2020版高考數(shù)學一輪復習 課時規(guī)范練41 直線、平面垂直的判定與性質 理 北師大版.doc

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課時規(guī)范練41　直線、平面垂直的判定與性質 基礎鞏固組 1.(2018天津河西區(qū)質檢三,5)設m是直線,α,β是兩個不同的平面,則下列說法正確的是(　　) A.若m∥α,m∥β,則α∥β B.若m∥α,m⊥β,則α⊥β C.若α⊥β,m∥α,則m⊥β D.若α⊥β,m⊥α,則m∥β 2.(2018重慶八中八模,7)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M是線段BC1上任意一點,則下列結論正確的是(　　) A.AD1⊥DM B.AC1⊥DM C.AM⊥B1C D.A1M⊥B1C 3.(2018福建羅源一中模擬,12)設E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DC上兩點,且AB=2,EF=1,給出下列四個命題:①三棱錐D1-B1EF的體積為定值;②異面直線D1B1與EF所成的角為45;③D1B1⊥平面B1EF;④直線D1B1與AC1不垂直.其中正確的命題為 (　　) A.①② B.②③ C.①②④ D.①④ 4.(2018全國1,文10)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30,則該長方體的體積為(　　) A.8 B.62 C.82 D.83 5.(2018吉林四平一模,14)ABCD是正方形,P為平面ABCD外一點,且PA⊥平面ABCD,則平面PAB,平面PBC,平面PCD,平面PAD,平面ABCD這五個平面中,互相垂直的平面有　　　　　對. 6. 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點,F為棱BC的中點. (1)求證:AE⊥DA1; (2)在線段AA1上求一點G,使得AE⊥平面DFG. 7. 如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,點E在AD上,且AE=2ED. (1)已知點F在BC上,且CF=2FB,求證:平面PEF⊥平面PAC; (2)若△PBC的面積是梯形ABCD面積的,求點E到平面PBC的距離. 綜合提升組 8.(2018云南昆明檢測,10)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則(　　) A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1 C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1 9.(2018吉林梅河口二模,16)在四面體ABCD中,DA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=4,AC=3,AD=1,E為棱BC上一點,且平面ADE⊥平面BCD,則DE=　　　　　. 10.已知正四棱錐P-ABCD內接于半徑為的球O中(且球心O在該棱錐內部),底面ABCD的邊長為2,求點A到平面PBC的距離. 11. 如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,BC=2AC=4,D,E分別是AB,BC邊的中點,沿DE將△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60. (1)求四棱錐F-ADEC的體積; (2)求證:平面ADF⊥平面ACF. 12. 如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是側棱PA上的動點. (1)求四棱錐P-ABCD的體積. (2)如果E是PA的中點,求證:PC∥平面BDE. (3)是否不論點E在側棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?證明你的結論. 創(chuàng)新應用組 13. 如圖所示,平面ABCD⊥平面BCE,四邊形ABCD為矩形,BC=CE,點F為CE的中點. (1)證明:AE∥平面BDF; (2)點M為CD上任意一點,在線段AE上是否存在點P,使得PM⊥BE?若存在,確定點P的位置,并加以證明;若不存在,請說明理由. 參考答案 課時規(guī)范練41　直線、平面垂直的判定與性質 1.B　在A中,m∥α,m∥β,則α與β相交或平行,故A錯誤;在B中,m∥α,m⊥β,則由面面垂直的判定定理得α⊥β,故B正確;在C中,α⊥β,m∥α,則m與β相交,平行或m?β,故C錯誤;在D中,α⊥β,m⊥α,則m∥β或m?β,故D錯誤,故選B. 2.C　由題得B1C⊥BC1,B1C⊥AB, 因為AB,BC1?平面ABM,且AB∩BC1=B, 所以B1C⊥平面ABM,所以AM⊥B1C.故選C. 3.A　由題意得,如圖所示, ①中,三棱錐的體積為VD1-B1EF=VB1-D1EF=13S△D1EFB1C1=1312EF22=23,所以體積為定值;②中,在正方體中,EF∥C1D1,所以異面直線D1B1與EF所成的角就是直線D1B1與C1D1所成的角,即∠B1D1C1=45,所以這是正確的;③中,由②可知,直線D1B1與EF不垂直,所以D1B1⊥面B1EF不成立,所以是錯誤的;④B1D1⊥平面AA1C1C,又AC1?平面AA1C1C,可知D1B1與AC1垂直,所以不正確.故選A. 4.C　在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面BCC1B1,連接BC1,則∠AC1B為AC1與平面BB1C1C所成的角,∠AC1B=30,所以在Rt△ABC1中,BC1=ABtan∠AC1B=23,又BC=2, 所以在Rt△BCC1中,CC1=(23)2-22=22, 所以該長方體體積V=BCCC1AB=82. 5.5　因為PA⊥平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD.又因為AD⊥平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB,同理可得平面PBC⊥平面PAB,平面PAD⊥平面PCD,故互相垂直的平面有5對.故填5. 6.(1)證明 連接AD1,BC1(圖略). 由正方體的性質可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A, ∴DA1⊥平面ABC1D1. ∵AE?平面ABC1D1,∴AE⊥DA1. (2)解 所求點G即為點A1,證明如下: 由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中點H,連接AH,EH(圖略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H, 可得DF⊥平面AHE. ∵AE?