北師大數(shù)學北師大版九上第4章 測試卷（2）教案

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第四章 圖形的相似 測試卷 關注“初中教師園地”公眾號 2019秋季各科最新備課資料陸續(xù)推送中 快快告訴你身邊的小伙伴們吧~ 一、選擇題 1．已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（　?。? A．= B．= C．= D．= 2．已知，那么的值是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列兩個圖形一定相似的是（　　） A．兩個矩形 B．兩個等腰三角形 C．兩個五邊形 D．兩個正方形 4．如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應邊的比是（　?。? A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4 5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長線上一點，AE與CD相交于F，與△CEF相似的三角形有（　?。﹤€． A．1 B．2 C．3 D．4 6．如圖，D為△ABC邊BC上一點，要使△ABD∽△CBA，應該具備下列條件中的（　?。? A．= B．= C．= D．= 7．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，則BC的長為（　?。? A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 8．如圖，△ABC中，∠A=78，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。? A． B． C． D．　 9．如圖，線段CD兩個端點的坐標分別為C（3，3），D（4，1），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，則端點B的坐標為（　?。? A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2） 10．關于對位似圖形的表述，下列命題正確的有（　　） ①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； ②位似圖形一定有位似中心； ③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形； ④位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′． A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點E，F(xiàn)，則的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空題 12．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函數(shù)在第四象限經(jīng)過點B，若OA2﹣AB2=8，則k的值為　 ． 13．已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，且AC＜CB，則AC的長度為 ?。? 14．）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=　 ?。? 15．一塊矩形綢布的寬AB=a m，長AD=1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是 ． 16．如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當他走到點C時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當他向前再步行12m到達點D時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小亮的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m．當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是　 　m． 三、解答題 17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D． （1）證明：△ACD∽△CBD； （2）已知AD=2，BD=4，求CD的長． 　 18．如圖，AD是△ABC的高，點E，F(xiàn)在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm． （1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積． （2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設EF=x，則y= ?。ê瑇的代數(shù)式），當x=　 　時，y最大，最大面積是　 　． 19．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點P是AB上一個動點． （1）當AP=3時，△DAP與△CBP相似嗎？請說明理由． （2）求PD+PC的最小值． 20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長 BE交AC于點F． （1）證明：BE2=AE?DE； （2）若=1，=　 ??；并說明理由．  答案解析 一、選擇題 1．已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（　?。? A．= B．= C．= D．= 【考點】比例的性質． 【分析】熟練掌握比例的性質是解題的關鍵． 【解答】解：A、兩邊同時乘以最簡公分母ny得xy=mn，與原式相等； B、兩邊同時乘以最簡公分母mx得xy=mn，與原式相等； C、兩邊同時乘以最簡公分母mn得xn=my，與原式不相等； D、兩邊同時乘以最簡公分母my得xy=mn，與原式相等； 故選C． 【點評】解答此題應把每一個選項乘以最簡公分母后與原式相比較看是否相同． 　 2．已知，那么的值是（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】比例的性質． 【分析】根據(jù)和比性質：=?=，可得答案． 【解答】解：由=2，得==3． 故選：A． 【點評】本題考查了比例的性質，利用和比性質是解題關鍵． 　 3．下列兩個圖形一定相似的是（　?。? A．兩個矩形 B．兩個等腰三角形 C．兩個五邊形 D．兩個正方形 【考點】相似多邊形的定義． 【分析】根據(jù)相似圖形的定義，結合選項，用排除法求解． 【解答】解：A、兩個矩形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意； B、兩個等腰三角形頂角不一定相等，故不符合題意； C、兩個五邊形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意； D、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意． 故選D． 【點評】本題考查相似形的定義，熟悉各種圖形的性質是解題的關鍵． 　 4．如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應邊的比是（　?。? A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4 【考點】相似多邊形的性質． 【分析】由兩個相似多邊形面積的比是4：9，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵兩個相似多邊形面積的比是4：9， ∴這兩個相似多邊形對應邊的比是2：3． 故選B． 【點評】此題考查了相似多邊形的性質．注意熟記定理是解此題的關鍵． 　 5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長線上一點，AE與CD相交于F，與△CEF相似的三角形有（　?。﹤€． A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到圖中與△CEF相似的三角形． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， ∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF． 故選B． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解答此題的關鍵． 　 6．如圖，D為△ABC邊BC上一點，要使△ABD∽△CBA，應該具備下列條件中的（　?。? A．= B．= C．= D．= 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定問題，題中已有一公共角，再添加對應邊比值相等即可． 