四川省成都市高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線及方程 第10課時(shí) 圓錐曲線的綜合應(yīng)用同步測(cè)試 新人教A版選修1 -1.doc

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第10課時(shí)　圓錐曲線的綜合應(yīng)用 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 ) 1.若m是2和8的等比中項(xiàng),則圓錐曲線x2+y2m=1的離心率是(　　). A.32 B.5 C.32或52 D.32或5 【解析】因?yàn)閙=4,當(dāng)m=4時(shí),離心率為32,當(dāng)m=-4時(shí),離心率為5,故選D. 【答案】D 2.下列說(shuō)法中不正確的是(　　). A.若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A(-4,0),B(4,0)連線PA,PB的斜率之積為定值49,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分 B.設(shè)m,n∈R,常數(shù)a>0,定義運(yùn)算“*”:m*n=(m+n)2-(m-n)2,若x≥0,則動(dòng)點(diǎn)P(x,x*a)的軌跡是拋物線的一部分 C.已知圓A:(x+1)2+y2=1,圓B:(x-1)2+y2=25,動(dòng)圓M與圓A外切,與圓B內(nèi)切,則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓 D.已知點(diǎn)A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),橢圓過(guò)A,B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn),則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線 【解析】A選項(xiàng)中軌跡是雙曲線去掉與x軸交點(diǎn)的部分;B選項(xiàng)中的拋物線取x軸上方的(包含x軸)部分;C選項(xiàng)中符合橢圓定義是正確的;D選項(xiàng)中應(yīng)為雙曲線一支.故選D. 【答案】D 3.已知A是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn),F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn),G是△PF1F2的重心,若GA=λPF1,則雙曲線的離心率為(　　). A.2 B.3 C.4 D.與λ的取值有關(guān) 【解析】因?yàn)镚A=λPF1,所以GA∥ΡF1,所以|OA||OF1|=|OG||OP|=13,即ac=13,所以e=ca=3,故選B. 【答案】B 4.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=12,且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合,則此橢圓的方程為(　　). A.x24+y23=1 B.x28+y26=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=1 【解析】∵拋物線的焦點(diǎn)為(-1,0),∴c=1. 又橢圓的離心率e=12,∴a=2,b2=a2-c2=3, ∴橢圓的方程為x24+y23=1,故選A. 【答案】A 5.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成5∶3兩段,則此雙曲線的離心率為　　　　. 【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為b2,0,由題意知b2-(-c)c-b2=53,解得c=2b,所以c2=4b2=4(c2-a2),即4a2=3c2,所以2a=3c,故e=ca=233. 【答案】233 6.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角θ滿足cos θ=-13,則E的離心率為　　　　. 【解析】設(shè)點(diǎn)M在第一象限,△ABM是等腰三角形,則有AB=BM,由cos θ=-13得sin θ=223,所以M點(diǎn)坐標(biāo)為a+2a13,2a223,即53a,423a,代入雙曲線方程有259-32a29b2=1,b2=2a2,又因?yàn)閎2=c2-a2,所以c2-a2=2a2,c2a2=3,e=ca=3. 【答案】3 7.已知?jiǎng)又本€l的傾斜角為45,若l與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為2. (1)求拋物線方程; (2)若直線l與l平行,且l過(guò)原點(diǎn)關(guān)于拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)M到直線l的最小距離. 　　【解析】(1)設(shè)直線l的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),將x=y-b代入y2=2px,得y2-2py+2pb=0. 由題意知y1+y2=2p=2,得p=1. 故拋物線方程為y2=2x. (2)拋物線y2=2x的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為-12,0,則l過(guò)點(diǎn)(-1,0),所以l的方程為y=x+1, 故點(diǎn)M(x,y)到直線l的距離d=|x-y+1|2. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在拋物線y2=2x上, 所以d=y22-y+12=|y2-2y+2|22=|(y-1)2+1|22. 故當(dāng)y=1時(shí),d的最小距離為24. 