平面AHE,∴DF⊥AE. 又DF∩A1D=D, ∴AE⊥平面DFA1, 即AE⊥平面DFG. 7.(1)證明 ∵AB⊥AC,AB=AC, ∴∠ACB=45. ∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90,AD∥BC, ∴∠ACD=45,∴AD=CD, ∴BC=2AC=2AD. ∵AE=2ED,CF=2FB, ∴AE=BF=23AD, ∴四邊形ABFE是平行四邊形, ∴AB∥EF. 又AB⊥AC,∴AC⊥EF. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF. ∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC. ∵EF?平面PEF, ∴平面PEF⊥平面PAC. (2)解 ∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC, ∴PB=PC, 取BC的中點G,連接AG,則AG⊥BC,AG=CD=1. 設PA=x,連接PG,則PG=x2+1, ∵△PBC的面積是梯形ABCD面積的43倍, ∴122PG=4312(1+2)1,即PG=2,求得x=3, ∵AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴點E到平面PBC的距離即是點A到平面PBC的距離, ∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC, ∴點E到平面PBC的距離為12PA=32. 8.D　對于選項A,因為M,N分別是BC1,CD1的中點,所以點N∈平面CDD1C1,點M?平面CDD1C1,所以直線MN是平面CDD1C1的交線, 又因為直線C1D1在平面CDD1C1內,故直線MN與直線C1D1不可能平行,故選項A錯;對于選項B,正方體中易知NB≠NC1,因為點M是BC1的中點,所以直線MN與直線BC1不垂直.故選項B不對;對于選項C,假設MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1.因為N是CD1的中點,所以MC=MD1.這與MC≠MD1矛盾.故假設不成立.所以選項C不對;對于選項D,分別取B1C1,C1D1的中點P、Q,連接PM、QN、PQ.因為點M是BC1的中點,所以PM∥CC1且PM=12CC1.同理QN∥CC1且QN=12CC1.所以PM∥QN且PM=QN,所以四邊形PQNM為平行四邊形.所以PQ∥MN.在正方體中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC.因為AC∩CC1=C,AC?平面ACC1,CC1?平面ACC1,所以PQ⊥平面ACC1.因為PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1.故選D. 9.135　過A作AH⊥DE,因為平面ADE⊥平面BCD,且平面ADE⊥平面BCD=DE, ∴AH⊥平面BCD,∴AH⊥BC,又AD⊥BC, ∴BC⊥平面ADE,BC⊥AE, ∵AE=345,AD=1,∴DE=135. 10.解 如圖所示,連接AC與BD交于O,顯然球心O在正棱錐P-ABCD的高PO上, 因為球O的半徑為54,所以OD=OP=54, 又因為底面ABCD的邊長為2, 所以BD=2+2=2,OD=12BD=1, 在△OOD中,由勾股定理得OO=OD2-OD2=(54)2-12=34, 所以OP=OP+OO=54+34=2, 設點A到平面PBC的距離為h,則由VA-PBC=VP-ABC,可得: 13122(5)2-(22)2h=1312(2)22,解得h=43. 11.(1)解 ∵D,E分別是AB,BC邊的中點, ∴DE??12AC,DE⊥BC,DE=1. 依題意,DE⊥EF,BE=EF=2, ∵EF∩EC=E,∴DE⊥平面CEF, ∵DE?平面ACED, ∴平面ACED⊥平面CEF. 作FM⊥EC于M, 則FM⊥平面ACED, ∵∠CEF=60,∴FM=3, 梯形ACED的面積S=12(AC+ED)EC=12(1+2)2=3. 四棱錐F-ADEC的體積V=13Sh=1333=3. (2)證明 (法一)如圖,取線段AF,CF的中點N,Q,連接DN,NQ,EQ,則NQ??AC, ∴NQ??DE,四邊形DEQN是平行四邊形,DN∥EQ. ∵EC=EF,∠CEF=60, ∴△CEF是等邊三角形,EQ⊥FC, 又DE⊥平面CEF,∴DE⊥EQ, ∴AC⊥EQ, ∵FC∩AC=C,∴EQ⊥平面ACF, ∴DN⊥平面ACF, 又DN?平面ADF, ∴平面ADF⊥平面ACF. (法二)連接BF, ∵EC=EF,∠CEF=60, ∴△CEF是邊長為2等邊三角形. ∵BE=EF, ∴∠EBF=12∠CEF=30, ∴∠BFC=90,BF⊥FC. ∵DE⊥平面BCF,DE∥AC,∴AC⊥平面BCF. ∵BF?平面BCF,∴AC⊥BF, 又FC∩AC=C, ∴BF⊥平面ACF,又BF?平面ADF, ∴平面ADF⊥平面ACF. 12.(1)解 ∵PA⊥底面ABCD, ∴PA為此四棱錐底面上的高. ∴V四棱錐P-ABCD=13S正方形ABCDPA=13122=23. (2)證明 連接AC交BD于點O,連接OE. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AO=OC. 又AE=EP,∴OE∥PC. 又PC?平面BDE,OE?平面BDE, ∴PC∥平面BDE. (3)解 不論點E在側棱PA的任何位置,都有BD⊥CE. 證明如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD. 又PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. ∵CE?平面PAC,∴BD⊥CE. 13.(1)證明 連接AC交BD于點O,連接OF. ∵四邊形ABCD是矩形, ∴O為AC的中點. 又F為EC的中點,∴OF∥AE. 又OF?平面BDF, AE?平面BDF, ∴AE∥平面BDF. (2)解 當點P為AE的中點時,有PM⊥BE,證明如下: 取BE的中點H,連接DP,PH,CH. ∵P為AE的中點,H為BE的中點,∴PH∥AB. 又AB∥CD,∴PH∥CD, ∴P,H,C,D四點共面. ∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC, CD?平面ABCD,∴CD⊥平面BCE. 又BE?平面BCE,∴CD⊥BE, ∵BC=CE,且H為BE的中點, ∴CH⊥BE. 又CH∩CD=C,且CH,CD?平面DPHC, ∴BE⊥平面DPHC. 又PM?平面DPHC,∴PM⊥BE.