【解答】解：當=時， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBA． 故選：C． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題關鍵． 　 7．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，則BC的長為（　?。? A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】首先利用平行線判定兩三角形相似，然后利用相似三角形對應邊的比等于相似比求得線段BC的長即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵， ∴， ∵DE=3cm， ∴=， 解得：DE=9cm． 故選C． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據(jù)平行線判定相似三角形，然后利用相似三角形的對應邊的比等于相似比求得相應線段的長． 　 8．如圖，△ABC中，∠A=78，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可． 【解答】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤； B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤； C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確； D、兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵． 　 9．如圖，線段CD兩個端點的坐標分別為C（3，3），D（4，1），以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，則端點B的坐標為（　?。? A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2） 【考點】平面直角坐標系中的位似變換． 【專題】數(shù)形結合． 【分析】利用位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k可得到答案． 【解答】解：因為以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB， 所以點B的坐標為（42，12），即（8，2）． 故選D． 【點評】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k． 　 10．關于對位似圖形的表述，下列命題正確的有（　?。? ①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形； ②位似圖形一定有位似中心； ③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形； ④位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′． A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【考點】位似圖形的性質． 【分析】由位似圖形的定義可知：如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；故位似圖形一定有位似中心；且位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′．繼而可得位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形． 【解答】解：①位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形；故錯誤； ②位似圖形一定有位似中心；正確； ③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；正確； ④位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′；正確． 故選B． 【點評】此題考查了位似圖形的性質與定義．注意準確理解位似圖形的性質是解此題的關鍵． 　 11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點E，F(xiàn)，則的值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】平行線分線段成比例． 【專題】計算題． 【分析】作FG⊥AB于點G，由AE∥FG，得出=，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=BC求解． 【解答】解：作FG⊥AB于點G， ∵∠DAB=90， ∴AE∥FG， ∴=， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90， 又∵BE是∠ABC的平分線， ∴FG=FC， 在Rt△BGF和Rt△BCF中， ∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL）， ∴CB=GB， ∵AC=BC， ∴∠CBA=45， ∴AB=BC， ∴====+1． 故選：C． 【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例，全等三角形及角平分線的知識，解題的關鍵是找出線段之間的關系，CB=GB，AB=BC再利用比例式求解． 二、填空題 12．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函數(shù)在第四象限經(jīng)過點B，若OA2﹣AB2=8，則k的值為　﹣4?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】設B點坐標為（a，b），根據(jù)等腰直角三角形的性質得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，則OA2﹣AB2=8變形為AC2﹣AD2=4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）=4，所以（OC+BD）?CD=4，則有a?b=﹣4，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征易得k=﹣4． 【解答】解：設B點坐標為（a，b）， ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD， ∵OA2﹣AB2=8， ∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4， ∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4， ∴（OC+BD）?CD=4， ∵點B在第四象限， ∴a?b=﹣4， ∴k=﹣4． 故答案為：﹣4． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k． 13．已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，且AC＜CB，則AC的長度為　?。? 【考點】黃金分割． 【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知AC是較短線段；則AC=1﹣=． 【解答】解：由于C為線段AB=1的黃金分割點， 且AC＜CB， 則AC=1﹣=． 故本題答案為：． 【點評】理解黃金分割點的概念．熟記黃金比的值進行計算． 　 14．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=　1：20?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】根據(jù)等高三角形面積的比等于底的比和相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解出結果． 【解答】解：∵S△BDE：S△DEC=1：4， ∴BE：EC=1：4， ∴BE：BC=1：5， ∵DE∥AC， ∴△BED∽△BCA， ∴==， 設S△BED=k，則S△DEC=4k，S△ABC=25k， ∴S△ADC=20k， ∴S△BDE：S△DCA=1：20． 故答案為：1：20． 【點評】本題考查了相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方，注意各三角形面積之間的關系是解題的關鍵． 　 15．一塊矩形綢布的寬AB=a m，長AD=1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是　?。? 【考點】相似多邊形的性質． 【分析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，根據(jù)相似多邊形的對應邊成比例可得：，繼而求得答案． 