高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 第1課時 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件 理（選修4-1）.ppt

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選考部分選修系列4 理解相似三角形的定義與性質(zhì) 了解平行截割定理 證明直角三角形射影定理 請注意此部分多和圓的有關(guān)知識 結(jié)合考查 平行線 一條 平分 平分 1 平行線等分線段定理如果一組 在 直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等 推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必 第三邊 推論2 經(jīng)過梯形一腰的中點 且與底邊平行的直線 另一腰 2 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線 所得的 線段成比例 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應(yīng)線段成 3 相似三角形的判定判定定理1 兩角對應(yīng) 兩三角形相似 判定定理2 兩邊對應(yīng) 且夾角 兩三角形相似 判定定理3 三邊對應(yīng) 兩三角形相似 對應(yīng) 比例 相等 成比例 相等 成比例 4 直角三角形相似的判定定理1 如果兩個直角三角形有一個 角對應(yīng)相等 那么它們相似 定理2 如果兩個直角三角形的兩條 邊對應(yīng) 那么它們相似 定理3 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的 和一條 對應(yīng)成比例 那么這兩個直角三角形相似 銳 直角 成比例 斜邊 直角邊 5 相似三角形的性質(zhì)定理 1 相似三角形對應(yīng)高的比 對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于 比 2 相似三角形周長的比等于 比 3 相似三角形面積的比等于相似比的 4 相似三角形外接圓的直徑比 周長比等于 比 外接圓的面積比等于相似比的 相似 相似 平方 相似 平方 6 直角三角形的射影定理和逆定理 1 定理 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例 兩直角邊分別是它們在斜邊上 與 的比例中項 2 逆定理 如果一個三角形一邊上的高是另兩邊在這條邊上的射影的 那么這個三角形是直角三角形 中項 射影 斜邊 比例中項 答案B 答案9 4 在Rt ABC中 C 90 CD AB于D 已知AC 4 AD 2 則BD的長是 答案6 題型一平行線分線成比例 答案 1 略 2 1 探究1利用平行線分線段成比例定理來計算或證明 首先要觀察平行線組 再確定所截直線 進而確定比例線段及比例式 同時注意合比性質(zhì) 等比性質(zhì)的運用 如圖 AD是 ABC的中線 E是CA邊的三等分點 BE交AD于點F 則AF FD為 A 2 1B 3 1C 4 1D 5 1 思考題1 答案 C 例2 1 如圖所示 在 ABC中 AD為BC邊上的中線 F為AB上任意一點 CF交AD于點E 求證 AE BF 2DE AF 題型二相似三角形的判定應(yīng)用 答案 略 探究2 1 證明相似三角形一般的思路 先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等 若只有一個角對應(yīng)相等 再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例 若無角對應(yīng)相等 應(yīng)要證明三邊對應(yīng)成比例 2 作平行線的方法 利用中點作出中位線可得平行關(guān)系 利用已知線段的比例 作線段的平行線 注意 解決平面幾何問題時 當(dāng)條件較分散時 可適當(dāng)添作輔助線 使得分散的條件適當(dāng)集中 3 相似三角形性質(zhì)的作用 可用來證明線段成比例 角相等 可間接證明線段相等 為計算線段長度及角的大小創(chuàng)造條件 可計算周長 特征線段長等 1 如右圖 已知正方形ABCD的邊長為4 P為AB上的點 且AP PB 1 3 PQ PC 則PQ的長為 思考題2 答案 B 2 如圖 在梯形ABCD中 AB CD 且AB 2CD E F分別是AB BC的中點 EF與BD相交于點M 若DB 9 則BM 答案 3 題型三直角三角形射影定理的應(yīng)用 方法二 設(shè)AB BC 4a 由題意 AE a OA OB 2a ED 3a OE2 a2 2a 2 5a2 OC2 OB2 BC2 2a 2 4a 2 20a2 EC2 ED2 CD2 3a 2 4a 2 25a2 OE2 OC2 EC2 EOC是直角三角形 又 OK EC OK2 KE KC 答案 略 2 如圖 在Rt ABC中 BAC 90 AD BC于D DF AC于F DE AB于E 求證 AD3 BC BE CF 證明 在Rt ABC中 因為AD BC 所以AD2 BD DC 且AD BC AB AC 在Rt ABD和Rt ADC中 因為DE AB DF AC 由射影定理 得BD2 BE BA DC2 CF AC 所以BD2 DC2 BE BA CF AC BE CF AD BC AD4 所以AD3 BC BE CF 答案 略 探究3 1 應(yīng)用射影定理有兩個條件 一是直角三角形 二是斜邊上的高 2 應(yīng)用射影定理可求直角三角形的邊長 面積等有關(guān)量 3 利用直角三角形的射影定理可證明有關(guān)命題 如圖 AC為 O的直徑 BD AC于P PC 2 PA 8 則CD的長為 cos ACB 思考題3 1 相似三角形的判定定理的選擇 1 已知有一角相等時 可選擇判定定理1 2 2 已知有兩邊對應(yīng)成比例時 可選擇判定定理2 3 3 判定直角三角形相似時 首先看是否可以用判定直三角形的方法來判定 如不能再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定 2 關(guān)于直角三角形射影定理 1 射影定理的兩個條件 一是直角三角形 二是斜邊上的高 二者缺一不可 2 應(yīng)用射影定理可求直角三角形的邊長 面積等有關(guān)量 同時還可用于研究相似問題 比例式等問題