1 2013 且對任意的正整數(shù)n an an 1 bn和an 1 bn 1 bn均成等差數(shù)列 1 求a2 b2的值 2 證明 an bn 和 an 2bn 均成等比數(shù)列 3 是否存在唯一的正整數(shù)c 使得an c bn恒成立 證明你的結論 解析 1 a2 b2 2 證明 依題意 對任意的正整數(shù)n 有an 1 an 1 an bn bn 1 bn 1 an bn 因為 n N 又a1 b1 2013 0 所以 an bn 是首項為 2013 公比為1 4的等比數(shù)列 因為 n N 又a1 2b1 4026 0 所以 an 2bn 是首項為4026 公比為1的等比數(shù)列 3 由 2 得an 2bn 4026 an bn 解得an 1342 bn 1342 n N 顯然 an 是單調遞增數(shù)列 bn 是單調遞減數(shù)列 且an 1342 bn n N 即存在正整數(shù)c 1342 使得對任意的n N 有an1342 而210 1024 212 4096 所以2n 2 12 n 7 所以對任意的n N 當n 7時 1341 an 1342 bn 1343 所以正整數(shù)c 1342也是唯一的 綜上所述 存在唯一的正整數(shù)c 1342 使得對任意的n N 有an c bn恒成立 1 數(shù)列綜合題的四種題型 1 數(shù)列與其他章節(jié)的綜合題數(shù)列綜合題 包括數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 不等式知識的綜合 另外 數(shù)列知識在復數(shù) 三角函數(shù) 解析幾何部分也有廣泛應用 2 數(shù)列的探索性問題探索性問題是高考的熱點 常在數(shù)列解答題中出現(xiàn) 探索性問題對分析問題 解決問題的能力有較高的要求 3 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題解決此類問題須從整體著眼考查所研究的問題中的數(shù)列特征 結構特征 以探求解題思路 從而優(yōu)化 簡化解題過程的思想方法 在數(shù)列中 倘若抓住等差 等比數(shù)列項的性質 整體代換可簡化解答過程 2 遞推數(shù)列問題的一般處理方法 1 利用化歸思想 將非等差數(shù)列 非等比數(shù)列問題化歸為等差或等比數(shù)列問題進行解決 2 借助歸納思想 通過不完全歸納形成猜想后用數(shù)學歸納法解決問題 3 依托函數(shù)思想 設法求出所給數(shù)列的通項公式后一般性解決問題 3 由遞推公式求通項公式的常用方法累加法 累乘法 疊代法 歸納法 換元法 待定系數(shù)法 特征方程法 不動點法等 由于數(shù)列與函數(shù)的關系 數(shù)列與自然數(shù)n的對應 數(shù)列求和與不等式放縮的聯(lián)系以及 能力立意 命題的需求 使得具有一定難度和一定綜合性要求的數(shù)列試題常常光顧解答題中的后三題的位置 很多情況下甚至就是高考壓軸題 這一類綜合性問題 往往會與數(shù)列的遞推公式相關 用于全面考查數(shù)列的概念與性質 考查邏輯運算能力以及數(shù)學知識的綜合運用能力 學會處理這類問題往往成為高考中奪取數(shù)學高分的關鍵 求解時除了可以直接由遞推公式求數(shù)列的通項公式和前n項和公式來研究數(shù)列的性質外 一般不需要求通項公式 也能直接利用遞推關系來研究數(shù)列的性質 閱后報告 本題屬高難度試題 以解析幾何問題為載體主要考查了數(shù)列的函數(shù)屬性 要求綜合運用導數(shù)和不等式的相關知識 對考生的思維能力 運算能力 分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力提出了較高的要求 證明 1 對每個n N 當x 0時 f n x 1 0 故fn x 在 0 內(nèi)單調遞增 由于f1 1 0 當n 2時 fn 1 0 故fn 1 0 又fn 1 所以存在唯一的xn 1 滿足fn xn 0 2 當x 0時 fn 1 x fn x fn x 故fn 1 xn fn xn fn 1 xn 1 0 由fn 1 x 在 0 內(nèi)單調遞增 xn 1 xn 故 xn 為單調遞減數(shù)列 從而對任意n p N xn p xn 對任意p N 由于fn xn 1 xn 0 fn p xn p 1 xn p 0 式減去 式并移項 利用0 xn p xn 1 得xn xn p 因此 對任意p N 都有0 xn xn p