【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同， ∴， ∴a2=， ∴a=． 故答案為：． 【點評】此題考查了相似多邊形的性質．注意相似多邊形的對應邊成比例． 　 16．如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當他走到點C時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當他向前再步行12m到達點D時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小亮的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m．當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是　3.6　m． 【考點】利用影子測量物體的高度． 【專題】計算題． 【分析】如圖，當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長為BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，先證明△ACE∽△ABN得到=，同理可得=，則AC=BD=AB，則AB+12+AB=AB，解得AB=18，接著證明△HBG∽△HAM，然后利用相似比得到=，再利用比例性質求出BH即可． 【解答】解：如圖，當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長為BH， CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m， ∵CE∥BN， ∴△ACE∽△ABN， ∴=，即=， 同理可得=， ∴AC=BD， ∴AC=BD=AB， ∵AC+CD+DB=AB， ∴AB+12+AB=AB，解得AB=18， ∵BG∥AM， ∴△HBG∽△HAM， ∴=，即=，解得BH=3.6． 即當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m． 故答案為3.6． 【點評】本題考查了相似三角形的應用：利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度． 　 三、解答題 17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D． （1）證明：△ACD∽△CBD； （2）已知AD=2，BD=4，求CD的長． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）求出∠CDA=∠ACB=90，根據(jù)有兩個角對應相等的兩三角形相似得出△ACD∽△CBD，即可得出答案； （2）根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論． 【解答】證明：（1）∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠CDA=∠CDB=90， ∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90， ∴∠A=∠BCD， ∴△ACD∽△CBD； （2）由（1）知△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2=AD?BD=24=8， ∴CD=2． 【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵． 　 18．如圖，AD是△ABC的高，點E，F(xiàn)在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm． （1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積． （2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設EF=x，則y=　﹣x2+80x?。ê瑇的代數(shù)式），當x=　60cm　時，y最大，最大面積是　240cm2?。? 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據(jù)正方形的對邊平行可得HG∥EF，然后得到△AHG與△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面積； （2）證出△AEF∽△ABC，得出比例式得出HE，得出長方形的面積y是x的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的最值問題進行求解即可． 【解答】解：（1）∵四邊形EFGH是正方形， ∴HG∥EF，GH=HE=ID， ∴△AHG∽△ABC， ∴AI：AD=HG：BC， ∵BC=120cm，AD=80cm， ∴， 解得：HG=48cm， ∴正方形EFGH的面積=HG2=482=2304（cm2）； （2）∵四邊形EFGH是長方形， ∴HG∥EF， ∴△AEF∽△ABC， ∴AI：AD=HG：BC， 即， 解得：HE=﹣x+80， ∴長方形EFGH的面積y=x（﹣x+80）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+240， ∵﹣＜0， ∴當x=60，即EF=60cm時，長方形EFGH有最大面積，最大面積是240cm2； 故答案為：﹣x2+80x，60cm，240cm2． 【點評】本題考查了長方形的性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質以及二次函數(shù)的最值問題；根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出長方形的邊長是解決問題（2）的關鍵． 　 19．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點P是AB上一個動點． （1）當AP=3時，△DAP與△CBP相似嗎？請說明理由． （2）求PD+PC的最小值． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）由題意可知∠A=∠B=90，AP=3，PB=4，故此，從而可證明△DAP與△CBP相似； （2）作點D關于AB的對稱點D′，連接D′C交BA于點P．過點D′作D′E⊥BC，垂足為E．依據(jù)勾股定理求得D′C的長即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC=90，AD∥BC， ∴∠BAD=90． ∴∠A=∠B=90． ∵AP=3，AB=7， ∴PB=4． ∴，． ∴． ∴△DAP∽△CBP． （2）如圖所示：點D關于AB的對稱點D′，連接D′C交BA于點P，過點D′作D′E⊥BC，垂足為E． ∵點D與點D′關于AB對稱， ∴PD=D′P． ∴PD+PC=D′P+PC=D′C． 在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C===7． ∴PD+PC的最小值為7． 【點評】本題主要考查的相似三角形的判定、軸對稱最短路徑問題，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵． 　 20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長 BE交AC于點F． （1）證明：BE2=AE?DE； （2）若=1，=　2??；并說明理由． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證明∠BAE=∠DBE，根據(jù)題意可知∠AEB=∠DEB，從而可證明△ABE∽△BDE，由相似三角形的性質可證明BE2=AE?DE； （2）過點C作CG⊥AD，交AD的延長線于點G，由題意可知BE∥CG，故此△BDE∽△CDG，由BD=CD，可知DE=DG，設AB=2λ，則BD=λ，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得AE=，AD=，從而可求得DE=DG=，故此EG=λ，由EF∥CG，可知：． 【解答】解：（1）∵BE⊥AD， ∴∠AEB=∠BED=90． ∴∠BAE+ABE=90． ∵∠ABC=90， ∴∠DBE+∠ABE=90． ∴∠BAE=∠DBE． ∴△ABE∽△BDE． ∴． ∴BE2=AE?DE． （2）如圖所示：過點C作CG⊥AD，交AD的延長線于點G． ∵BE⊥AD，CG⊥AD， ∴BE∥CG． ∴△BDE∽△CDG． ∴． ∵BD=CD， ∴DE=DG． 設AB=2λ，則BD=λ； ∵∠ABD=90，BE⊥AD， ∴AD==． ∵cos∠BAD==， ∴． ∴AE=． ∴DE=AD﹣AE==． ∴EG=． ∵EF∥CG， ∴=2． 故答案為：2． 【點評】本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用、銳角三角函數(shù)的定義，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．