高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第8講 函數(shù)與方程課件 理 新人教A版.ppt

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第8講函數(shù)與方程 考試要求函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系 一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)的判斷 B級要求 知識梳理 1 函數(shù)的零點 1 函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y f x x D 把使的實數(shù)x叫做函數(shù)y f x x D 的零點 2 幾個等價關(guān)系方程f x 0有實數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與有交點 函數(shù)y f x 有 f x 0 x軸 零點 3 零點存在性定理 如果函數(shù)y f x 滿足 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 則函數(shù)y f x 在 a b 上存在零點 即存在c a b 使得f c 0 這個c也就是方程f x 0的根 f a f b 0 2 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象與零點的關(guān)系 x1 0 x2 0 x1 0 診斷自測 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 1 函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點 2 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 函數(shù)圖象連續(xù)不斷 則f a f b 0 3 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 在b2 4ac0時 函數(shù)y 2x與y x2的圖象有兩個交點 2 2015 安徽卷改編 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又存在零點的是 y cosx y sinx y lnx y x2 1 解析由于y sinx是奇函數(shù) y lnx是非奇非偶函數(shù) y x2 1是偶函數(shù)但沒有零點 只有y cosx是偶函數(shù)又有零點 答案 答案 1 答案3 5 2014 湖北卷改編 已知f x 是定義在R上的奇函數(shù) 當x 0時 f x x2 3x 則函數(shù)g x f x x 3的零點的集合為 解析當x 0時 f x x2 3x 令g x x2 3x x 3 0 得x1 3 x2 1 當x0 f x x 2 3 x f x x2 3x f x x2 3x 令g x x2 3x x 3 0 得x3 2 x4 2 0 舍 函數(shù)g x f x x 3的零點的集合是 2 1 3 答案 2 1 3 考點一函數(shù)零點的判斷與求解 由圖象可知 f x g x 1的實根個數(shù)為4 答案 1 1 2 4 規(guī)律方法函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法 1 直接求零點 令f x 0 有幾個解就有幾個零點 2 零點存在性定理 要求函數(shù)在區(qū)間 a b 上是連續(xù)不斷的曲線 且f a f b 0 再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù) 3 利用圖象交點個數(shù) 作出兩函數(shù)圖象 觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù) 答案0 考點二根據(jù)函數(shù)零點存在情況 求參數(shù)的取值范圍 規(guī)律方法已知函數(shù)有零點 方程有根 求參數(shù)值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通過解不等式確定參數(shù)范圍 2 分離參數(shù)法 先將參數(shù)分離 轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決 3 數(shù)形結(jié)合 先對解析式變形 在同一平面直角坐標系中 畫出函數(shù)的圖象 然后觀察求解 解析當x 0 1 時 f x 6x2 6x 0 則f x 2x3 3x2 m在 0 1 單調(diào)遞增 又函數(shù)f x 的圖象與x軸有且僅有兩個不同的交點 所以在區(qū)間 0 1 和 1 上分別有一個交點 則f 1 m0 解得 5 m 0 答案 5 0 考點三二次函數(shù)的零點問題 例3 已知函數(shù)f x x2 ax 2 a R 1 若不等式f x 0的解集為 1 2 求不等式f x 1 x2的解集 2 若函數(shù)g x f x x2 1在區(qū)間 1 2 上有兩個不同的零點 求實數(shù)a的取值范圍 規(guī)律方法解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題 1 可利用一元二次方程的求根公式 2 可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系 3 利用二次函數(shù)的圖象列不等式組 訓練3 已知f x x2 a2 1 x a 2 的一個零點比1大 一個零點比1小 求實數(shù)a的取值范圍 解法一設方程x2 a2 1 x a 2 0的兩根分別為x1 x2 x1 x2 則 x1 1 x2 1 0 x1x2 x1 x2 1 0 由根與系數(shù)的關(guān)系 得 a 2 a2 1 1 0 即a2 a 2 0 2 a 1 法二函數(shù)圖象大致如圖 則有f 1 0 即1 a2 1 a 2 0 得a2 a 2 0 2 a 1 故實數(shù)a的取值范圍是 2 1 思想方法 1 判定函數(shù)零點的常用方法有 1 零點存在性定理 2 數(shù)形結(jié)合 3 解方程f x 0 2 研究方程f x g x 的解 實質(zhì)就是研究G x f x g x 的零點 3 轉(zhuǎn)化思想 方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題 已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題 易錯防范 1 函數(shù)f x 的零點是一個實數(shù) 是方程f x 0的根 也是函數(shù)y f x 的圖象與x軸交點的橫坐標 2 函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件 而不是必要條件 判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性 對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象