2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題30 小題不小——比較大小.doc
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專題30 小題不小----比較大小 【熱點聚焦與擴展】 高考命題中，常常在選擇題或填空題中出現(xiàn)一類比較大小的問題，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序.這類問題的解法往往可以從代數(shù)和幾何兩方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解答.本專題以一些典型例題來說明此類問題的方法與技巧. （一）常用技巧和方法 1、如何快速判斷對數(shù)的符號？八字真言“同區(qū)間正，異區(qū)間負”，容我慢慢道來： 判斷對數(shù)的符號，關鍵看底數(shù)和真數(shù)，區(qū)間分為和 （1）如果底數(shù)和真數(shù)均在中，或者均在中，那么對數(shù)的值為正數(shù) （2）如果底數(shù)和真數(shù)一個在中，一個在中，那么對數(shù)的值為負數(shù) 例如：等 2、要善于利用指對數(shù)圖象觀察指對數(shù)與特殊常數(shù)（如0,1）的大小關系，一作圖，自明了 3、比較大小的兩個理念： （1）求同存異：如果兩個指數(shù)（或?qū)?shù)）的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出指數(shù)（或?qū)?shù)）的關系，所以要熟練運用公式，盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況 例如：，比較時可進行轉(zhuǎn)化，盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底，但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤? ，從而只需比較底數(shù)的大小即可 （2）利用特殊值作“中間量”：在指對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“-1，0,1”對所比較的數(shù)進行劃分，然后再進行比較，有時可以簡化比較的步驟（在兵法上可稱為“分割包圍，各個擊破”，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計，例如，可知，進而可估計是一個1點幾的數(shù)，從而便于比較 4、常用的指對數(shù)變換公式： （1） （2） （3） （4）換底公式： 進而有兩個推論： （令） （二）利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 1、函數(shù)單調(diào)性的作用：在單調(diào)遞增，則 (在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性是自變量大小關系與函數(shù)值大小關系的橋梁） 2、導數(shù)運算法則： （1） （2） 3、常見描述單調(diào)性的形式 （1）導數(shù)形式：單調(diào)遞增；單調(diào)遞減 （2）定義形式：或：表示函數(shù)值的差與對應自變量的差同號，則說明函數(shù)單調(diào)遞增，若異號則說明函數(shù)單調(diào)遞減 4、技巧與方法： （1）此類問題往往條件比較零散，不易尋找入手點.所以處理這類問題要將條件與結論結合著分析.在草稿紙上列出條件能夠提供什么，也列出要得出結論需要什么.兩者對接通?？梢源_定入手點 （2）在構造函數(shù)時要根據(jù)條件的特點進行猜想，例如出現(xiàn)輪流求導便猜有可能是具備乘除關系的函數(shù).在構造時多進行試驗與項的調(diào)整 （3）在比較大小時，通常可利用函數(shù)性質(zhì)（對稱性，周期性）將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進行比較 （三）數(shù)形結合比較大小 1、對稱性與單調(diào)性：若已知單調(diào)性與對稱性，則可通過作出草圖觀察得到諸如“距軸越近，函數(shù)值越……”的結論，從而只需比較自變量與坐標軸的距離，即可得到函數(shù)值的大小關系 （1）若關于軸對稱，且單調(diào)增，則圖象可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個共同點：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越小 （2）若關于軸對稱，且單調(diào)減，則圖象可能以下三種情況，可發(fā)現(xiàn)一個共同點：自變量距離軸越近，其函數(shù)值越大 2、函數(shù)的交點：如果所比較的自變量是一些方程的解，則可將方程的根視為兩個函數(shù)的交點.抓住共同的函數(shù)作為突破口，將其余函數(shù)的圖象作在同一坐標系下，觀察交點的位置即可判斷出自變量的大小. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標1，理11】設x、y、z為正數(shù)，且，則（ ） A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【答案】D 【名師點睛】對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，在用這個常數(shù)表示出對應的，通過作差或作商進行比較大小.對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式和0與1的對數(shù)表示. 例2.【2017天津，文理】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù)，.若，，，則a，b，c的大小關系為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】因為是奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，所以在時，， 從而是上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)， ， ，又，則，所以即， ， 所以，故選C． 【名師點睛】比較大小是高考常見題，指數(shù)式、對數(shù)式的比較大小要結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結合不僅能比較大小，還可以解不等式. 例3.已知均為正數(shù)，且，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【名師點睛】本題也可用數(shù)形結合的方式比較大小，觀察發(fā)現(xiàn)前兩個等式右側(cè)為的形式，而第三個等式也可變形為，從而可以考慮視分別為兩個函數(shù)的交點.先作出圖象，再在這個坐標系中作出，比較交點的位置即可. 例4.【2018屆山東、湖北部分重點中學沖刺模擬（三）】已知a=2-??13，b=log213,c=log1213,則a,b,c的大小關系為（ ） A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b 【答案】D 【解析】分析：借助于中間值1和0，利用各實數(shù)的范圍可比較大小. 詳解：a=2-??13∈(0,1)，b=log213<0,c=log1213=log23>1， ∴c>a>b，故選D. 點睛：比較大小常用的方法有： （1）作差法（作商法）； （2）利用函數(shù)單調(diào)性比較大??； （3）借助中間變量比較大小. 例5.【2018年遼寧省部分重點中學協(xié)作體高三模擬】函數(shù)fx=ex+e-xex-e-x，若a=f-12，b=fln2，c=fln13，則有（ ） A. c>b>a B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a 【答案】D 【解析】分析：首先分離常數(shù)得出fx=1+2e2x-1，可判斷出fx在-∞,0上單調(diào)遞減，且x>0時，fx>0，x<0時，fx<0，從而判斷出 b>0,a,c<0，再根據(jù)fx在-∞,0上減函數(shù)，判斷出a,c的大小關系，從而最后得出a,b,c大小關系. 且-lne>-ln3，∴-12>ln13， ∴fx在-∞,0上單調(diào)遞減， ∴f-12
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