拓展提升(水平二) 8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則OPFP的最大值為(　　). A.214 B.6 C.8 D.12 【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),則OPFP=(x,y)(x+1,y)=x2+x+y2, 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,所以x24+y23=1, 所以x2+x+3-34x2=14x2+x+3=14(x+2)2+2,又-2≤x≤2, 所以當(dāng)x=2時(shí),14(x+2)2+2取得最大值為6, 即OPFP的最大值為6,故選B. 【答案】B 9.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為42,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)重合,直線y=kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行,則p的值為(　　). A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】拋物線x2=2py的焦點(diǎn)為0,p2,所以可得b=p2,因?yàn)?a=42?a=22,所以雙曲線方程為x28-4y2p2=1,可求得其漸近線方程為y=p42x,不妨設(shè)y=kx-1與y=p42x平行,則有k=p42. 聯(lián)立方程y=p42x-1,x2=2py,得x2-p222x+2p=0,所以Δ=-p2222-8p=0,解得p=4,又p>0,故p=4. 【答案】A 10.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,△ABC的頂點(diǎn)都在拋物線上,且滿足FA+FB=-FC,則1kAB+1kBC+1kCA=.　 【解析】設(shè)A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3). ∵FA+FB=-FC,∴△ABC的重心是F. 又∵拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為p2,0, ∴y1+y2+y3=0. 又∵點(diǎn)A,B在拋物線上,∴y12=2px1,y22=2px2,兩式相減,得y12-y22=2p(x1-x2), ∴kAB=2py1+y2,同理kBC=2py2+y3,kCA=2py1+y3, ∴1kAB+1kBC+1kCA=y1+y22p+y2+y32p+y3+y12p=y1+y2+y3p=0. 【答案】0 11.已知橢圓C1的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩焦點(diǎn)分別為雙曲線C2:x22-y2=1的頂點(diǎn),直線x+2y=0與橢圓C1交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,1),點(diǎn)P是橢圓C1上異于A,B的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q滿足AQAP=0,BQBP=0,且A,B,Q三點(diǎn)不共線. (1)求橢圓C1的方程; (2)求點(diǎn)Q的軌跡方程; (3)求△ABQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo). 【解析】(1)∵雙曲線C2:x22-y2=1的頂點(diǎn)為F1(-2,0),F2(2,0), ∴橢圓C1兩焦點(diǎn)分別為F1(-2,0),F2(2,0). 設(shè)橢圓C1方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), ∵橢圓C1過(guò)點(diǎn)A(-2,1), ∴2a2+1b2=1.　① ∵a2=b2+2,?、? 　　由①②解得a2=4,b2=2. ∴橢圓C1的方程為x24+y22=1. (2)設(shè)點(diǎn)Q(x,y),點(diǎn)P(x1,y1), 由點(diǎn)A(-2,1)及橢圓C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得B(2,-1), ∴AQ=(x+2,y-1),AP=(x1+2,y1-1), BQ=(x-2,y+1),BP=(x1-2,y1+1). 由AQAP=0,得(x+2)(x1+2)+(y-1)(y1-1)=0, 即(x+2)(x1+2)=-(y-1)(y1-1).　① 同理,由BQBP=0,得(x-2)(x1-2)=-(y+1)(y1+1).?、? ①②得(x2-2)(x12-2)=(y2-1)(y12-1).　③ 由于點(diǎn)P在橢圓C1上,則x124+y122=1,得x12=4-2y12, 代入③式得-2(y12-1)(x2-2)=(y2-1)(y12-1). 當(dāng)y12-1≠0時(shí),有2x2+y2=5; 當(dāng)y12-1=0,則點(diǎn)P(-2,-1)或P(2,1),此時(shí)點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為(2,1)或(-2,-1), 其坐標(biāo)也滿足方程2x2+y2=5. 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),即點(diǎn)P(-2,1),由②得y=2x-3, 解方程組2x2+y2=5,y=2x-3,得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,-1)或22,-2. 同理,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,1)或-22,2. ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2=5,除去四個(gè)點(diǎn)(2,-1),22,-2,(-2,1),-22,2. (3)由于|AB|=(2+2)2+(-1-1)2=23, 故當(dāng)點(diǎn)Q到直線AB的距離最大時(shí),△ABQ的面積最大. 設(shè)與直線AB平行的直線為x+2y+m=0, 由x+2y+m=0,2x2+y2=5,消去x,得5y2+42my+2m2-5=0, 由Δ=32m2-20(2m2-5)=0,解得m=522. 若m=522,則y=-2,x=-22; 若m=-522,則y=2,x=22. 故當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為22,2或-22,-2時(shí),△ABQ的面積最大,其最大值為S=12|AB|22+2212+(2)2=522.